2022年人教A版高中數(shù)學 選修2-1 3-1-5空間向量運算的坐標表示 教案

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1、2022年人教A版高中數(shù)學 選修2-1 3-1-5空間向量運算的坐標表示 教案 學習目標： 1、 掌握空間向量加減、數(shù)乘、數(shù)量積運算的坐標表示。 2、會根據(jù)向量的坐標，判斷兩個向量共線或垂直。 3、掌握向量的長度公式、兩向量夾角公式、空間兩點間距離公式；并會應用這些知識解決簡單的立體幾何問題。 學習重點： 1、利用空間向量的坐標運算證明線線垂直或平行。 2、利用空間向量的坐標運算求兩點間的距離。 學習難點： 利用空間向量的坐標運算求兩條異面直線所成的角。 學習方法： 類比法和啟發(fā)探究 學習過程： 一、復習回顧 平面向量坐標運算 已知=(,)，=(,)，寫出下列向量

2、的坐標表示 +=(+，+) -=(-，-) =(，) = //=0 ⊥=0 設，則或 如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標分別為、， 那么(平面內兩點間的距離公式) cosq =（） 二、新授： 我們知道，向量在平面上可用有序實數(shù)對(x，y)表示，在空間則可用有序實數(shù)組表示。類似平面向量的坐標運算，我們可以得出空間向量的加法、減法、數(shù)乘及數(shù)量積運算的坐標表示。 空間向量的直角坐標運算： 1．設＝，＝，則 ⑴＋＝； ⑵－＝； ⑶λ＝； ⑷·＝. 上述運算法則怎樣證明呢？（將＝＋＋和＝＋＋代入即可） 2．兩個向量共線或垂直的判定：設＝，＝，則 ⑴/

3、/＝λ，； ⑵⊥·=0 3．向量的模：設a＝，則｜a｜＝ 利用向量的長度公式，我們還可以得出空間兩點間的距離公式： 4．空間兩點間的距離公式： 在空間直角坐標系中，已知點，則A，B兩點間的距離 5、兩個向量夾角公式 這個公式成為兩個向量的夾角公式．利用這個公式，我們可以求出兩個向量的夾角，并可以進一步得出兩個向量的某些特殊位置關系： 當cos＜、＞＝1時，與同向； 當cos＜、＞＝－1時，與反向； 當cos＜、＞＝0時，⊥． 三、典型例題 例1.設a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)． (1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；(2)若(ka＋b)⊥(a

4、－3b)，求k. 解：(1)ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．因為(ka＋b)∥(a－3b)，所以＝＝，解得k＝－. 例2.若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，cos〈a，b〉＝，則λ為(　　) A．2 B．－2 C．－2或 D．2或－ 答案　C 解析　由cos〈a，b〉＝＝＝，化得55λ2＋108λ－4＝0，由此可解得λ＝－2或λ＝. 例3.．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα， 1，cosα)，則向量 a＋b與a－b的夾角是(　　) A．90

5、° B．60° C．30° D．0° 答案　A解析　∵|a|＝|b|＝，∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0. 例4. 如圖,在正方體中，點分別是的一個四等分點，求與所成的角的余弦值． 分析：如何建系？ → 點的坐標？ → 如何用向量運算求夾角？ 解：設正方體的棱長為1，如圖建 立空間直角坐標系O-xyz，則　　　　 因此與所成的角的余弦值是。 例5： 如圖，正方體中，點E,F分別是的中點，求證：. 證明：如圖，不妨設正方體的棱長為1，分別以，,為單位正交基底建立空間直角坐標系Oxyz，則 所以 又 所以 所以 因此 ,即。 四、課堂小結 1.基本知識： （1）空間向量坐標表示及其運算 （2）向量的長度公式與兩點間的距離公式； （3）求兩個向量的夾角或角的余弦值的關鍵是在合適的直角坐標系中找出兩個向量的坐標，然后再用公式計算. 2.思想方法： 用向量計算或證明幾何問題時，可以先建立直角坐標系，然后把向量、點坐標化，借助向量的直角坐標運算法則進行計算或證明。 五．鞏固練習 課本2、3題和7題。 六、作業(yè) 課本5、8、10題。