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1、2022年高考數(shù)學 考前30天之備戰(zhàn)沖刺押題系列 名師預測卷 4
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．請把答案填寫在答題卡相應的位置上．
1．若集合A={x|x＞2}，B={x|x≤3}，則A∩B= ▲ ．
答案： 解析：A∩B=
2．函數(shù)y=sin2x+cos2x的最小正周期是 ▲ ．
答案：π
解析：y=sin2x+cos2x=2 sin(2 x+60o) TT=2π/2= π
3．已知(a+i)2=2i，其中i是虛數(shù)單位，那么實數(shù) a= ▲ ．
答案：1
解析：(a+i)2= a2+2 ai+ i2= a2-1+
2、2 ai=2i T a=1
4．已知向量a與b的夾角為60o，且|a|=1，|b|=2，那么的值為 ▲ ．
答案：7
解析：=a2+ b2+2ab = a2+ b2+2|a||b| cos60o=12+22+2x1x2=7
5．底面邊長為2m，高為1m的正三棱錐的全面積為 ▲ m2．
答案：
解析：如圖所示，正三棱錐，為頂點在底面內(nèi)的射影，則為正的垂心，過作于，連接。
則，且，在中，。
于是，，。
所以。
6．若雙曲線的焦點到漸近線的距離為，則實數(shù)k的值是 ▲ ．
答案：8
解析：法一：雙曲線的漸近線方程為；焦點坐標是。
由焦點到漸
3、近線的距離為，不妨。解得。
法二：可以將問題變?yōu)椤叭魴E圓的離心率為，則實數(shù)k= ”，這時需要增加分
類討論的意思
法三：結(jié)論法: 在雙曲線中，雙曲線的焦點到漸近線的距離為b 【在本題中，則b 2=k=（)2=8】
7．若實數(shù)x，y滿足則z=x+2y的最大值是 ▲ ．
答案：2
解析：滿足題中約束條件的可行域如圖所示。
目標函數(shù)取得最大值，
即使得函數(shù)在軸上的截距最大。
結(jié)合可行域范圍知，當其過點時，。
8．對于定義在R上的函數(shù)f(x)，給出三個命題：
①若，則f(x)為偶函數(shù)；
②若，則f(x)不是偶函數(shù)；
③若，則f(x)一定不是奇函數(shù)．
4、其中正確命題的序號為 ▲ ．
答案：②
解析：命題③學生很容易判為真命題．
反例：函數(shù)是奇函數(shù)，且滿足．
請注意以下問題：既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)是否唯一？
答案是否定的，如函數(shù)，，等．
9．圖中是一個算法流程圖，則輸出的n= ▲ ．
答案：11
10．已知三數(shù)x+log272，x+log92，x+log32成等比數(shù)列，則公比為 ▲ ．
答案：3
解析：，
本題首先應整體觀察出三個對數(shù)值之間的關系，并由此選
定log32，得出log272=log32，log92=log32，最
后通過假設將x用log32表示．
11．已
5、知5×5數(shù)字方陣：中，
則= ▲ ．
答案：-1
解析：假如題中出現(xiàn)，應注意a15中5為1的倍數(shù)．
題中方陣是一個迷惑，應排除這一干擾因素．本題的實質(zhì)就是先定義aij，后求和．應注意
兩個求和符號∑中的上下標是不一致的，解題應把求和給展開．
12． 已知函數(shù)f(x)=，x∈，則滿足f(x0)＞f()的x0的取值范圍為 ▲ ．
答案：∪
解析：
法1 注意到函數(shù)是偶函數(shù)故只需考慮區(qū)間上的情形．
由知函數(shù)在單調(diào)遞增，
所以在上的解集為，
結(jié)合函數(shù)是偶函數(shù)得原問題中取值范圍是．
法2 ，
作出函數(shù)在上的圖象
并注意到兩函數(shù)有交點可得取值范圍
6、是．
13．甲地與乙地相距250公里．某天小袁從上午7∶50由甲地出發(fā)開車前往乙地辦事．在上午9∶00，10∶00，11∶00三個時刻，車上的導航儀都提示“如果按出發(fā)到現(xiàn)在的平均速度繼續(xù)行駛，那么還有1小時到達乙地”．假設導航儀提示語都是正確的，那么在上午11∶00時，小袁距乙地還有 ▲ 公里．
答案：60
解析：設從出發(fā)到上午11時行了公里，則，解得，此時小袁距乙地還有60公里．
14．定義在上的函數(shù)f(x)滿足：①f(2x)=cf(x)(c為正常數(shù))；②當2≤x≤4時，f(x)=1-|x-3|．若函數(shù)的所有極大值點均落在同一條直線上，則c= ▲ ．
答案
7、：1或2
解析：由已知可得：當時，；
當時，；當時，，
由題意點共線，據(jù)得或2．
二、解答題：本大題共6小題，共計90分．請把答案寫在答題卡相應的位置上．解答時應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15．(本題滿分14分)某高校從參加今年自主招生考試的學生中隨機抽取容量為50的學生成績樣本，得頻率分布表如下：
組號
分組
頻數(shù)
頻率
第一組
8
0.16
第二組
①
0.24
第三組
15
②
第四組
10
0.20
第五組
5
0.10
合 計
50
1.00
(1)寫出表中①②位置的數(shù)據(jù)
8、；
(2)為了選拔出更優(yōu)秀的學生，高校決定在第三、四、五組中用分層抽樣法抽取6名學生進行第二輪考核，分別求第三、四、五各組參加考核人數(shù)；
(3)在(2)的前提下，高校決定在這6名學生中錄取2名學生，求2人中至少有1名是第四組的概率．
解：(1) ①②位置的數(shù)據(jù)分別為12、0.3； ………………………………………………4分
(2) 第三、四、五組參加考核人數(shù)分別為3、2、1； …………………………………8分
(3) 設上述6人為abcdef(其中第四組的兩人分別為d，e)，則從6人中任取2人的所有情形為：{ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，d
9、e，df，ef}
共有15種．…………………………………………………………………………10分
記“2人中至少有一名是第四組”為事件A，則事件A所含的基本事件的種數(shù)有9種． …………………………………………………………………………………12分
所以，故2人中至少有一名是第四組的概率為． ……………14分
16．(本題滿分14分)
如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中．
(1)若BB1=BC，B1C⊥A1B，證明：平面AB1C平面A1BC1；
(2)設D是BC的中點，E是A1C1上的一點，且A1B∥平面
B1DE，求的值．
解：(1)因為BB1=BC，所以側(cè)面BCC1B1是
10、菱形，所以B1C⊥BC1． …………………3分
又因為B1C⊥A1B ，且A1B∩BC1=B，所以BC1⊥平面A1BC1， …………………5分
又B1C平面AB1C ，所以平面AB1C⊥平面A1BC1 ．……………………………7分
(2)設B1D交BC1于點F，連結(jié)EF，則平面A1BC1∩平面B1DE＝EF．
因為A1B//平面B1DE， A1B平面A1BC1，所以A1B//EF． …………………11分
所以＝．
又因為＝，所以＝． ………………………………………14分
17．(本題滿分14分)
在△ABC中，a2+c2=2b2，其中a，b，c分別為角A，B，C
11、所對的邊長．
(1)求證：B≤；
(2)若，且A為鈍角，求A．
解：
(1)由余弦定理，得． ……………………………………3分
因，．………………………………………………………6分
由0＜B＜π，得 ，命題得證． ……………………………………………7分
(2)由正弦定理，得． …………………………………………10分
因，故=1，于是．……………………………………12分
因為A為鈍角，所以．
所以(，不合，舍) ．解得． …………………14分
（2）其它方法：
法1 同標準答案得到，用降冪公式得到，或
，展開再處理，下略．
法2 由余弦定理得，結(jié)合得，
，，展
12、開后用降冪公式再合，下略．
法3 由余弦定理得，結(jié)合得，
，，下略
18．(本題滿分16分)
在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓(a＞b＞0)的離心率為，其焦點在圓x2+y2=1上．
(1)求橢圓的方程；
(2)設A，B，M是橢圓上的三點(異于橢圓頂點)，且存在銳角θ，使
．
(i)求證：直線OA與OB的斜率之積為定值；
(ii)求OA2+OB2．
解：
(1)依題意，得 c=1．于是，a=，b=1． ……………………………………2分
所以所求橢圓的方程為． ………………………………………………4分
(2) (i)設A(x1，y1)，B(x2
13、，y2)，則①，②．
又設M(x，y)，因，故 …………7分
因M在橢圓上，故．
整理得．
將①②代入上式，并注意，得 ．
所以，為定值． ………………………………………………10分
(ii)，故．
又，故．
所以，OA2+OB2==3． …………………………………………16分
19．(本題滿分16分)
已知數(shù)列{an}滿足：a1=a2=a3=2，an+1=a1a2…an-1(n≥3)，記
(n≥3)．
(1)求證數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，并求其通項公式；
(2)設，數(shù)列{}的前n項和為Sn，求證：n
14、
故②． ……………………………………2分
②-①，得 bn-1-bn-2===1，為常數(shù)，
所以，數(shù)列{bn}為等差數(shù)列． …………………………………………………………5分
因 b1==4，故 bn=n+3． ……………………………………8分
方法二 當n≥3時，a1a2…an=1+an+1，a1a2…anan+1=1+an+2，
將上兩式相除并變形，得 ．……………………………………2分
于是，當n∈N*時，
．
又a4=a1a2a3-1=7，故bn=n+3(n∈N*)．
所以數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且bn=n+3． …………
15、……………………………………8分
(2) 方法一 因 ，…………………12分
故 ．
所以 ， ………15分
即 n＜Sn＜n+1． ………………………………………………………………………16分
方法二 因，故>1，．……………………10分
=<<，
故<，于是．……………………………………16分
第(2)問，為了結(jié)果的美觀，將Sn放縮范圍放得較寬，并且可以改為求不小于Sn的最小正整數(shù)或求不大于Sn的最大正整數(shù)．
本題（2）的方法二是錯誤的，請不要采用。
注意
=<<，
故<，于是．
于是。（這一步推理是錯誤的）
20．(本題滿分16分)
設
16、函數(shù)f(x)=ax3-(a+b)x2+bx+c，其中a＞0，b，c∈R．
(1)若=0，求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；
(2)求證：當0≤x≤1時，||≤．(注：max{a，b}表示a，b中的最大值)
解：(1)由=0，得a=b． …………………………………………………………1分
故f(x)= ax3－2ax2+ax+c．
由=a(3x2－4x+1)=0，得x1=，x2=1．…………………………………………2分
列表：
x
(-∞，)
(，1)
1
(1，+∞)
+
0
-
0
+
f(x)
增
極大值
減
極小值
增
由表可得，函數(shù)f(x
17、)的單調(diào)增區(qū)間是(-∞，)及(1，+∞) ．…………………………4分
(2)=3ax2-2(a+b)x+b=3．
①當時，則在上是單調(diào)函數(shù)，
所以≤≤，或≤≤，且+=a>0．
所以||≤．………………………………………………………8分
②當，即-a＜b＜2a，則≤≤．
(i) 當-a＜b≤時，則0＜a+b≤．
所以 ＝＝≥＞0．
所以 ||≤． ……………………………………………………12分
(ii) 當＜b＜2a時，則＜0，即a2+b2－＜0．
所以=＞＞0，即＞．
所以 ||≤．
綜上所述：當0≤x≤1時，||≤．……………………………16分
數(shù)學Ⅱ（附加題）
18、
21．【選做題】本題包括A，B，C，D共4小題，請從這4題中選做2小題，每小題10分，共20分．請在答題卡上準確填涂題目標記，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4－1：幾何證明選講
如圖，⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點P，E為⊙O上一點，AE=AC，求證：∠PDE=∠POC．
證明：因AE=AC，AB為直徑，
故∠OAC=∠OAE． ……………………………………………………………3分
所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC．
又∠EAC=∠PDE，
所以，∠PDE=∠POC．…………………………………
19、………………………10分
B．選修4－2：矩陣與變換
已知圓C：在矩陣對應的變換作用下變?yōu)闄E圓，求a，b的值．
解：設為圓C上的任意一點，在矩陣A對應的變換下變?yōu)榱硪粋€點，
則 ，即 …………………………………………………4分
又因為點在橢圓上，所以 ．
由已知條件可知， ，所以 a2=9，b2=4．
因為 a>0 ，b>0，所以 a=3，b=2． …………………………………………………10分
C．選修4－4：坐標系與參數(shù)方程
在極坐標系中，求經(jīng)過三點O(0，0)，A(2，)，B(，)
的圓的極坐標方程．
解：設是所求圓上的任意一點，…………………………
20、……………………3分
則，
故所求的圓的極坐標方程為． …………………………………10分
注：亦正確．
D．選修4－5：不等式選講
已知x，y，z均為正數(shù)．求證：．
證明：因為x，y，z都是為正數(shù)，所以． …………………3分
同理可得．
將上述三個不等式兩邊分別相加，并除以2，得．………10分
22．【必做題】本題滿分10分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
已知函數(shù)，其中a＞0．
(1)若在x=1處取得極值，求a的值；
(2)若的最小值為1，求a的取值范圍．
解：(1) ．
因在處取得極值，故，解得a=1 (經(jīng)檢驗)．……
21、………………4分
(2)，因 ，故ax+1＞0，1+x＞0．
當a≥2時，在區(qū)間上，遞增，的最小值為f(0)=1．
當0
22、且λ1+λ2=1，線段CD與EF交于點P．
(1)設，求；
(2)當點C在拋物線上移動時，求點P的軌跡方程．
解：(1)過點A的切線方程為y=x+1． …………………………………………………1分
切線交x軸于點B(-1，0)，交y軸交于點D(0，1)，則D是AB的中點．
所以． (1) ………………………3分
由T=(1+λ) T． (2)
同理由 =λ1， 得=(1+λ1)， (3)
=λ2， 得=(1+λ2)． (4)
將(2)、(3)、(4)式代入(1)得．
因為E、P、F三點共線，所以 + =1，
再由λ1+λ2=1，解之得λ=．……………………………………………………………6分
(2)由(1)得CP=2PD，D是AB的中點，所以點P為△ABC的重心．
所以，x=，y=．
解得x0=3x，y0=3y-2，代入y02=4x0得，(3y-2)2=12x．
由于x0≠1，故x≠3．所求軌跡方程為(3y-2)2=12x (x≠3)． ………………………10分
2022年高考數(shù)學 考前30天之備戰(zhàn)沖刺押題系列 名師預測卷 4
