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1、湖南省2022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練04 三角形與四邊形綜合題練習(xí)
04
三角形與四邊形綜合題
1.[xx·玉林] 如圖ZT4-1,點(diǎn)A,B在雙曲線y=(x>0)上.點(diǎn)C在雙曲線y=(x>0)上,若AC∥y軸,BC∥x軸,且AC=BC,則AB等于 ( )
圖ZT4-1
A. B.2 C.4 D.3
2.[xx·泰州] 如圖ZT4-2,在四邊形ABCD中,AC平分∠BAD,∠ACD=∠ABC=90°,E,F分別為AC,CD的中點(diǎn),∠D=α,則∠BEF的度數(shù)為 .(用含α的式子表示)?
圖ZT4-2
3.[xx·衢州] 如圖ZT4-3,點(diǎn)A,B是反
2、比例函數(shù)y=(x>0)圖象上的兩點(diǎn),過點(diǎn)A,B分別作AC⊥x軸于點(diǎn)C,BD⊥x軸于點(diǎn)D,連接OA,BC.已知點(diǎn)C(2,0),BD=2,S△BCD=3,則S△AOC= .?
圖ZT4-3
4.[xx·陜西] 如圖ZT4-4,點(diǎn)O是?ABCD的對(duì)稱中心,AD>AB,E,F是AB邊上的點(diǎn),且EF=AB,G,H是BC邊上的點(diǎn),且GH=BC.若S1,S2分別表示△EOF和△GOH的面積,則S1與S2之間的等量關(guān)系是 .?
圖ZT4-4
5.如圖ZT4-5,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=kx(k≠0)經(jīng)過點(diǎn)(a,a)(a>0),線段BC的兩個(gè)端點(diǎn)分別在x軸與直線y=kx上(點(diǎn)B,
3、C均不與原點(diǎn)O重合)滑動(dòng),且BC=2,分別作BP⊥x軸,CP⊥直線y=kx,交點(diǎn)為P.經(jīng)探究,在整個(gè)滑動(dòng)過程中,P,O兩點(diǎn)間的距離為定值 .?
圖ZT4-5
6.如圖ZT4-6,在矩形ABCD中,E是AD上一點(diǎn),PQ垂直平分BE,分別交AD,BE,BC于點(diǎn)P,O,Q,連接BP,EQ.
(1)求證:四邊形BPEQ是菱形;
(2)若AB=6,F為AB的中點(diǎn),OF+OB=9,求PQ的長(zhǎng).
圖ZT4-6
7.[xx·湖州] 如圖ZT4-7,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB≥AC,D,E分別為AC,BC邊上的點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),且==m
4、,連接AE,過點(diǎn)D作DM⊥AE,垂足為點(diǎn)M,延長(zhǎng)DM交AB于點(diǎn)F.
(1)如圖①,過點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H,連接DH.
①求證:四邊形DHEC是平行四邊形;
②若m=,求證:AE=DF.
(2)如圖②,若m=,求的值.
圖ZT4-7
8.[xx·涼山州] 如圖ZT4-8,在?ABCD中,E,F分別是AD,BC上的點(diǎn),將?ABCD沿EF所在直線翻折,使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合,且點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處.
(1)求證:△A'ED≌△CFD;
(2)連接BE,若∠EBF=60°,EF=3,求四邊形BFDE的面積.
圖ZT4-8
參考答案
1.B [解
5、析] 點(diǎn)C在雙曲線y=上,AC∥y軸,BC∥x軸,設(shè)Ca,,則B3a,,Aa,.∵AC=BC,∴-=3a-a,解得a=1(a=-1舍去).∴C(1,1),B(3,1),A(1,3).∴AC=BC=2.在Rt△ABC中,AB==2.故選B.
2.270°-3α [解析] ∵∠ACD=90°,∴∠CAD=90°-∠D=90°-α.∵E,F分別為AC,CD的中點(diǎn),∴EF∥AD.∴∠CEF=
∠CAD=90°-α.∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠CAD=90°-α.∵∠ABC=90°,E為AC的中點(diǎn),∴AE=BE.∴∠EBA=
∠BAC=90°-α.∴∠BEC=180°-2α.∴∠BEF=∠C
6、EF+∠BEC=270°-3α.
3.5
4.2S1=3S2S1=S2,S2=S1均正確
[解析] 如圖,連接AC,BD.
∵四邊形ABCD為平行四邊形,
∴AO=OC.∴S△AOB=S△BOC.
∵EF=AB,∴S1=S△AOB.
∴S△AOB=2S1.
∵GH=BC,
∴S2=S△BOC.
∴S△BOC=3S2.∴2S1=3S2.
5. [解析] ∵直線y=kx(k≠0)經(jīng)過點(diǎn)(a,a)(a>0),∴a=ka,k=.∴∠BOC=60°.由題意可知,∠PCO=∠PBO=90°,∴∠PCO+∠PBO=180°.∴O,B,P,C四點(diǎn)共圓,OP為直徑,如圖.設(shè)圓心為D,分
7、別連接CD和BD,過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E,則BE=BC=1.∵∠BDC=2∠BOC=120°,∴∠BDE=60°,在Rt△BDE中,sin∠BDE=,∴BD==,∴OP=2BD=.
6.解:(1)證明:∵PQ垂直平分BE,∴PB=PE,OB=OE.∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC.∴∠PEO=∠QBO.在△EOP和△BOQ中,∴△EOP≌△BOQ(ASA).∴PE=QB.又∵AD∥BC,∴四邊形BPEQ是平行四邊形.又∵PB=PE,∴四邊形BPEQ是菱形.
(2)∵O,F分別為PQ,AB的中點(diǎn),∴AE+BE=2OF+2OB=18.設(shè)AE=x,則BE=18-x.在Rt△ABE中,6
8、2+x2=(18-x)2,解得x=8,BE=18-x=10.∴OB=BE=5.設(shè)PE=y,則AP=8-y,BP=PE=y.在Rt△ABP中,62+(8-y)2=y2,解得y=.在Rt△BOP中,PO==.∴PQ=2PO=.
7.解:(1)①證明:∵EH⊥AB,∠BAC=90°,∴EH∥CA,
∴△BHE∽△BAC.∴=.∵=,∴=.∴=.∴HE=DC,∵EH∥DC,∴四邊形DHEC是平行四邊形.
②∵=,∠BAC=90°,∴AC=AB.∵=,HE=DC,∴=.∵∠BHE=90°,∴BH=HE.∵HE=DC.∴BH=CD.∴AH=AD.∵DM⊥AE,EH⊥AB,∴∠EHA=∠AMF=90°
9、.∴∠HAE+∠HEA=∠HAE+∠AFM=90°.∴∠HEA=∠AFD.又∵∠EHA=
∠FAD=90°,∴△HEA≌△AFD.∴AE=DF.
(2)如圖,過點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G.∵∠BAC=90°,∴EG∥CA.∴△EGB∽△CAB.∴=.∴==.∵=,∴EG=CD.設(shè)EG=CD=3x,AC=3y,則BE=5x,BC=5y.∴BG=4x,AB=4y.∵∠EGA=∠AMF=90°,∴∠GEA+∠EAG=∠EAG+∠AFM,
∴∠AFM=∠AEG.又∵∠FAD=∠EGA=90°,∴△FAD∽△EGA.∴===.
8.解:(1)證明:由翻折的性質(zhì)可知,A'D=AB,∠DEF=∠BE
10、F,∠BFE=∠DFE,∠A=∠A'.
∵四邊形ABCD為平行四邊形,
∴AB=CD,∠C=∠A,AD∥BC.
∴A'D=CD,∠A'=∠C,∠DEF=∠BFE.
∴∠DEF=∠BFE=∠BEF=∠EFD.
∴180°-(∠DEF+∠BEF)=180°-(∠BFE+∠EFD),
即∠AEB=∠DFC.
又∵∠AEB=∠A'ED,∴∠DFC=∠A'ED.
在△A'ED和△CFD中,
∴△A'ED≌△CFD(AAS).
(2)過點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H.
∵∠EBF=60°,∠BEF=∠BFE,EF=3,
∴△EBF是等邊三角形.
∴FH=,EH== .
由折疊可知△DEF≌△BEF,
∴四邊形BFDE的面積=2S△BEF=BF·EH=3× = .
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