福建省2022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五單元 四邊形 課時(shí)訓(xùn)練31 正方形練習(xí)

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1、福建省2022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五單元 四邊形 課時(shí)訓(xùn)練31 正方形練習(xí) 1．不能判定四邊形是正方形的是(　　) A．對(duì)角線(xiàn)互相垂直且相等的四邊形 B．對(duì)角線(xiàn)互相垂直的矩形 C．對(duì)角線(xiàn)相等的菱形 D．對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分且相等的四邊形 2．如圖K31－1，邊長(zhǎng)分別為4和8的兩個(gè)正方形ABCD和CEFG并排放在一起，連接BD并延長(zhǎng)交FG于點(diǎn)P，則DP等于(　　) 圖K31－1 A．2 B．4 C．2 D．1 3．[xx·仙桃]如圖K31－2，正方形ABCD中，AB＝6，G是BC的中點(diǎn)．將△A

2、BG沿AG對(duì)折至△AFG，延長(zhǎng)GF交DC于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)是(　　) 圖K31－2 A．1 B．1．5 C．2 D．2．5 4．[xx·德陽(yáng)]如圖K31－3，將邊長(zhǎng)為的正方形繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，那么圖中陰影部分的面積為(　　) 圖K31－3 A．3 B． C．3－ D．3－ 5．[xx·福清模擬]在矩形ABCD中，再增加條件　　　　(只需填一個(gè))可使矩形ABCD成為正方形．? 6．[xx·深圳]如圖K31－4，

3、四邊形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且E，A，B三點(diǎn)共線(xiàn)，AB＝4，則陰影部分的面積是　　　?。? 圖K31－4 7．[xx·武漢]以正方形ABCD的邊AD為邊作等邊三角形ADE，則∠BEC的度數(shù)是　　　?。? 8．如圖K31－5，BD為正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，BE平分∠DBC，交DC于點(diǎn)E，將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF．若CE＝1 cm，則BF＝　　　　cm．? 圖K31－5 9．[xx·青島]如圖K31－6，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A(yíng)D，DC上，AE＝DF＝2，BE與AF相交于點(diǎn)G，點(diǎn)H為BF的中點(diǎn)，連接GH，則GH的長(zhǎng)為

4、　　　?。? 圖K31－6 10．[xx·陜西]如圖K31－7，已知：在正方形ABCD中，M是BC邊上一定點(diǎn)，連接AM．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在A(yíng)M上求作一點(diǎn)P，使△DPA∽△ABM．(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡) 圖K31－7 能力提升 11．[xx·天津]如圖K31－8，正方形ABCD和正方形EFCG的邊長(zhǎng)分別為3和1，點(diǎn)F，G分別在邊BC，CD上，P為AE的中點(diǎn)，連接PG，則PG的長(zhǎng)為　　　?。? 圖K31－8 12．[xx·北京]如圖K31－9，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合)，連接DE，點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)DE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為F，連接E

5、F并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，連接DG，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥DE交DG的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，連接BH． (1)求證：GF＝GC； (2)用等式表示線(xiàn)段BH與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明． 圖K31－9 拓展練習(xí) 13．[xx·臺(tái)州]如圖K31－10，在正方形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于點(diǎn)G．若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2∶3，則△BCG的周長(zhǎng)為　　　?。? 圖K31－10 14．[xx·龍巖質(zhì)檢]如圖K31－11，邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，AB上的點(diǎn)，A

6、P⊥BE，P為垂足． (1)如圖①，AF＝BF，AE＝2，點(diǎn)T是射線(xiàn)PF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)△ABT為直角三角形時(shí)，求AT的長(zhǎng)． (2)如圖②，若AE＝AF，連接CP，求證：CP⊥FP． 圖K31－11 參考答案 1．A　 2．B 3．C　[解析] 連接AE．∵△ABG沿AG對(duì)折至△AFG，∴AB＝AF，GB＝GF＝3．∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝AF．∵AE是公共邊，∴Rt△AFE≌Rt△ADE(HL)．∴DE＝EF．設(shè)DE＝x，則EF＝DE＝x，GE＝x＋3，CE＝6－x．在Rt△CGE中，由勾股定

7、理得CG2＋CE2＝GE2．∴32＋(6－x)2＝(x＋3)2．解得x＝2．故選C． 4．C　[解析] 由旋轉(zhuǎn)可知∠1＝∠4＝30°，∴∠2＋∠3＝60°． ∵∠BAM＝∠BC'M＝90°，AB＝BC'，BM＝BM， ∴Rt△ABM≌Rt△C'BM， ∴∠2＝∠3＝30°． 在Rt△ABM中，AB＝，∠2＝30°， 則AM＝tan30°×AB＝1． ∴S△ABM＝S△BMC'＝， ∴S陰影＝S正方形－(S△ABM＋S△BMC')＝3． 5．AB＝BC(答案不唯一) 6．8　[解析] ∵四邊形ACDF是正方形，∴AC＝AF，∠CAF＝90°，∴∠CAE＋∠BAF＝90°，∵∠

8、CEA是直角， ∴∠CAE＋∠ACE＝90°，∴∠ACE＝∠BAF，則在△ACE和△FAB中，∵∴△ACE≌ △FAB(AAS)，∴AB＝CE＝4，∴陰影部分的面積S△ABC＝AB·CE＝×4×4＝8． 7．30°或150°　[解析] 如圖①，∵△ADE是等邊三角形，∴DE＝DA，∠DEA＝∠1＝60°．∵四邊形ABCD是正方形，∴DC＝DA，∠2＝90°．∴∠CDE＝150°，DE＝DC，∴∠3＝(180°－150°)＝15°．同理可求得∠4＝15°． ∴∠BEC＝30°． 如圖②，∵△ADE是等邊三角形，∴DE＝DA，∠1＝∠2＝60°．∵四邊形ABCD是正方形，∴DC＝DA

9、，∠CDA＝90°．∴DE＝DC，∠3＝30°，∴∠4＝(180°－30°)＝75°．同理可求得∠5＝75°．∴∠BEC＝360°―∠2―∠4―∠5＝150°．故答案為30°或150°． 8．(2＋) 9．　[解析] ∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD＝5，∠BAD＝∠D＝∠C＝90°．又∵AE＝DF，∴△ABE≌△DAF，∴∠DAF＝∠ABE，∴∠ABE＋∠BAG＝90°，∠BGF＝∠BGA＝90°．在Rt△BCF中，CF＝3，BC＝5，∴BF＝．在Rt△BGF中，點(diǎn)H為BF的中點(diǎn)，∴GH＝BF＝． 10．解：如圖所示，AM與DG的交點(diǎn)即為滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P． 作法如

10、下(題目不要求寫(xiě)作法，以下步驟可省略)： ①以點(diǎn)D為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AM于E，F(xiàn)兩點(diǎn)， ②分別以E，F(xiàn)為圓心，以大于EF長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)G， ③作直線(xiàn)DG交AM于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求點(diǎn)． 11．　[解析] 如圖所示，延長(zhǎng)GE交AB于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥GN于M．由正方形的性質(zhì)可知AN＝AB－BN＝AB－EF＝2，NE＝GN－GE＝BC－FC＝2．根據(jù)點(diǎn)P是AE的中點(diǎn)及PM∥AN，可得PM為△ANE的中位線(xiàn)，所以ME＝NE＝1，PM＝AN＝1，因此MG＝2．根據(jù)勾股定理可得PG＝． 12．解：(1)證明：連接DF，如圖： ∵點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)DE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為F，∴D

11、A＝DF，∠DFE＝∠A＝90°．∴∠DFG＝90°． ∵四邊形ABCD是正方形，∴DC＝DA＝DF，∠C＝∠DFG＝90°． 又∵DG＝DG，∴Rt△DGF≌Rt△DGC(HL)． ∴GF＝GC． (2)如圖，在A(yíng)D上取點(diǎn)P，使AP＝AE，連接PE，則BE＝DP． 由(1)可知∠1＝∠2，∠3＝∠4，從而由∠ADC＝90°，得2∠2＋2∠3＝90°，∴∠EDH＝45°． 又∵EH⊥DE，∴△DEH是等腰直角三角形．∴DE＝EH． ∵∠1＋∠AED＝∠5＋∠AED＝90°，∴∠1＝∠5．∴△DPE≌△EBH(SAS)．∴PE＝BH． ∵△PAE是等腰直角三角形，從而PE＝A

12、E． ∴BH＝AE． 13．3＋　[解析] ∵正方形ABCD中，AB＝3，∴S正方形ABCD＝32＝9， ∵陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2∶3， ∴空白部分的面積與正方形ABCD的面積之比為1∶3，∴S空白＝3， ∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°． ∵CE＝DF，∴△BCE≌△CDF(SAS)，∴∠CBE＝∠DCF， ∵∠DCF＋∠BCG＝90°，∴∠CBE＋∠BCG＝90°， 即∠BGC＝90°，△BCG是直角三角形， 易知S△BCG＝S四邊形FGED＝，∴S△BCG＝BG·CG＝， ∴BG·CG＝3， 根據(jù)勾股定理得：B

13、G2＋CG2＝BC2，即BG2＋CG2＝9． ∴(BG＋CG)2＝BG2＋2BG·CG＋CG2＝9＋2×3＝15， ∴BG＋CG＝， ∴△BCG的周長(zhǎng)＝BG＋CG＋BC＝3＋． 14．解：在正方形ABCD中，∠DAB＝90°． 在Rt△BAE中，tan∠ABE＝，∴∠ABE＝30°． (1)分三種情況： ①當(dāng)點(diǎn)T在A(yíng)B的上方，∠ATB＝90°時(shí)， 顯然此時(shí)點(diǎn)T和點(diǎn)P重合，即AT＝AP＝AB＝3． ②當(dāng)點(diǎn)T在A(yíng)B的下方，∠ATB＝90°時(shí)，如圖①所示． 在Rt△APB中，由AF＝BF，可得：AF＝BF＝PF＝3， ∴∠BPF＝∠FBP＝30°，∴∠BFT＝60°． 在Rt

14、△ATB中，TF＝BF＝AF＝3， ∴△FTB是等邊三角形， ∴TB＝3，AT＝＝3． ③當(dāng)點(diǎn)T在A(yíng)B下方，∠ABT＝90°時(shí)，如圖②所示． 在Rt△FBT中，∠BFT＝60°，BF＝3，BT＝BF·tan60°＝3． 在Rt△ABT中，AT＝＝3． 綜上所述：當(dāng)△ABT為直角三角形時(shí)，AT的長(zhǎng)為3或3或3． (2)證明：如圖③所示， 在正方形ABCD中，AB＝AD＝BC，AD∥BC，∠DAB＝90°，∴∠3＝∠4． 在Rt△EAB中，AP⊥BE，易知∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°． ∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠3＝∠4． ∵tan∠1＝，tan∠3＝， ∴，∵AE＝AF，AB＝BC，∴， ∵∠4＝∠1， ∴△PBC∽△PAF，∴∠5＝∠6． ∵∠6＋∠7＝90°，∴∠5＋∠7＝90°，即∠CPF＝90°， ∴CP⊥FP．