(全國通用版)2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十一章 計數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第6節(jié) 幾何概型學(xué)案 理 新人教B版
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1、 第6節(jié) 幾何概型 最新考綱 1.了解隨機(jī)數(shù)的意義,能運用模擬方法估計概率;2.了解幾何概型的意義. 知 識 梳 理 1.幾何概型的定義 事件A理解為區(qū)域Ω的某一子區(qū)域A,A的概率只與子區(qū)域A的幾何度量(長度、面積、體積)成正比,而與A的位置和形狀無關(guān),滿足上述條件的試驗稱為幾何概型. 2.幾何概型的兩個基本特點 (1)無限性:在一次試驗中,可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個; (2)等可能性:每個結(jié)果的發(fā)生具有等可能性. 3.幾何概型的概率公式 P(A)=,其中μΩ表示區(qū)域Ω的幾何度量,μA表示子區(qū)域A的幾何度量. [常用結(jié)論與微點提醒] 1.幾何概型的基本事件的個數(shù)是無限
2、的,古典概型中基本事件的個數(shù)是有限的,前者概率的計算與基本事件的區(qū)域長度(面積或體積)的大小有關(guān),而與形狀和位置無關(guān). 2.幾何概型中,線段的端點、圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果. 診 斷 自 測 1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計概率.( ) (2)從區(qū)間[1,10]內(nèi)任取一個數(shù),取到1的概率是.( ) (3)概率為0的事件一定是不可能事件.( ) (4)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形.( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2.(教材練習(xí)改編)有四個游戲盤,將它們水平放
3、穩(wěn)后,在上面扔一顆玻璃小球,若小球落在陰影部分,則可中獎,小明要想增加中獎機(jī)會,應(yīng)選擇的游戲盤是( ) 解析 如題干選項中圖,各種情況的概率都是其面積比,中獎的概率依次為P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=,所以P(A)>P(C)=P(D)>P(B). 答案 A 3.(2016·全國Ⅱ卷)某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn),紅燈持續(xù)時間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈,則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為( ) A. B. C. D. 解析 至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為=. 答案 B 4.(2018·臨沂質(zhì)檢)從區(qū)間(0,1)
4、中任取兩個數(shù)作為直角三角形兩直角邊的長,則所取的兩個數(shù)使得斜邊長度不大于1的概率是( ) A. B. C. D. 解析 任取的兩個數(shù)記為x,y,所在區(qū)域是正方形OABC內(nèi)部,而符合題意的x,y位于陰影區(qū)域內(nèi)(不包括x,y軸). 故所求概率P==. 答案 B 5.(2018·合肥質(zhì)檢)在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10 000個點,則落入陰影部分(曲線C的方程為x2-y=0)的點的個數(shù)的估計值為( ) A.5 000 B.6 667 C.7 500 D.7 854 解析 S陰影=S正方形-x2dx=1-=, 所以有==,解得n≈6 6
5、67. 答案 B 考點一 與長度(角度)有關(guān)的幾何概型 【例1】 (1)(2016·全國Ⅰ卷)某公司的班車在7:30,8:00,8:30發(fā)車,小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車,且到達(dá)發(fā)車站的時刻是隨機(jī)的,則他等車時間不超過10分鐘的概率是( ) A. B. C. D. (2)如圖,四邊形ABCD為矩形,AB=,BC=1,以A為圓心,1為半徑作四分之一個圓弧,在∠DAB內(nèi)任作射線AP,則射線AP與線段BC有公共點的概率為________. 解析 (1)如圖所示,畫出時間軸: 小明到達(dá)的時間會隨機(jī)的落在圖中線段AB上,而當(dāng)他的到達(dá)時間落在線段AC或
6、DB上時,才能保證他等車的時間不超過10分鐘,根據(jù)幾何概型得所求概率P==. (2)以A為圓心,以AD=1為半徑作圓弧交AC,AP,AB分別為C′,P′,B′. 依題意,點P′在上任何位置是等可能的,且射線AP與線段BC有公共點,則事件“點P′在上發(fā)生”. 又在Rt△ABC中,易求∠BAC=∠B′AC′=. 故所求事件的概率P===. 答案 (1)B (2) 規(guī)律方法 1.解答幾何概型問題的關(guān)鍵在于弄清題中的考查對象和對象的活動范圍,當(dāng)考查對象為點,且點的活動范圍在線段上時,用“線段長度”為測度計算概率,求解的核心是確定點的邊界位置. 2.(1)第(2)題易出現(xiàn)“以線段BD為測度
7、”計算幾何概型的概率,導(dǎo)致錯求P=. (2)當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動,扇形中有關(guān)落點區(qū)域問題時,應(yīng)以角對應(yīng)的弧長的大小作為區(qū)域度量來計算概率.事實上,當(dāng)半徑一定時,曲線弧長之比等于其所對應(yīng)的圓心角的弧度數(shù)之比. 【訓(xùn)練1】 (1)(2017·江蘇卷)記函數(shù)f(x)=的定義域為D.在區(qū)間[-4,5]上隨機(jī)取一個數(shù)x,則x∈D的概率是________. (2)(2018·西安調(diào)研)在區(qū)間[-1,1]上隨機(jī)地取一個數(shù)k,則事件“直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交”發(fā)生的概率為________. 解析 (1)由6+x-x2≥0,得-2≤x≤3,即D=[-2,3]. 故所求事件的概率P==.
8、 (2)直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交的充要條件是圓心(5,0)到直線y=kx的距離小于3. 則<3,解得-<k<. 故所求事件的概率P==. 答案 (1) (2) 考點二 與面積有關(guān)的幾何概型(多維探究) 命題角度1 與平面圖形面積相關(guān)的幾何概型 【例2-1】 (2017·全國Ⅰ卷)如圖,正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點,則此點取自黑色部分的概率是( ) A. B. C. D. 解析 設(shè)正方形的邊長為2,則面積S正方形=4. 又正方形內(nèi)切圓的面積S=π×1
9、2=π. 所以根據(jù)對稱性,黑色部分的面積S黑=. 由幾何概型的概率公式,概率P==. 答案 B 命題角度2 與線性規(guī)劃有關(guān)的幾何概型 【例2-2】 由不等式組確定的平面區(qū)域記為Ω1,由不等式組確定的平面區(qū)域記為Ω2,若在Ω1中隨機(jī)取一點,則該點恰好在Ω2內(nèi)的概率為________. 解析 如圖,平面區(qū)域Ω1就是三角形區(qū)域OAB,平面區(qū)域Ω2與平面區(qū)域Ω1的重疊部分就是區(qū)域OACD,易知C. 由幾何概型的概率公式,所求概率 P===. 答案 命題角度3 與定積分有關(guān)的幾何概型 【例2-3】 如圖,點A的坐標(biāo)為(1,0),點C的坐標(biāo)為(2,4),函數(shù)f(x)=x2.若在
10、矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點,則此點取自陰影部分的概率等于________. 解析 由題意知,陰影部分的面積S=(4-x2)dx=|=, 所以所求概率P===. 答案 規(guī)律方法 1.與面積有關(guān)的平面圖形的幾何概型,解題的關(guān)鍵是對所求的事件A構(gòu)成的平面區(qū)域形狀的判斷及面積的計算,基本方法是數(shù)形結(jié)合. 2.解題時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量,把變量看成點的坐標(biāo),找到全部試驗結(jié)果構(gòu)成的平面圖形,以便求解. 【訓(xùn)練2】 (1)(2016·全國Ⅱ卷)從區(qū)間[0,1]隨機(jī)抽取2n個數(shù)x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,構(gòu)成n個數(shù)對(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中兩數(shù)的平
11、方和小于1的數(shù)對共有m個,則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為( ) A. B. C. D. (2)(2018·石家莊調(diào)研)在滿足不等式組的平面內(nèi)隨機(jī)取一點M(x0,y0),設(shè)事件A=“y0<2x0”,那么事件A發(fā)生的概率是( ) A. B. C. D. 解析 (1)如圖,數(shù)對(xi,yi)(i=1,2,…,n)表示的點落在邊長為1的正方形OABC內(nèi)(包括邊界),兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對表示的點落在半徑為1的四分之一圓(陰影部分)內(nèi).由幾何概型的概率計算公式知P===,又P=,所以=,故π=. (2)作出不等式組 表示的平面區(qū)域(即△ABC),其
12、面積為4.事件A=“y0<2x0”表示的區(qū)域為△AOC,其面積為3. 所以事件A發(fā)生的概率是. 答案 (1)C (2)B 考點三 與體積有關(guān)的幾何概型 【例3】 (1)(2018·深圳模擬)一只蜜蜂在一個棱長為3的正方體內(nèi)自由飛行,若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個表面的距離均大于1,稱其為“安全飛行”,則蜜蜂“安全飛行”的概率為( ) A. B. C. D. (2)已知正三棱錐S-ABC的底面邊長為4,高為3,在正三棱錐內(nèi)任取一點P,使得VP-ABC<VS-ABC的概率是( ) A. B. C. D. 解析 (1)由題意知小蜜蜂的安全飛行范圍為
13、以這個正方體的中心為中心,且棱長為1的小正方體內(nèi).
這個小正方體的體積為1,大正方體的體積為27,故安全飛行的概率為P=.
(2)由題意知,當(dāng)點P在三棱錐的中截面A′B′C′以下時,滿足VP-ABC 14、體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,在正方體內(nèi)隨機(jī)取點M,則使四棱錐M-ABCD的體積小于的概率為________.
解析 設(shè)四棱錐M-ABCD的高為h,由于S正方形ABCD=1,V正方體=1,且S正方形ABCD<.
∴h<,則點M在正方體的下半部分,故所求事件的概率P==.
答案
基礎(chǔ)鞏固題組
(建議用時:30分鐘)
一、選擇題
1.為了測量某陰影部分的面積,作一個邊長為3的正方形將其包含在內(nèi),并向正方形內(nèi)隨機(jī)投擲600個點,已知恰有200個點落在陰影部分內(nèi),據(jù)此可以估計陰影部分的面積是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
解析 由投擲的點落在陰影 15、部分的個數(shù)與投擲的點的個數(shù)比得到陰影部分的面積與正方形的面積比為,所以陰影部分的面積約為9×=3.
答案 B
2.如圖,“天宮一號”運行的軌跡是如圖的兩個類同心圓,小圓的半徑為2 km,大圓的半徑為4 km,衛(wèi)星P在圓環(huán)內(nèi)無規(guī)則地自由運動,運行過程中,則點P與點O的距離小于3 km的概率為( )
A. B. C. D.
解析 根據(jù)幾何概型公式,小于3 km的圓環(huán)面積為π(32-22)=5π;圓環(huán)總面積為π(42-22)=12π,所以點P與點O的距離小于3 km的概率為P==.
答案 B
3.(2018·濰坊一中質(zhì)檢)在區(qū)間[0,2]上隨機(jī)地取一個數(shù)x,則事件“-1≤l 16、og≤1”發(fā)生的概率為( )
A. B. C. D.
解析 由-1≤log≤1,得≤x+≤2,
解得0≤x≤,所以事件“-1≤log≤1”發(fā)生的
概率為=,故選A.
答案 A
4.(2018·成都診斷)如圖,大正方形的面積是34,四個全等直角三角形圍成一個小正方形,直角三角形的較短邊長為3,向大正方形內(nèi)拋撒一枚幸運小花朵,則小花朵落在小正方形內(nèi)的概率為( )
A. B. C. D.
解析 ∵大正方形的面積是34,∴大正方形的邊長是,由直角三角形的較短邊長為3,得四個全等直角三角形的直角邊分別是5和3,則小正方形邊長為2,面積為4,∴小花朵落在小正方形 17、內(nèi)的概率為P==.
答案 B
5.有一底面半徑為1、高為2的圓柱,點O為這個圓柱底面圓的圓心,在這個圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點P,則點P到點O的距離大于1的概率為( )
A. B. C. D.
解析 設(shè)點P到點O的距離小于等于1的概率為P1,由幾何概型,則P1===.
故點P到點O的距離大于1的概率P=1-=.
答案 B
6.(2018·西安調(diào)研)若函數(shù)f(x)=在區(qū)間[0,e]上隨機(jī)取一個實數(shù)x,則f(x)的值不小于常數(shù)e的概率是( )
A. B.1-
C. D.
解析 當(dāng)0≤x<1時,恒有f(x)=ex 18、 x+e.由ln x+e≥e,得1≤x≤e.∴所求事件的概率P==1-.
答案 B
7.已知平面區(qū)域D={(x,y)|-1≤x≤1,-1≤y≤1},在區(qū)域D內(nèi)任取一點,則取到的點位于直線y=kx(k∈R)下方的概率為( )
A. B. C. D.
解析 由題設(shè)知,區(qū)域D是以原點為中心的正方形,根據(jù)圖形的對稱性知,直線y=kx將其面積平分,如圖,故所求概率為.
答案 A
8.(2018·福州調(diào)研)如圖,矩形ABCD中,點A在x軸上,點B的坐標(biāo)為(1,0),且點C與點D在函數(shù)f(x)=的圖象上.若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點,則此點取自陰影部分的概率等于( )
A. 19、 B. C. D.
解析 因為四邊形ABCD為矩形,B(1,0)且點C和點D分別在直線y=x+1和y=-x+1上,
所以C(1,2),D(-2,2),E(0,1),則A(-2,0).
因此S矩形ABCD=6,S陰影=×1·|CD|=.
由幾何概型,所求事件的概率P==.
答案 B
二、填空題
9.在區(qū)間[-2,4]上隨機(jī)地取一個數(shù)x,若x滿足|x|≤m的概率為,則m=________.
解析 由|x|≤m,得-m≤x≤m.
當(dāng)m≤2時,由題意得=,解得m=2.5,矛盾,舍去.
當(dāng)2<m<4時,由題意得=,解得m=3.
答案 3
10.如圖,在長方體ABCD- 20、A1B1C1D1中,有一動點在此長方體內(nèi)隨機(jī)運動,則此動點在三棱錐A-A1BD內(nèi)的概率為________.
解析 因為VA-A1BD=VA1-ABD=AA1×S△ABD=×AA1×S矩形ABCD=V長方體,故所求概率為=.
答案
11.(2018·河南六市聯(lián)考)在平面區(qū)域{(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤4}內(nèi)隨機(jī)投入一點P,則點P的坐標(biāo)(x,y)滿足y≤x2的概率為________.
解析 不等式組表示的平面區(qū)域的面積為2×4=8,
設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域的面積為S;則S=x2dx=x3=,因此所求的概率為=.
答案
12.在區(qū)間[0,5]上隨機(jī)地選擇一個數(shù)p,則方程x2 21、+2px+3p-2=0有兩個負(fù)根的概率為________.
解析 設(shè)方程x2+2px+3p-2=0的兩負(fù)根為x1,x2,
則解得 2.
又因為p∈[0,5],得p∈∪(2,5],
故所求概率為=.
答案
能力提升題組
(建議用時:10分鐘)
13.(2018·西北工大附中調(diào)研)設(shè)復(fù)數(shù)z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,則y≥x的概率為( )
A.+π B.+ C.- D.-
解析 由|z|≤1得(x-1)2+y2≤1,由題意作圖如圖所示,則滿足條件的區(qū)域為圖中陰影部分,
∴y≥x的概率為=-.
答案 D
14.在區(qū)間[0, 22、1]上任取兩個數(shù)a,b,則函數(shù)f(x)=x2+ax+b2無零點的概率為( )
A. B. C. D.
解析 要使該函數(shù)無零點,只需a2-4b2<0,即(a+2b)(a-2b)<0.
∵a,b∈[0,1],a+2b>0,
∴a-2b<0.
作出的可行域(如陰影部分所示),易得該函數(shù)無零點的概率P==.
答案 C
15.正方形的四個頂點A(-1,-1),B(1,-1),C(1,1),
D(-1,1)分別在拋物線y=-x2和y=x2上,如圖所示.若將一個質(zhì)點隨機(jī)投入正方形ABCD中,則質(zhì)點落在圖中陰影區(qū)域的概率是________.
解析 正方形內(nèi)空白部分面積為[x2-(-x2)]dx=2x2dx=·x3|=-=,
陰影部分面積為2×2-=,
所以所求概率為=.
答案
16.小波通過做游戲的方式來確定周末活動,他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點,若此點到圓心的距離大于,則周末去看電影;若此點到圓心的距離小于,則去打籃球;否則,在家看書.則小波周末不在家看書的概率為________.
解析 ∵去看電影的概率P1==,
去打籃球的概率P2==,
∴不在家看書的概率為P=+=.
答案
13
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