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1、2022年高考數(shù)學(xué) 考前30天之備戰(zhàn)沖刺押題系列 名師預(yù)測(cè)卷 5
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．
1． 復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第 象限．
2． 某商場(chǎng)有四類(lèi)食品，其中糧食類(lèi)、植物油類(lèi)、動(dòng)物性食品類(lèi)及果蔬類(lèi)分別有40種、10種、30種、20 種，從中抽取一個(gè)容量為20的樣本進(jìn)行食品安全檢測(cè)．若采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類(lèi)與果蔬類(lèi)食品種數(shù)之和是 ．
3． 已知集合，集合，若命題“”是命
題“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
4． 如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，BC=2，
2、AC=，AA1=3，
M為線段BB1上的一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)AM＋MC1最小時(shí)，△AMC1的面積
為 ．
（第4題）．
5． 集合若則 ．
6． 閱讀如圖所示的程序框，若輸入的是100，則輸出的變量的值
是 ．
7． 向量，= ．
8． 方程有 個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．
9． 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若≤≤，≤≤，則的取值范圍是 ．
10．過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，作圓：的切線，切點(diǎn)為，直線交雙曲線右支于點(diǎn)，若，
3、則雙曲線的離心率為 ．
11．若函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
12．如果圓上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
13．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為 ．
14．當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，函數(shù)表示的最大奇因數(shù),如,設(shè),則 ．
答案
1. 四 2. 6 3. 4. 5. {2,3,4} 6. 5049 7. 8. 2 9.
10. 11. 12. 13. 4
4、 14.
二、解答題：本大題共六小題，共計(jì)90分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15．（本題滿分14分）
在銳角中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．已知.
（1）求；（2）當(dāng)，且時(shí)，求.
解：（1）由已知可得.所以. ……………… 2分
因?yàn)樵谥?，，所? ………………………………4分
（2）因?yàn)椋? ………………………………6分
因?yàn)槭卿J角三角形，所以，. ………………8分
所以. 11分
由正弦定理可得：，所以. …………………………………………14分
說(shuō)明:
5、用余弦定理也同樣給分.
16．（本題滿分14分）
如圖, 是邊長(zhǎng)為的正方形，平面，，.
(1)求證：平面；
（2）設(shè)點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)的位置，
使得平面，并證明你的結(jié)論.
解：(1)證明：因?yàn)槠矫妫?
所以. ……………………2分
因?yàn)槭钦叫危?
所以，因?yàn)椤?分
從而平面. ……………………6分
（2）當(dāng)M是BD的一個(gè)三等分點(diǎn)，即3BM＝BD時(shí)，AM∥平面BEF． …………7分
取BE上的三等分點(diǎn)N，使3BN＝BE，連結(jié)MN，NF，則DE∥MN，且DE＝3MN，
因?yàn)锳F∥DE，且DE＝3AF，所以AF∥MN，且AF＝
6、MN，
故四邊形AMNF是平行四邊形． ……………………………………10分
所以AM∥FN，
因?yàn)锳M平面BEF，F(xiàn)N平面BEF， …………………………………………12分
所以AM∥平面BEF． …………………………………………14分
17．（本題滿分14分）
已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，短軸長(zhǎng)為2，一條準(zhǔn)線方程為l：．
⑴ 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
⑵ 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N,求證:線段ON的長(zhǎng)為定值．
解：⑴∵橢圓C的短軸長(zhǎng)為2，橢圓C的
7、一條準(zhǔn)線為l：，
∴不妨設(shè)橢圓C的方程為．（2分）∴，（ 4分）即．（5分）
∴橢圓C的方程為．（6分）
⑵ F（1，0），右準(zhǔn)線為l：， 設(shè)，
則直線FN的斜率為，直線ON的斜率為，（8分）
∵FN⊥OM，∴直線OM的斜率為，（9分）
∴直線OM的方程為：，點(diǎn)M的坐標(biāo)為．（11分）
∴直線MN的斜率為．（12分）
∵M(jìn)N⊥ON，∴， ∴，
∴，即．（13分）∴為定值．（14分）
說(shuō)明:若學(xué)生用平面幾何知識(shí)（圓冪定理或相似形均可）也得分，設(shè)垂足為P，準(zhǔn)線l與x軸交于Q，則有，又，所以為定值．
18．（本題滿分16
8、分）
如圖，直角三角形ABC中，∠B＝，AB＝1，BC＝．點(diǎn)M,N分別在邊AB和AC
上(M點(diǎn)和B點(diǎn)不重合)，將△AMN沿MN翻折，△AMN變?yōu)椤鱉N，使頂點(diǎn)落在邊BC
上(點(diǎn)和B點(diǎn)不重合).設(shè)∠AMN＝．
(1) 用表示線段的長(zhǎng)度，并寫(xiě)出的取值范圍；(2) 求線段長(zhǎng)度的最小值．
解：（1）設(shè)，則．（2分）
在Rt△MB中，， （4分）
∴． （5分）
∵點(diǎn)M在線段AB上，M點(diǎn)和B點(diǎn)不重合，點(diǎn)和B點(diǎn)不重合，∴．（7分）
（2）在△AMN中，∠ANM＝,（8分）
,（9分）
＝．（10分）
令＝
＝．（13分）
∵， ∴． （14分）
當(dāng)且
9、僅當(dāng)，時(shí)，有最大值，（15分）
∴時(shí)，有最小值．（16分）
19．（本題滿分16分）
已知,函數(shù).
(1) 如果實(shí)數(shù)滿足,函數(shù)是否具有奇偶性？如果有，求出相應(yīng)的
值；如果沒(méi)有，說(shuō)明為什么?
(2) 如果判斷函數(shù)的單調(diào)性；
(3) 如果，，且，求函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心.
解：（1）如果為偶函數(shù)，則恒成立，（1分）
即： （2分）
由不恒成立，得（3分）
如果為奇函數(shù)，則恒成立，（4分）
即：（5分）
由恒成立，得（6分）
（2）， ∴ 當(dāng)時(shí),顯然在R上為增函數(shù)；（8分）
當(dāng)時(shí)，，
由得得得.（9分）
∴當(dāng)時(shí), ,為減函數(shù); （10分）
當(dāng)時(shí), ,為增函數(shù).
10、（11分）
(3) 當(dāng)時(shí)，
如果，（13分）
則∴函數(shù)有對(duì)稱(chēng)中心（14分）
如果（15分）
則 ∴函數(shù)有對(duì)稱(chēng)軸.（16分）
20．（本題滿分16分）
已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1＝c，2Sn＝anan＋1＋r．
（1）若r＝－6，數(shù)列{an}能否成為等差數(shù)列？若能，求滿足的條件；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）設(shè)，，
若r＞c＞4，求證：對(duì)于一切n∈N*，不等式恒成立．
解：（1）n＝1時(shí)，2a1＝a1a2＋r，∵a1＝c≠0，∴2c＝ca2＋r，． （1分）
n≥2時(shí)，2Sn＝anan＋1＋r，①
11、 2Sn－1＝an－1an＋r，②
①－②，得2an＝an(an＋1－an－1)．∵an≠0，∴an＋1－an－1＝2． （ 3分）
則a1，a3，a5，…，a2n－1，… 成公差為2的等差數(shù)列，a2n－1＝a1＋2(n－1)．
a2，a4，a6，…，a2n，… 成公差為2的等差數(shù)列， a2n＝a2＋2(n－1)．
要使{an}為等差數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)a2－a1＝1．即．r＝c－c2． （ 4分）
∵r＝－6，∴c2－c－6＝0，c＝－2或3．
∵當(dāng)c＝－2，，不合題意，舍去.
∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列 （5分）
（2）＝[a1＋2(n－1)]－
12、[a2＋2(n－1)]＝a1－a2＝－2．
＝[a2＋2(n－1)]－（a1＋2n）＝a2－a1－2＝－()． （8分）
∴ （9分）
． （10分）
＝．（11分）
∵r＞c＞4，∴＞4，∴＞2．∴0＜＜1． （13分）
且＞－1． （14分）
又∵r＞c＞4，∴，則0＜．．
∴＜1．．∴＜1．（15分）
∴對(duì)于一切n∈N*，不等式恒成立．（16分）
附加題部分
21. （選做題）本大題包括A，B，C，D共4小題，請(qǐng)從這4題中選做2小題. 每小題10分，共20分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上準(zhǔn)確填涂題目標(biāo)記. 解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
A．選修4－
13、1：幾何證明選講
如圖，⊙O的直徑AB的延長(zhǎng)線與弦CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，E為⊙O上一點(diǎn)，AE=AC，求證：∠PDE=∠POC．
證明：因AE=AC，AB為直徑，
故∠OAC=∠OAE． ……………………………………………………………3分
所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC．
又∠EAC=∠PDE，
所以，∠PDE=∠POC．…………………………………………………………10分
B．選修4—2 矩陣與變換
已知矩陣，其中，若點(diǎn)在矩陣的變換下得到點(diǎn)，
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求矩陣的特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量.
解：
14、（1）由=，（2分） ∴. （3分）
（2）由（1）知，則矩陣的特征多項(xiàng)式為
（5分）
令，得矩陣的特征值為與4. （6分）
當(dāng)時(shí)，
∴矩陣的屬于特征值的一個(gè)特征向量為; （8分）
當(dāng)時(shí)，
∴矩陣的屬于特征值的一個(gè)特征向量為. （10分）
C．選修4—4 參數(shù)方程與極坐標(biāo)
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)圓（R）的
圓心為 ，求的取值范圍.
【解】由題設(shè)得（為參數(shù)，R）. …………………………5分
于是，
所以 . ………………………10分
D．選
15、修4－5：不等式選講
已知x，y，z均為正數(shù)．求證：．
證明：因?yàn)閤，y，z都是為正數(shù)，所以． …………………3分
同理可得．
將上述三個(gè)不等式兩邊分別相加，并除以2，得．………10分
22. 必做題, 本小題10分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線過(guò)點(diǎn).
（1）若點(diǎn)到直線的距離為，求直線的斜率；（4分）
（2）設(shè)為拋物線上兩點(diǎn)，且不與軸垂直，若線段的垂直平分線恰過(guò)點(diǎn)，求證：線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值.（6分）
解：（1）由已知，不合題意.設(shè)直線的方程為，
由已知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為， …
16、………………1分
因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以， …………………2分
解得，所以直線的斜率為 . …………………4分
（2）設(shè)線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
因?yàn)椴淮怪庇谳S，則直線的斜率為，直線的斜率為，
直線的方程為， …………………5分
聯(lián)立方程
消去得， …………………7分
所以， …………………8分
因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，即， …………………9分
所以.即
17、線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值. …………………10分
23．必做題, 本小題10分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
已知，
（1）若，求的值；（3分）
（2）若，求中含項(xiàng)的系數(shù)；（3分）
（3）證明：．（4分）
解：（1）因?yàn)?所以,又,
所以 （1）
（2）
（1）-（2）得：
所以： …………………3分
（2）因?yàn)椋?
中含項(xiàng)的系數(shù)為 …………………6分
（Ⅲ）設(shè) (1)
則函數(shù)中含項(xiàng)的系數(shù)為 …………………7分
(2)
(1)-(2)得
中含項(xiàng)的系數(shù)，即是等式左邊含項(xiàng)的系數(shù)，等式右邊含項(xiàng)的系數(shù)為
所以 …………………10分
2022年高考數(shù)學(xué) 考前30天之備戰(zhàn)沖刺押題系列 名師預(yù)測(cè)卷 5
