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1、（全國通用版）2022高考數學二輪復習 專題六 函數與導數 規(guī)范答題示例9 導數與不等式的恒成立問題學案 文
典例9 (12分)(2017·全國Ⅲ)已知函數f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x.
(1)討論f(x)的單調性；
(2)當a<0時，證明f(x)≤－－2.
審題路線圖 (1)―→―→―→.
(2)―→―→
.
規(guī) 范 解 答·分 步 得 分
構 建 答 題 模 板
(1)解 f(x)的定義域為(0，＋∞)，
f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝(x>0).2分
若a≥0，則當x∈(0，＋∞)時，f′(x)>0，
故f(x)在(0，＋∞)上單調遞增.4分
若
2、a<0，則當x∈時，f′(x)>0；
當x∈時，f′(x)<0.
故f(x)在上單調遞增，在上單調遞減.6分
(2)證明 由(1)知，當a<0時，f(x)在x＝－處取得最大值，
最大值為f＝ln－1－，8分
所以f(x)≤－－2等價于ln－1－≤－－2，
即ln＋＋1≤0.9分
設g(x)＝ln x－x＋1，
則g′(x)＝－1(x>0).
當x∈(0,1)時，g′(x)>0；當x∈(1，＋∞)時，g′(x)<0.
所以g(x)在(0,1)上單調遞增，在(1，＋∞)上單調遞減.
故當x＝1時，g(x)取得最大值，最大值為g(1)＝0.11分
所以當x>0時，g(x)≤0
3、.
從而當a<0時，ln＋＋1≤0，
即f(x)≤－－2.12分
第一步
求導數：一般先確定函數的定義域，再求f′(x).
第二步
定區(qū)間：根據f′(x)的符號確定函數的單調性.
第三步
尋條件：一般將恒成立問題轉化為函數的最值問題.
第四步
寫步驟：通過函數單調性探求函數最值，對于最值可能在兩點取到的恒成立問題，可轉化為不等式組恒成立問題.
第五步
再反思：查看是否注意定義域、區(qū)間的寫法、最值點的探求是否合理等.
評分細則 第(1)問得分點說明：
①正確求出f′(x)得2分；
②求出a≥0時，函數的單調性得2分；
③求出a<0時，函數的單調性得2分．
第
4、(2)問得分點說明：
①正確求出f(x)的最大值得2分；
②轉化為關于a的不等式得1分；
③構造函數并正確求出函數的最大值得2分；
④正確寫出結論得1分．
跟蹤演練9 (2018·全國Ⅰ)已知函數f(x)＝－x＋aln x.
(1)討論f(x)的單調性；
(2)若f(x)存在兩個極值點x1，x2，
證明：2，令f′(x)＝0，得
x＝或x＝.
當x∈∪時，f′(x)<0；
當x∈時，f′(x)>0.
所以f(x)在，上單調遞減，
在上單調遞增．
(2)證明 由(1)知，f(x)存在兩個極值點當且僅當a>2.
由于f(x)的兩個極值點x1，x2滿足x2－ax＋1＝0，
所以x1x2＝1，不妨設01.
由于＝－－1＋a
＝－2＋a＝－2＋a，
所以
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