（通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 解析幾何學(xué)案 理

第九章 解析幾何第一節(jié) 直線與方程本節(jié)主要包括3個知識點：1.直線的傾斜角與斜率、兩直線的位置關(guān)系；2.直線的方程；3.直線的交點、距離與對稱問題.突破點(一)直線的傾斜角與斜率、兩直線的位置關(guān)系 1直線的傾斜角(1)定義：當直線l與x軸相交時，取x軸作為基準，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角當直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0.(2)范圍：直線l傾斜角的范圍是0，)2直線的斜率公式(1)定義式：若直線l的傾斜角，則斜率ktan_.(2)兩點式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上，且x1x2，則l的斜率k.3兩條直線平行與垂直的判定兩條直線平行對于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1l2k1k2.當直線l1，l2不重合且斜率都不存在時，l1l2兩條直線垂直如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1l2k1·k21.當其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時，l1l21判斷題(1)根據(jù)直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置()(2)坐標平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率()(3)直線的傾斜角越大，其斜率就越大()(4)當直線l1和l2斜率都存在時，一定有k1k2l1l2.()(5)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于1.()答案：(1)(2)×(3)×(4)×(5)×2填空題(1)若過兩點A(m,6)，B(1,3m)的直線的斜率為12，則m_.答案：2(2)如圖中直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則k1，k2，k3的大小關(guān)系為_解析：設(shè)l1，l2，l3的傾斜角分別為1，2，3.由題圖易知0<3<2<90°<1<180°，tan 2>tan 3>0>tan 1，即k2>k3>k1.答案：k2>k3>k1(3)已知直線l1：x2，l2：y，則直線l1與l2的位置關(guān)系是_答案：垂直(4)已知直線l1：ax(3a)y10，l2：x2y0.若l1l2，則實數(shù)a的值為_解析：由題意，得2，解得a2.答案：2直線的傾斜角與斜率1直線都有傾斜角，但不一定都有斜率，二者的關(guān)系具體如下：斜率kktan >0k0ktan <0不存在傾斜角銳角0°鈍角90°2.在分析直線的傾斜角和斜率的關(guān)系時，要根據(jù)正切函數(shù)ktan 的單調(diào)性，如圖所示：(1)當取值在內(nèi)，由0增大到時，k由0增大并趨向于正無窮大；(2)當取值在內(nèi)，由增大到()時，k由負無窮大增大并趨近于0.解決此類問題，常采用數(shù)形結(jié)合思想例1(1)直線xsin y20的傾斜角的取值范圍是()A0，)B.C.D.(2)已知線段PQ兩端點的坐標分別為P(1,1)和Q(2,2)，若直線l：xmym0與線段PQ有交點，則實數(shù)m的取值范圍是_解析(1)因為直線xsin y20的斜率ksin ，又1sin 1，所以1k1.設(shè)直線xsin y20的傾斜角為，所以1tan 1，而0，)，故傾斜角的取值范圍是.(2)如圖所示，直線l：xmym0過定點A(0，1)，當m0時，kQA，kPA2，kl.2或.解得0<m或m<0；當m0時，直線l的方程為x0，與線段PQ有交點實數(shù)m的取值范圍為.答案(1)B(2)易錯提醒直線傾斜角的范圍是0，)，而這個區(qū)間不是正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，因此根據(jù)斜率求傾斜角的范圍時，要分與兩種情況討論由正切函數(shù)圖象可以看出，當時，斜率k0，)；當時，斜率不存在；當時，斜率k(，0)兩直線的位置關(guān)系兩直線位置關(guān)系的判斷方法(1)已知兩直線的斜率存在兩直線平行兩直線的斜率相等且坐標軸上的截距不相等；兩直線垂直兩直線的斜率之積為1.(2)已知兩直線的斜率不存在若兩直線的斜率不存在，當兩直線在x軸上的截距不相等時，兩直線平行；否則兩直線重合例2(1)已知直線l1：3x2ay50，l2：(3a1)xay20，若l1l2，則a的值為()AB6C0D0或(2)已知經(jīng)過點A(2,0)和點B(1,3a)的直線l1與經(jīng)過點P(0，1)和點Q(a，2a)的直線l2互相垂直，則實數(shù)a的值為_解析(1)由l1l2，得3a2a(3a1)0，即6a2a0，所以a0或a，經(jīng)檢驗都成立故選D.(2)l1的斜率k1a.當a0時，l2的斜率k2.因為l1l2，所以k1k21，即a·1，解得a1.當a0時，P(0，1)，Q(0,0)，這時直線l2為y軸，A(2，0)，B(1,0)，直線l1為x軸，顯然l1l2.綜上可知，實數(shù)a的值為1或0.答案(1)D(2)1或0方法技巧已知兩直線一般方程的兩直線位置關(guān)系的表示直線方程l1：A1xB1yC10(AB0)l2：A2xB2yC20(AB0)l1與l2垂直的充要條件A1A2B1B20l1與l2平行的充分條件(A2B2C20)l1與l2相交的充分條件(A2B20)l1與l2重合的充分條件(A2B2C20)提醒當直線方程中存在字母參數(shù)時，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況同時還要注意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件1.設(shè)點P是曲線yx3x上的任意一點，P點處切線的傾斜角的取值范圍是()A.B.C.D.解析：選C因為y3x2，即切線斜率k，所以切線傾斜角的取值范圍是.2.直線l過點A(1,2)，且不經(jīng)過第四象限，則直線l的斜率的取值范圍為()A.B0,1C0,2D.解析：選C因為直線過點A(1,2)，且不經(jīng)過第四象限，作出圖象，如圖所示，當直線位于如圖所示的陰影區(qū)域內(nèi)時滿足條件，由圖可知，當直線l過A且平行于x軸時，斜率取得最小值，kmin0；當直線l過A(1,2)，O(0,0)時，斜率取得最大值，kmax2，所以直線l的斜率的取值范圍是0,2故選C.3.若直線l1：mxy20與直線l2：(2m)xy10互相平行，則實數(shù)m的值為()A1B0 C1D2解析：選C直線l1：mxy20與直線l2：(2m)xy10互相平行，解得m1.故選C.4.直線mx4y20與直線2x5yn0垂直，垂足為(1，p)，則n的值為()A12B14C10D8解析：選A由直線mx4y20與直線2x5yn0垂直，得2m200，m10，直線10x4y20過點(1，p)，有104p20，解得p2，點(1，2)又在直線2x5yn0上，則210n0.解得n12.故選A.5.(2018·溫州五校聯(lián)考)已知直線l1：ax2y60，l2：x(a1)ya210，若l1l2，則a_.解析：因為直線l1：ax2y60與l2：x(a1)ya210垂直，所以a·12·(a1)0，解得a.答案：突破點(二)直線的方程 直線方程的五種形式形式幾何條件方程適用范圍點斜式過一點(x0，y0)，斜率kyy0k(xx0)與x軸不垂直的直線斜截式縱截距b，斜率kykxb與x軸不垂直的直線兩點式過兩點(x1，y1)，(x2，y2)與x軸、y軸均不垂直的直線截距式橫截距a，縱截距b1不含垂直于坐標軸和過原點的直線一般式AxByC0，A2B20平面直角坐標系內(nèi)所有直線1判斷題(1)經(jīng)過定點A(0，b)的直線都可以用方程ykxb表示()(2)經(jīng)過任意兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()(3)不經(jīng)過原點的直線都可以用1表示()答案：(1)×(2)(3)×2填空題(1)直線l經(jīng)過點(0,1)且傾斜角為60°，則直線l的方程為_解析：ktan 60°，又直線l過點(0,1)，由點斜式方程得，y1(x0)即xy10.答案：xy10(2)經(jīng)過點A(2，3)，傾斜角等于直線yx的2倍的直線方程為_解析：直線yx的斜率k1，故傾斜角為，所以所求的直線的傾斜角為，則所求的直線方程為x2.答案：x2(3)已知直線l：axy2a0在x軸和y軸上的截距相等，則實數(shù)a_.解析：顯然a0不符合題意，當a0時，令x0，則l在y軸的截距為2a；令y0，得直線l在x軸上的截距為1.依題意2a1，解得a1或a2.答案：1或2求直線方程例1(1)求過點A(1,3)，斜率是直線y4x的斜率的的直線方程；(2)求經(jīng)過點A(5,2)，且在x軸上的截距等于在y軸上截距的2倍的直線方程；(3)求過A(2,1)，B(m,3)兩點的直線l的方程解(1)設(shè)所求直線的斜率為k，依題意k4×.又直線經(jīng)過點A(1,3)，因此所求直線方程為y3(x1)，即4x3y130.(2)當直線不過原點時，設(shè)所求直線方程為1，將(5,2)代入所設(shè)方程，解得a，所以直線方程為x2y10；當直線過原點時，設(shè)直線方程為ykx，則5k2，解得k，所以直線方程為yx，即2x5y0.故所求直線方程為2x5y0或x2y10.(3)當m2時，直線l的方程為x2；當m2時，直線l的方程為，即2x(m2)ym60.因為m2時，代入方程2x(m2)ym60，即為x2，所以直線l的方程為2x(m2)ym60.易錯提醒(1)在求直線方程時，應(yīng)選擇適當?shù)男问剑⒆⒁飧鞣N形式的適用條件(2)對于點斜式、截距式方程使用時要注意分類討論思想的運用(若采用點斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況；若采用截距式，應(yīng)先判斷截距是否為零)與直線方程有關(guān)的最值問題例2(1)已知直線x2y2分別與x軸、y軸相交于A，B兩點，若動點P(a，b)在線段AB上，則ab的最大值為_(2)設(shè)mR，過定點A的動直線xmy0和過定點B的動直線mxym30交于點P(x，y)，則|PA|·|PB|的最大值是_解析(1)由題得A(2,0)，B(0,1)，由動點P(a，b)在線段AB上，可知0b1，且a2b2，從而a22b，故ab(22b)b2b22b22.由于0b1，故當b時，ab取得最大值.(2)易求定點A(0,0)，B(1,3)當P與A和B均不重合時，因為P為直線xmy0與mxym30的交點，且易知兩直線垂直，則PAPB，所以|PA|2|PB|2|AB|210，所以|PA|·|PB|5(當且僅當|PA|PB|時，等號成立)，當P與A或B重合時，|PA|·|PB|0，故|PA|·|PB|的最大值是5.答案(1)(2)5方法技巧與直線方程有關(guān)的最值問題的解題思路(1)借助直線方程，用y表示x或用x表示y.(2)將問題轉(zhuǎn)化成關(guān)于x(或y)的函數(shù)(3)利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求最值1.直線3xy0繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°，再向右平移1個單位長度，所得直線的方程為()Ax3y30Bx3y10C3xy30Dx3y30解析：選B直線y3x繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得yx，再向右平移1個單位長度，得y(x1)，即x3y10.2.已知點P(x，y)在直線xy40上，則x2y2的最小值是()A8B2 C.D16解析：選A點P(x，y)在直線xy40上，y4x，x2y2x2(4x)22(x2)28，當x2時，x2y2取得最小值8.3.當k>0時，兩直線kxy0,2xky20與x軸圍成的三角形面積的最大值為_解析：直線2xky20與x軸交于點(1,0)由解得y，所以兩直線kxy0,2xky20與x軸圍成的三角形的面積為×1×，又k22，故三角形面積的最大值為.答案：4.(2018·蘇北四市模擬)已知a，b為正數(shù)，且直線axby60與直線2x(b3)y50平行，則2a3b的最小值為_解析：由兩直線平行可得，a(b3)2b0，即2b3aab，1.又a，b為正數(shù)，所以2a3b(2a3b)·13132 25，當且僅當ab5時取等號，故2a3b的最小值為25.答案：255.ABC的三個頂點分別為A(3,0)，B(2,1)，C(2,3)，求：(1)BC邊所在直線的方程；(2)BC邊上中線AD所在直線的方程；(3)BC邊的垂直平分線DE所在直線的方程解：(1)因為直線BC經(jīng)過B(2,1)和C(2,3)兩點，由兩點式得BC的方程為，即x2y40.(2)設(shè)BC邊的中點D的坐標為(x，y)，則x0，y2.BC邊的中線AD過點A(3,0)，D(0,2)兩點，由截距式得AD所在直線的方程為1，即2x3y60.(3)由(1)知，直線BC的斜率k1，則BC的垂直平分線DE的斜率k22.由(2)知，點D的坐標為(0,2)由點斜式得直線DE的方程為y22(x0)，即2xy20.突破點(三)直線的交點、距離與對稱問題 1兩條直線的交點2三種距離類型條件距離公式兩點間的距離點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|點到直線的距離點P0(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離d兩平行直線間的距離兩條平行線AxByC10與AxByC20間的距離d1判斷題(1)若兩直線的方程組成的方程組有唯一解，則兩直線相交()(2)點P(x0，y0)到直線ykxb的距離為.()(3)直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離()(4)若點A，B關(guān)于直線l：ykxb(k0)對稱，則直線AB的斜率等于，且線段AB的中點在直線l上()答案：(1)(2)×(3)(4)2填空題(1)兩條直線l1：2xy10和l2：x2y40的交點為_解析：由可解得所以兩直線交點坐標為.答案：(2)原點到直線x2y50的距離是_解析：d.答案：(3)已知點(a,2)(a>0)到直線l：xy30的距離為1，則a_.解析：由題意知1，|a1|，又a>0，a1.答案：1(4)已知直線3x4y30與直線6xmy140平行，則它們之間的距離是_解析：，m8，直線6xmy140可化為3x4y70，兩平行線之間的距離d2.答案：2交點問題例1(1)當0<k<時，直線l1：kxyk1與直線l2：kyx2k的交點在()A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限(2)若直線2xy10，yx1，yax2交于一點，則a的值為_解析(1)由得又0<k<，x<0，y>0，故直線l1：kxyk1與直線l2：kyx2k的交點在第二象限(2)解方程組可得所以交點坐標為(9，8)，代入yax2，得8a·(9)2，所以a.答案(1)B(2)方法技巧1兩直線交點的求法求兩直線的交點坐標，就是解由兩直線方程聯(lián)立組成的方程組，得到的方程組的解，即交點的坐標2求過兩直線交點的直線方程的方法求過兩直線交點的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點坐標，再結(jié)合其他條件寫出直線方程也可借助直線系方程，利用待定系數(shù)法求出直線方程，這樣能簡化解題過程距離問題例2(1)若P，Q分別為直線3x4y120與6x8y50上任意一點，則|PQ|的最小值為()A.B. C.D.(2)已知直線l過點P(3,4)且與點A(2,2)，B(4，2)等距離，則直線l的方程為_解析(1)因為，所以兩直線平行，將直線3x4y120化為6x8y240，由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離，即，所以|PQ|的最小值為.(2)設(shè)所求直線的方程為y4k(x3)，即kxy3k40，由已知及點到直線的距離公式可得，解得k2或k，即所求直線的方程為2x3y180或2xy20.答案(1)C(2)2x3y180或2xy20易錯提醒(1)點P(x0，y0)到直線xa的距離d|x0a|，到直線yb的距離d|y0b|；(2)利用兩平行線間的距離公式要先把兩直線方程中x，y的系數(shù)化為對應(yīng)相等對稱問題1中心對稱問題的兩種類型及求解方法點關(guān)于點對稱若點M(x1，y1)及N(x，y)關(guān)于P(a，b)對稱，則由中點坐標公式得進而求解直線關(guān)于點對稱在已知直線上取兩點，利用中點坐標公式求出它們關(guān)于已知點對稱的兩點坐標，再由兩點式求出直線方程；求出一個對稱點，再利用兩對稱直線平行，由點斜式得到所求直線方程2軸對稱問題的兩種類型及求解方法點關(guān)于直線對稱若兩點P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：AxByC0對稱，由方程組可得到點P1關(guān)于l對稱的點P2的坐標(x2，y2)(其中B0，x1x2)直線關(guān)于直線對稱若直線與對稱軸平行，則在直線上取一點，求出該點關(guān)于軸的對稱點，然后用點斜式求解若直線與對稱軸相交，則先求出交點，然后再取直線上一點，求該點關(guān)于軸的對稱點，最后由兩點式求解例3已知直線l：2x3y10，點A(1，2)求：(1)點A關(guān)于直線l的對稱點A的坐標；(2)直線m：3x2y60關(guān)于直線l的對稱直線m的方程；(3)直線l關(guān)于點A(1，2)對稱的直線l的方程解(1)設(shè)A(x，y)，由已知解得所以A.(2)在直線m上取一點M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線l的對稱點M必在直線m上設(shè)M(a，b)，則解得M.設(shè)直線m與直線l的交點為N，則由得N(4,3)又因為m經(jīng)過點N(4,3)，所以由兩點式得直線m的方程為9x46y1020.(3)設(shè)P(x，y)為l上任意一點，則P(x，y)關(guān)于點A(1，2)的對稱點為P(2x，4y)，因為P在直線l上，所以2(2x)3(4y)10，即2x3y90.方法技巧解決兩類對稱問題的關(guān)鍵解決中心對稱問題的關(guān)鍵在于運用中點坐標公式，而解決軸對稱問題，一般是轉(zhuǎn)化為求對稱點的問題，在求對稱點時，關(guān)鍵要抓住兩點：一是兩對稱點的連線與對稱軸垂直；二是兩對稱點的中心在對稱軸上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一個方程，由“平分”列出一個方程，聯(lián)立求解1.過點且與直線x2y20垂直的直線方程是()Ax2y10Bx2y10C2xy20Dx2y10解析：選C因為直線x2y20的斜率為，所以所求直線的斜率k2.所以所求直線的方程為y2，即2xy20.故選C.2.點P(2,5)關(guān)于直線xy0對稱的點的坐標是()A(5,2)B(2，5)C(5，2)D(2，5)解析：選C設(shè)P(2,5)關(guān)于直線xy0的對稱點為P1，則PP1的中點應(yīng)在xy0上，可排除A，B；而(2，5)與P(2,5)顯然關(guān)于原點對稱，而不關(guān)于直線xy0對稱故選C.3.若動點A，B分別在直線l1：xy70和l2：xy50上移動，則AB的中點M到原點的距離的最小值為()A3B. C3D2解析：選C點M在直線xy60上，到原點的最小距離等價于原點O(0,0)到直線xy60的距離，即d3.故選C.4.已知A(2,1)，B(1,2)，點C為直線yx上的動點，則|AC|BC|的最小值為()A2B2C2D2解析：選C設(shè)B關(guān)于直線yx的對稱點為B(x0，y0)，則解得B(2，1)由平面幾何知識得|AC|BC|的最小值即是|BA|2.故選C.5.已知點A(3，4)，B(6,3)到直線l：axy10的距離相等，則實數(shù)a的值為_解析：由題意及點到直線的距離公式得，解得a或.答案：或6.經(jīng)過兩直線l1：x2y40和l2：xy20的交點P，且與直線l3：3x4y50垂直的直線l的方程為_解析：法一：由方程組得即P(0,2)ll3，直線l3的斜率為，直線l的斜率k1，直線l的方程為y2x，即4x3y60.法二：設(shè)直線l的方程為x2y4(xy2)0，則其可化為(1)x(2)y(42)0，因為直線l與直線l3：3x4y50垂直，所以3(1)4(2)0，解得11.則直線l的方程為12x9y180，即4x3y60.答案：4x3y60全國卷5年真題集中演練明規(guī)律 1(2016·全國卷)圓x2y22x8y130的圓心到直線axy10的距離為1，則a()AB C.D2解析：選A因為圓x2y22x8y130的圓心坐標為(1,4)，所以圓心到直線axy10的距離d1，解得a.2(2013·全國卷)已知點A(1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直線yaxb(a>0)將ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是()A(0,1)B.C.D. 解析：選B法一：(1)當直線yaxb與AB，BC相交時，如圖所示易求得：xM，yN.由已知條件得：·1，a.點M在線段OA上，1<<0，0<b<a.點N在線段BC上，0<<1，b<1.由解得<b<.(2)當直線yaxb與AC，BC相交時，如圖所示設(shè)MCm，NCn，則SMCNmn，mn1.顯然，0<n<，m>.又0<m且mn.<m且m1.設(shè)D到AC，BC的距離為t，則，1.t，m.而f(m)m的值域為，即2<，t.b1CD1t，1b.綜合(1)、(2)可得：1<b<.法二：由消去x，得y，當a0時，直線yaxb與x軸交于點，結(jié)合圖形知××，化簡得(ab)2a(a1)，則a.a0，0，解得b.考慮極限位置，即a0，此時易得b1，故答案為B. 課時達標檢測 小題對點練點點落實對點練(一)直線的傾斜角與斜率、兩直線的位置關(guān)系1直線xy10的傾斜角是()A.B. C.D.解析：選D由直線的方程得直線的斜率為k，設(shè)傾斜角為，則tan ，所以.2三條直線l1：xy0，l2：xy20，l3：5xky150構(gòu)成一個三角形，則k的取值范圍是()AkRBkR且k±1，k0CkR且k±5，k10DkR且k±5，k1解析：選C由l1l3得k5；由l2l3得k5；由xy0與xy20得x1，y1，若(1,1)在l3上，則k10.故若l1，l2，l3能構(gòu)成一個三角形，則k±5且k10.故選C.3(2018·山東省實驗中學(xué)月考)設(shè)a，b，c分別是ABC中角A，B，C所對的邊，則直線sin A·xayc0與bxsin B·ysin C的位置關(guān)系是_解析：由題意可得直線sin A·xayc0的斜率k1，bxsin B·ysin C0的斜率k2，故k1k2·1，則直線sin A·xayc0與直線bxsin B·ysin C0垂直答案：垂直4若直線l經(jīng)過點A(1,2)，在x軸上的截距的取值范圍是(3，3)，則其斜率的取值范圍是_解析：設(shè)直線l的斜率為k，則直線方程為y2k(x1)，在x軸上的截距為1，令3<1<3，解得k<1或k>.故其斜率的取值范圍為(，1).答案：(，1)對點練(二)直線的方程1兩直線a與a(其中a是不為零的常數(shù))的圖象可能是()解析：選B直線方程a可化為yxna，直線a可化為yxma，由此可知兩條直線的斜率同號，故選B.2過點(2,1)，且傾斜角比直線yx1的傾斜角小的直線方程是()Ax2By1Cx1Dy2解析：選A直線yx1的斜率為1，則傾斜角為.依題意，所求直線的傾斜角為，其方程為x2.3在等腰三角形AOB中，AOAB，點O(0,0)，A(1,3)，點B在x軸的正半軸上，則直線AB的方程為()Ay13(x3)By13(x3)Cy33(x1)Dy33(x1)解析：選D設(shè)點B的坐標為(a,0)(a>0)，由OAAB，得1232(1a)2(30)2，則a2.點B(2,0)易知kAB3，由兩點式，得AB的方程為y33(x1)4(2018·北京西城區(qū)月考)已知l1，l2是分別經(jīng)過A(1,1)，B(0，1)兩點的兩條平行直線，當l1，l2間的距離最大時，則直線l1的方程是_解析：當直線AB與l1，l2垂直時，l1，l2間的距離最大因為A(1,1)，B(0，1)，所以kAB2，所以兩平行直線的斜率為k，所以直線l1的方程是y1(x1)，即x2y30.答案：x2y305已知直線l過點P(2，1)，在x軸和y軸上的截距分別為a，b，且滿足a3b.則直線l的方程為_解析：若a3b0，則直線過原點(0,0)，此時直線斜率k，直線方程為x2y0.若a3b0，設(shè)直線方程為1，即1.因為點P(2，1)在直線上，所以b.從而直線方程為x3y1，即x3y10.綜上所述，所求直線方程為x2y0或x3y10.答案：x2y0或x3y10對點練(三)直線的交點、距離與對稱問題1若點P(a，b)與Q(b1，a1)關(guān)于直線l對稱，則直線l的傾斜角為()A135°B45° C30°D60°解析：選B由題意知，PQl，kPQ1，kl1，即tan 1，45°.故選B.2已知點A(1，2)，B(m,2)且線段AB的垂直平分線的方程是x2y20，則實數(shù)m的值是()A2B7C3D1解析：選C因為線段AB的中點在直線x2y20上，代入解得m3.3P點在直線3xy50上，且P到直線xy10的距離為，則P點坐標為()A(1,2)B(2,1)C(1,2)或(2，1)D(2,1)或(1,2)解析：選C設(shè)P(x,53x)，則d，解得x1或x2，故P(1,2)或(2，1)4若直線l1：yk(x4)與直線l2關(guān)于點(2,1)對稱，則直線l2恒過定點()A(0,4)B(0,2)C(2,4)D(4，2)解析：選B直線l1：yk(x4)恒過定點(4,0)，其關(guān)于點(2,1)對稱的點為(0,2)又由于直線l1：yk(x4)與直線l2關(guān)于點(2,1)對稱，故直線l2恒過定點(0,2)5若兩平行直線3x2y10,6xayc0之間的距離為，則的值為_解析：由題意得，a4，c2.則6xayc0可化為3x2y0.，c2±4，±1.答案：±16.如圖，已知A(2,0)，B(2,0)，C(0,2)，E(1,0)，F(xiàn)(1,0)，一束光線從F點出發(fā)射到BC上的D點，經(jīng)BC反射后，再經(jīng)AC反射，落到線段AE上(不含端點)，則直線FD的斜率的取值范圍為_解析：從特殊位置考慮如圖，點A(2,0)關(guān)于直線BC：xy2的對稱點為A1(2,4)，kA1F4.又點E(1,0)關(guān)于直線AC：yx2的對稱點為E1(2，1)，點E1(2,1)關(guān)于直線BC：xy2的對稱點為E2(1,4)，此時直線E2F的斜率不存在，kFD>kA1F，即kFD(4，)答案：(4，)7過直線l1：x2y30與直線l2：2x3y80的交點，且到點P(0,4)距離為2的直線方程為_解析：由得l1與l2交點為(1,2)，設(shè)所求直線方程為y2k(x1)，即kxy2k0，P(0,4)到直線的距離為2，2，解得k0或k，直線方程為y2或4x3y20.答案：y2或4x3y20大題綜合練遷移貫通1已知直線l1：xa2y10和直線l2：(a21)xby30(a，bR)(1)若l1l2，求b的取值范圍；(2)若l1l2，求|ab|的最小值解：(1)因為l1l2，所以b(a21)a20，即ba2(a21)a4a22，因為a20，所以b0.又因為a213，所以b6.故b的取值范圍是(，6)(6,0(2)因為l1l2，所以(a21)a2b0，顯然a0，所以aba，|ab|2，當且僅當a±1時等號成立，因此|ab|的最小值為2.2已知直線l：(2ab)x(ab)yab0及點P(3,4)(1)證明直線l過某定點，并求該定點的坐標；(2)當點P到直線l的距離最大時，求直線l的方程解：(1)證明：直線l的方程可化為a(2xy1)b(xy1)0，由得所以直線l恒過定點(2,3)(2)由(1)知直線l恒過定點A(2,3)，當直線l垂直于直線PA時，點P到直線l的距離最大又直線PA的斜率kPA，所以直線l的斜率kl5.故直線l的方程為y35(x2)，即5xy70.3過點P(4,1)作直線l分別交x，y軸正半軸于A，B兩點(1)當AOB面積最小時，求直線l的方程；(2)當|OA|OB|取最小值時，求直線l的方程解：設(shè)直線l：1(a0，b0)，因為直線l經(jīng)過點P(4,1)，所以1.(1)因為12，所以ab16，當且僅當a8，b2時等號成立，所以當a8，b2時，SAOBab最小，此時直線l的方程為1，即x4y80.(2)因為1，a0，b0，所以|OA|OB|ab(ab)·552 9，當且僅當a6，b3時等號成立，所以當|OA|OB|取最小值時，直線l的方程為1，即x2y60.第二節(jié) 圓的方程本節(jié)主要包括2個知識點：1.圓的方程；2.與圓的方程有關(guān)的綜合問題.突破點(一)圓的方程 1圓的定義及方程定義平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓標準方程(xa)2(yb)2r2(r>0)圓心：(a，b)半徑：r一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F>0)圓心：半徑：r2.點與圓的位置關(guān)系點M(x0，y0)，圓的標準方程(xa)2(yb)2r2.理論依據(jù)點到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系三種情況(x0a)2(y0b)2r2點在圓上(x0a)2(y0b)2>r2點在圓外(x0a)2(y0b)2<r2點在圓內(nèi)1判斷題(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑()(2)方程(xa)2(yb)2t2(tR)表示圓心為(a，b)，半徑為t的一個圓()(3)方程x2y2ax2ay2a2a10表示圓心為，半徑為的圓()(4)已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則以AB為直徑的圓的方程是(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.()(5)若點M(x0，y0)在圓x2y2DxEyF0外，則xyDx0Ey0F>0.()答案：(1)(2)×(3)×(4)(5)2填空題(1)圓x2y24x8y50的圓心為_，半徑為_解析：圓心坐標為(2，4)，半徑r5.答案：(2，4)5(2)圓C的直徑的兩個端點分別是A(1,2)，B(1,4)，則圓C的標準方程為_解析：設(shè)圓心C的坐標為(a，b)，則a0，b3，故圓心C(0,3)半徑r|AB|.圓C的標準方程為x2(y3)22.答案：x2(y3)22(3)若點(1,1)在圓(xa)2(ya)24的內(nèi)部，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：因為點(1,1)在圓(xa)2(ya)24的內(nèi)部，所以(1a)2(1a)24.即a21，故1a1.答案：(1,1)求圓的方程1求圓的方程的兩種方法直接法根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程待定系數(shù)法(1)若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標準方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；(2)若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇設(shè)圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進而求出D，E，F(xiàn)的值2.確定圓心位置的三種方法(1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上(2)圓心在圓的任意弦的垂直平分線上(3)兩圓相切時，切點與兩圓圓心共線例1(1)已知圓C經(jīng)過A(5,1)，B(1,3)兩點，圓心在x軸上，則圓C的方程為_(2)已知圓心在直線y4x上，且圓與直線l：xy10相切于點P(3，2)，則該圓的方程是_(3)若不同的四點A(5,0)，B(1,0)，C(3,3)，D(a,3)共圓，則a的值為_解析(1)依題意，設(shè)圓心坐標為C(a,0)，則|CA|CB|，即，則a2.故圓心為(2,0)，半徑為，所以圓C的方程為(x2)2y210.(2)過切點且與xy10垂直的直線為y2x3，與y4x聯(lián)立可求得圓心為(1，4)所以半徑r2，故所求圓的方程為(x1)2(y4)28.(3)法一：設(shè)過A，B，C三點的圓的方程為x2y2DxEyF0，分別代入A，B，C三點坐標，得解得所以A，B，C三點確定的圓的方程為x2y24xy50.因為D(a,3)也在此圓上，所以a294a2550.所以a7或a3(舍去)即a的值為7.法二：由題易知ABCD，所以圓的一條對稱軸既是AB的垂直平分線又是CD的垂直平分線，而AB的垂直平分線方程為x2，故2，解得a7.答案(1)(x2)2y210(2)(x1)2(y4)28(3)7方法技巧1確定圓的方程必須有三個獨立條件不論是圓的標準方程還是一般方程，都有三個字母(a，b，r或D，E，F(xiàn))的值需要確定，因此需要三個獨立的條件利用待定系數(shù)法得到關(guān)于a，b，r(或D，E，F(xiàn))的三個方程組成的方程組，解之得到待定字母系數(shù)的值，從而確定圓的方程2幾何法在圓中的應(yīng)用在一些問題中借助平面幾何中關(guān)于圓的知識可以簡化計算，如已知一個圓經(jīng)過兩點時，其圓心一定在這兩點連線的垂直平分線上，解題時要注意平面幾何知識的應(yīng)用與圓有關(guān)的對稱問題1圓的軸對稱性圓關(guān)于直徑所在的直線對稱2圓關(guān)于點對稱(1)求已知圓關(guān)于某點對稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置(2)兩圓關(guān)于某點對稱，則此點為兩圓圓心連線的中點3圓關(guān)于直線對稱(1)求已知圓關(guān)于某條直線對稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置(2)兩圓關(guān)于某條直線對稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線例2(2018·河南六市模擬)圓(x2)2y24關(guān)于直線yx對稱的圓的方程是()A(x)2(y1)24B(x)2(y)24Cx2(y2)24D(x1)2(y)24解析設(shè)圓(x2)2y24的圓心(2,0)關(guān)于直線yx對稱的點的坐標為(a，b)，則解得圓(x2)2y24的圓心(2,0)關(guān)于直線yx對稱的點的坐標為(1，)，從而所求圓的方程為(x1)2(y)24.答案D1.圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是()A(x1)2(y1)21 B(x1)2(y1)21C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22解析：選D圓的半徑r，圓心坐標為(1,1)，所以圓的標準方程為(x1)2(y1)22.2.(2018·福建廈門質(zhì)檢)圓C與x軸相切于T(1,0)，與y軸正半軸交于兩點A，B，且|AB|2，則圓C的標準方程為()A(x1)2(y)22B(x1)2(y2)22C(x1)2(y)24D(x1)2(y)24解析：選A由題意得，圓C的半徑為，圓心坐標為(1，)，圓C的標準方程為(x1)2(y)22，故選A.3.已知圓x2y22x4y10關(guān)于直線2axby20(a，bR)對稱，則ab的取值范圍是()A.B.C.D.解析：選A將圓的方程化成標準形式得(x1)2(y2)24，若圓關(guān)于已知直線對稱，則圓心(1,2)在直線上，代入整理得ab1，故aba(1a)2，故選A.4.圓C與圓(x1)2y21關(guān)于直線yx對稱，則圓C的方程為_解析：圓心(1,0)關(guān)于直線yx對稱的點為(0，1)，所以圓C的方程為x2(y1)21.答案：x2(y1)215.若圓(x1)2(y3)29上的相異兩點P，Q關(guān)于直線kx2y40對稱，則k的值為_解析：圓是軸對稱圖形，過圓心的直線都是它的對稱軸已知圓的圓心為(1,3)，由題設(shè)知，直線kx2y40過圓心，則k×(1)2×340，解得k2.答案：26.(2018·湖北襄陽四中模擬)已知點C(1,0)，以C為圓心的圓與直線xy30相切(1)求圓C的方程；(2)如果圓C上存在兩點關(guān)于直線mxy10對稱，求m的值解：(1)因為圓與直線相切，所以圓心到直線的距離即為半徑長由題意，得圓心到直線的距離d2，故所求圓的方程為(x1)2y24.(2)因為圓C上存在兩點關(guān)于直線對稱，所以直線過圓心C，所以m10，解得m1.突破點(二)與圓的方程有關(guān)的綜合問題(對應(yīng)學(xué)生用書P148) 圓的方程是高中數(shù)學(xué)的一個重要知識點，高考中，除了圓的方程的求法外，圓的方程與其他知識的綜合問題也是高考考查的熱點，常涉及軌跡問題和最值問題.解決此類問題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的運用.與圓有關(guān)的軌跡問題例1已知圓x2y24上一定點A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點，P，Q為圓上的動點(1)求線段AP中點的軌跡方程；(2)若PBQ90°，求線段PQ中點的軌跡方程解(1)設(shè)AP的中點為M(x，y)，由中點坐標公式可知，P點坐標為(2x2,2y)因為P點在圓x2y24上，所以(2x2)2(2y)24.故線段AP中點的軌跡方程為(x1)2y21.(2)設(shè)PQ的中點為N(x，y)在RtPBQ中，|PN|BN|.設(shè)O為坐標原點，連接ON，則ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故線段PQ中點的軌跡方程為x2y2xy10.方法技巧求與圓有關(guān)的軌跡問題的四種方法與圓有關(guān)的最值問題例2已知實數(shù)x，y滿足方程x2y24x10.求：(1)的最大值和最小值；(2)yx的最大值和最小值；(3)x2y2的最大值和最小值解原方程可化為(x2)2y23，表示以(2,0)為圓心，為半徑的圓(1)的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設(shè)k，即ykx.當直線ykx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值，此時 ，解得k±.所以的最大值為，最小值為.(2)yx可看成是直線yxb在y軸上的截距當直線yxb與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時，解得b2±.所以yx的最大值為2，最小值為2.(3)x2y2表示圓上的一點與原點距離的平方由平面幾何知識知，x2y2在原點和圓心的連線與圓的兩個交點處分別取得最小值，最大值因為圓心到原點的距離為2，所以x2y2的最大值是(2)274，最小值是(2)274.方法技巧與圓有關(guān)最值問題的求解策略處理與圓有關(guān)的最值問題時，應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì)，并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合思想求解與圓有關(guān)的最值問題，常見類型及解題思路如下：常見類型解題思路型轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題taxby型轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題，或用三角代換求解m(xa)2(yb)2型轉(zhuǎn)化為動點與定點的距離的平方的最值問題1.已知點P(x，y)在圓x2(y1)21上運動，則的最大值與最小值分別為_解析：設(shè)k，則k表示點P(x，y)與點A(2,1)連線的斜率當直線PA與圓相切時，k取得最大值與最小值設(shè)過(2,1)的直線方程為y1k(x2)，即kxy12k0.由1，解得k±.答案：，2.設(shè)點P是函數(shù)y圖象上的任意一點，點Q坐標為(2a，a3)(aR)，則|PQ|的最小值為_解析：函數(shù)y的圖象表示圓(x1)2y24的下半圓令點Q的坐標為(x，y)，則得y3，即x2y60，作出圖象如圖所示由于圓心(1,0)到直線x2y60的距離d2，所以直線x2y60與圓(x1)2y24相離，因此|PQ|的最小值是2.答案：23.已知P是直線3x4y100上的動點，PA，PB是圓x2y22x4y40的兩條切線，A，B是切點，C是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值為_解析：圓的標準方程為(x1)2(y2)21，其圓心為C(1，2)，半徑為1，且直線與圓相離，如圖所示