（全國通用版）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 系列4選講 第2講 不等式選講學(xué)案 文

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1、 第2講　不等式選講 [考情考向分析]　本部分主要考查絕對值不等式的解法．求含絕對值的函數(shù)的值域及求含參數(shù)的絕對值不等式中參數(shù)的取值范圍、不等式的證明等，結(jié)合集合的運(yùn)算、函數(shù)的圖象和性質(zhì)、恒成立問題及基本不等式、絕對值不等式的應(yīng)用成為命題的熱點，主要考查基本運(yùn)算能力與推理論證能力及數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想． 熱點一　含絕對值不等式的解法 含有絕對值的不等式的解法 (1)|f(x)|>a(a>0)?f(x)>a或f(x)<－a. (2)|f(x)|0)?－a

2、式的幾何意義求解． 例1　(2018·烏魯木齊模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝|2x－a|＋5x，其中a>0. (1)當(dāng)a＝3時，求不等式f(x)≥5x＋1的解集； (2)若不等式f(x)≤0的解集為{x|x≤－1}，求a的值． 解　(1)當(dāng)a＝3時，不等式f(x)≥5x＋1即為 |2x－3|＋5x≥5x＋1， ∴≥1， 解得x≥2或x≤1. ∴不等式的解集為{x|x≤1或x≥2}． (2)由f(x)≤0，得＋5x≤0， 解得或 又a>0， ∴不等式的解集為， 由題意得－＝－1， 解得a＝3. 思維升華　(1)用零點分段法解絕對值不等式的步驟 ①求零點；②劃區(qū)間、去絕對值

3、符號；③分別解去掉絕對值的不等式；④取每個結(jié)果的并集，注意在分段時不要遺漏區(qū)間的端點值． (2)用圖象法、數(shù)形結(jié)合法可以求解含有絕對值的不等式，使得代數(shù)問題幾何化，既通俗易懂，又簡潔直觀，是一種較好的方法． 跟蹤演練1　(2018·河北省衡水金卷模擬)已知函數(shù)f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|. (1)解不等式f(x)≤3； (2)若函數(shù)g(x)＝＋，若對于任意的x1∈R，都存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求實數(shù)a的取值范圍． 解　(1)依題意，得f(x)＝ 由f(x)≤3，得或或 解得－1≤x≤1. 即不等式f(x)≤3的解集為. (2)由(1)知，f(x)m

4、in＝f＝， g(x)＝＋ ≥＝|a－1|， 則|a－1|≤， 解得－≤a≤， 即實數(shù)a的取值范圍為. 熱點二　絕對值不等式恒成立(存在)問題 定理1：如果a，b是實數(shù)，則|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時，等號成立． 定理2：如果a，b，c是實數(shù)，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當(dāng)且僅當(dāng)(a－b)(b－c)≥0時，等號成立． 例2　(2018·江西省景德鎮(zhèn)市第一中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋|2x＋3|. (1)解不等式f(x)<2x＋10； (2)若不等式f(x)≤m|x＋2|有解，求m的取值范圍． 解　(1)f(x)＝ 由f(x)<

5、2x＋10， 得或 或 得x∈. (2)①若x＝－2，顯然無解； ②若x≠－2，則m≥， 令g(x)＝≥＝1， ∴m≥1.即m的取值范圍是[1，＋∞)． 思維升華　絕對值不等式的成立問題的求解策略 (1)分離參數(shù)：根據(jù)不等式將參數(shù)分離化為a≥f(x)或a≤f(x)的形式． (2)轉(zhuǎn)化最值：f(x)>a恒成立?f(x)min>a；f(x)a有解?f(x)max>a；f(x)a無解?f(x)max≤a；f(x)

6、(4)得結(jié)論． 跟蹤演練2　(2018·上饒模擬)已知函數(shù)f(x)＝|3x－1|＋|3x＋k|，g(x)＝x＋4. (1)當(dāng)k＝－3時，求不等式f(x)≥4的解集； (2)設(shè)k>－1，且當(dāng)x∈時，都有f(x)≤g(x)，求k的取值范圍． 解　(1)當(dāng)k＝－3時，f(x)＝|3x－1|＋|3x－3| ＝ 故不等式f(x)≥4可化為 或或 解得x≤0或x≥， ∴所求不等式的解集為. (2)當(dāng)x∈時， 由k>－1，得3x－1<0,3x＋k≥0，∴f(x)＝1＋k， 不等式f(x)≤g(x)可變形為1＋k≤x＋4， 故k≤x＋3對x∈恒成立，即k≤－＋3， 解得k≤， 又

7、k>－1，故－1

8、＋|x＋1|. (1)解不等式f(x)≤3； (2)若g(x)＝＋(x∈R)，求證：≤g(x)對?a∈R，且a≠0恒成立． (1)解　依題意，得f(x)＝ 于是由f(x)≤3， 得或或 解得－1≤x≤1， 即不等式f(x)≤3的解集為{x|－1≤x≤1}． (2)證明　因為 ＝， ≤＝3， 當(dāng)且僅當(dāng)≤0時取等號， 所以－3≤－≤3， 即－3≤≤3. 又因為當(dāng)x∈R時， ＋≥＝3， 當(dāng)且僅當(dāng)≤0時，等號成立． 故g(x)min＝3. 所以≤g(x)對?a∈R，且a≠0恒成立． 思維升華　(1)作差法是證明不等式的常用方法．作差法證明不等式的一般步驟：①作差；

9、②分解因式；③與0比較；④結(jié)論．關(guān)鍵是代數(shù)式的變形能力． (2)在不等式的證明中，適當(dāng)“放”“縮”是常用的推證技巧． 跟蹤演練3　(2018·石家莊模擬)已知函數(shù)f(x)＝|3x＋1|＋|3x－1|，M為不等式f(x)<6的解集． (1)求集合M； (2)若a，b∈M，求證：|ab＋1|>|a＋b|. (1)解　f(x)＝|3x＋1|＋|3x－1|<6. 當(dāng)x<－時，f(x)＝－3x－1－3x＋1＝－6x， 由－6x<6，解得x>－1， ∴－1時，f(x)＝3x＋1＋3x

10、－1＝6x， 由6x<6，解得x<1，∴0， ∴>|a＋b|. 真題體驗 1．(2017·全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|. (1)當(dāng)a＝1時，求不等式f(x)≥g(x)的解集； (2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,

11、1]，求實數(shù)a的取值范圍． 解　(1)當(dāng)a＝1時，不等式f(x)≥g(x)等價于 x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.① 當(dāng)x<－1時，①式化為x2－3x－4≤0，無解； 當(dāng)－1≤x≤1時，①式化為x2－x－2≤0， 從而－1≤x≤1； 當(dāng)x>1時，①式化為x2＋x－4≤0， 從而1

12、≤a≤1. 所以a的取值范圍為[－1,1]． 2．(2017·全國Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2，證明： (1)(a＋b)(a5＋b5)≥4； (2)a＋b≤2. 證明　(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6 ＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4) ＝4＋ab(a4＋b4－2a2b2) ＝4＋ab(a2－b2)2≥4. (2)因為(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 ＝2＋3ab(a＋b)≤2＋(a＋b) ＝2＋， 所以(a＋b)3≤8，(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立) 因此a＋b≤2. 押題預(yù)測 1．已知函數(shù)f(x)

13、＝|x－2|＋|2x＋a|，a∈R. (1)當(dāng)a＝1時，解不等式f(x)≥4； (2)若?x0，使f(x0)＋|x0－2|<3成立，求a的取值范圍． 押題依據(jù)　不等式選講問題中，聯(lián)系絕對值，關(guān)聯(lián)參數(shù)、體現(xiàn)不等式恒成立是考題的“亮點”所在，存在問題、恒成立問題是高考的熱點，備受命題者青睞． 解　(1)當(dāng)a＝1時，f(x)＝|x－2|＋|2x＋1|. 由f(x)≥4，得|x－2|＋|2x＋1|≥4. 當(dāng)x≥2時，不等式等價于x－2＋2x＋1≥4， 解得x≥，所以x≥2； 當(dāng)－

14、－x－2x－1≥4， 解得x≤－1，所以x≤－1. 所以原不等式的解集為{x|x≤－1或x≥1}． (2)應(yīng)用絕對值不等式，可得 f(x)＋|x－2|＝2|x－2|＋|2x＋a|＝|2x－4|＋|2x＋a|≥|2x＋a－(2x－4)|＝|a＋4|.(當(dāng)且僅當(dāng)(2x－4)(2x＋a)≤0時等號成立) 因為?x0，使f(x0)＋|x0－2|<3成立， 所以(f(x)＋|x－2|)min<3， 所以|a＋4|<3，解得－7

15、 (2)求證：x2＋2y2≥，并指出等號成立的條件． 押題依據(jù)　不等式選講涉及絕對值不等式的解法，包含參數(shù)是命題的顯著特點．本題將二元函數(shù)最值、解絕對值不等式、不等式證明綜合為一體，意在檢測考生理解題意、分析問題、解決問題的能力，具有一定的訓(xùn)練價值． 解　(1)因為x，y∈R＋，x＋y＝4， 所以＋＝1. 由基本不等式，得 ＋＝ ＝＋ ≥＋＝1， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝2時取等號． 要使不等式＋≥|a＋2|－|a－1|恒成立， 只需不等式|a＋2|－|a－1|≤1成立即可． 構(gòu)造函數(shù)f(a)＝|a＋2|－|a－1|， 則等價于解不等式f(a)≤1. 因為f(a)＝ 所以解

16、不等式f(a)≤1，得a≤0. 所以實數(shù)a的取值范圍為(－∞，0]． (2)因為x，y∈R＋，x＋y＝4， 所以y＝4－x(0

17、率的最大值為3，故當(dāng)且僅當(dāng)a≥3且b≥2時，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)上恒成立，因此a＋b的最小值為5. 2．(2018·全國Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|. (1)當(dāng)a＝1時，求不等式f(x)≥0的解集； (2)若f(x)≤1，求a的取值范圍． 解　(1)當(dāng)a＝1時，f(x)＝ 可得f(x)≥0的解集為{x|－2≤x≤3}． (2)f(x)≤1等價于|x＋a|＋|x－2|≥4. 而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，當(dāng)且僅當(dāng)x＋a與2－x同號時等號成立． 故f(x)≤1等價于|a＋2|≥4. 由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2. 所以a的取值范圍是

18、(－∞，－6]∪[2，＋∞)． 3．(2018·濰坊模擬)已知f(x)＝|x＋1|＋. (1)若f(x)≥2，求m的取值范圍； (2)已知m>1，若?x∈(－1,1)，使f(x)≥x2＋mx＋3成立，求m的取值范圍． 解　(1)∵f(x)＝|x＋1|＋≥， ∴由f(x)≥2，得≥2， ∴m＋1≥2或m＋1≤－2， ∴m的取值范圍是{m|m≥1或m≤－3}． (2)∵m>1， ∴當(dāng)x∈(－1,1)時，f(x)＝m＋1， ∴不等式f(x)≥x2＋mx＋3，即m＋1≥x2＋mx＋3， ∴m(1－x)≥x2＋2，即m≥. 令g(x)＝＝ ＝(1－x)＋－2. ∵0<1－x<

19、2， ∴(1－x)＋≥2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1－時取“＝”)． ∴g(x)min＝2－2， ∴m≥2－2. 即m的取值范圍是[2－2，＋∞)． 4．(2018·湛江模擬)已知函數(shù)f(x)＝|x－1|－|x＋2|. (1)解不等式f(x)＋x>0； (2)若關(guān)于x的不等式f(x)≤2a2－5a的解集為R，求實數(shù)a的取值范圍． 解　(1)不等式f(x)＋x>0可化為|x－1|＋x>|x＋2|， 當(dāng)x<－2時，－(x－1)＋x>－(x＋2)，解得x>－3， 即－3x＋2，解得x<－1， 即－2≤x<－1； 當(dāng)x≥1時，x－1＋x>

20、x＋2，解得x>3，即x>3. 綜上所述，不等式f(x)＋x>0的解集為{x|－33}． (2)由不等式f(x)≤2a2－5a， 可得|x－1|－|x＋2|≤2a2－5a. ∵|x－1|－|x＋2|≤＝3， ∴2a2－5a≥3，即2a2－5a－3≥0， 解得a≤－或a≥3. ∴實數(shù)a的取值范圍是∪[3，＋∞)． 5．(2018·遼寧省部分重點中學(xué)協(xié)作體模擬)已知函數(shù)f(x)＝＋(a>0)． (1)當(dāng)a＝2時，求不等式f(x)>3的解集； (2)證明：f(m)＋f≥4. (1)解　當(dāng)a＝2時，f(x)＝|x＋2|＋， 原不等式等價于 或或 解得x<－或

21、x>. 所以不等式的解集為. (2)證明　f(m)＋f＝|m＋a|＋＋＋ ＝＋ ≥2＝2≥4 (當(dāng)且僅當(dāng)m＝±1且a＝1時等號成立)． B組　能力提高 6．(2018·榆林模擬)已知函數(shù)f(x)＝|3x－1|－|2x＋1|＋a. (1)求不等式f(x)>a的解集； (2)若恰好存在4個不同的整數(shù)n，使得f(n)<0，求a的取值范圍． 解　(1)由f(x)>a，得|3x－1|>|2x＋1|， 不等式兩邊同時平方，得9x2－6x＋1>4x2＋4x＋1， 即5x2>10x，解得x<0或x>2. 所以不等式f(x)>a的解集為(－∞，0)∪(2，＋∞)． (2)設(shè)g(x)＝

22、|3x－1|－|2x＋1| ＝ 作出函數(shù)g(x)的圖象，如圖所示， 因為g(0)＝g(2)＝0，g(3)2|x|； (2)若f(x)≥a2＋2b2＋3c2對任意x∈R恒成立，求證：ac＋2bc≤. (1)解　由f(x)>2|x|，得x2＋|x－2|>2|x|， 即或 或 解得x>2或02或x<1. 所以不等式f(x)>2|x|

23、的解集為(－∞，1)∪(2，＋∞)． (2)證明　當(dāng)x≥2時，f(x)＝x2＋x－2≥22＋2－2＝4； 當(dāng)x<2時，f(x)＝x2－x＋2＝2＋≥， 所以f(x)的最小值為. 因為f(x)≥a2＋2b2＋3c2對任意x∈R恒成立， 所以a2＋2b2＋3c2≤， 又a2＋2b2＋3c2＝a2＋c2＋2(b2＋c2)≥2ac＋4bc， 所以ac＋2bc≤.(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時，等號成立) 8．設(shè)函數(shù)f(x)＝|x＋|－|x－|. (1)當(dāng)a＝1時，解不等式f(x)≥； (2)若對任意a∈[0,1]，不等式f(x)≥b的解集不為空集，求實數(shù)b的取值范圍． 解　(1)當(dāng)a＝1

24、時，不等式f(x)≥等價于|x＋1|－|x|≥. ①當(dāng)x≤－1時，不等式化為－x－1＋x≥，無解； ②當(dāng)－1