7、時，斜率k∈[0，＋∞)；當α＝時，斜率不存在；當α∈時，斜率k∈(－∞，0)．
兩直線的位置關系
兩直線位置關系的判斷方法
(1)已知兩直線的斜率存在
①兩直線平行?兩直線的斜率相等且坐標軸上的截距不相等；
②兩直線垂直?兩直線的斜率之積為－1.
(2)已知兩直線的斜率不存在
若兩直線的斜率不存在，當兩直線在x軸上的截距不相等時，兩直線平行；否則兩直線重合．
[例2] (1)已知直線l1：3x＋2ay－5＝0，l2：(3a－1)x－ay－2＝0，若l1∥l2，則a的值為( )
A．－ B．6
C．0 D．0或－
(2)已知經過點A(－2
8、,0)和點B(1,3a)的直線l1與經過點P(0，－1)和點Q(a，－2a)的直線l2互相垂直，則實數a的值為________．
[解析] (1)由l1∥l2，得－3a－2a(3a－1)＝0，即6a2＋a＝0，所以a＝0或a＝－，經檢驗都成立．故選D.
(2)l1的斜率k1＝＝a.
當a≠0時，l2的斜率k2＝＝.
因為l1⊥l2，
所以k1k2＝－1，即a·＝－1，解得a＝1.
當a＝0時，P(0，－1)，Q(0,0)，這時直線l2為y軸，A(－2，0)，B(1,0)，直線l1為x軸，顯然l1⊥l2.
綜上可知，實數a的值為1或0.
[答案] (1)D (2)1或0
[方法
9、技巧]
已知兩直線一般方程的兩直線位置關系的表示
直線方程
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)
l1與l2垂直
的充要條件
A1A2＋B1B2＝0
l1與l2平行
的充分條件
＝≠(A2B2C2≠0)
l1與l2相交
的充分條件
≠(A2B2≠0)
l1與l2重合
的充分條件
＝＝(A2B2C2≠0)
[提醒] 當直線方程中存在字母參數時，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況．同時還要注意x，y的系數不能同時為零這一隱含條件．
1.設點P是曲線y＝x3－x＋上的任意一點
10、，P點處切線的傾斜角α的取值范圍是( )
A.∪ B.
C.∪ D.
解析：選C 因為y′＝3x2－≥－，即切線斜率k≥－，所以切線傾斜角α的取值范圍是∪.
2.直線l過點A(1,2)，且不經過第四象限，則直線l的斜率的取值范圍為( )
A. B．[0,1]
C．[0,2] D.
解析：選C 因為直線過點A(1,2)，且不經過第四象限，作出圖象，如圖所示，當直線位于如圖所示的陰影區(qū)域內時滿足條件，由圖可知，當直線l過A且平行于x軸時，斜率取得最小值，kmin＝0；當直線l過A(1,2)，O(0,0)時，斜率取得最大值，kmax＝2，所以直線l的斜率的取值范圍是[0,2]．故選
11、C.
3.若直線l1：mx－y－2＝0與直線l2：(2－m)x－y＋1＝0互相平行，則實數m的值為( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：選C ∵直線l1：mx－y－2＝0與直線l2：(2－m)x－y＋1＝0互相平行，∴解得m＝1.故選C.
4.直線mx＋4y－2＝0與直線2x－5y＋n＝0垂直，垂足為(1，p)，則n的值為( )
A．－12 B．－14
C．10 D．8
解析：選A 由直線mx＋4y－2＝0與直線2x－5y＋n＝0垂直，得2m－20＝0，m＝10，直線10x＋4y－2＝0過點(1，p)，有10＋4p－2＝0，解得p＝－2，點(1，－2)又在直線
12、2x－5y＋n＝0上，則2＋10＋n＝0.解得n＝－12.故選A.
5.(2018·溫州五校聯考)已知直線l1：ax＋2y＋6＝0，l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0，若l1⊥l2，則a＝________.
解析：因為直線l1：ax＋2y＋6＝0與l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0垂直，所以a·1＋2·(a－1)＝0，解得a＝.
答案：
突破點(二) 直線的方程
直線方程的五種形式
形式
幾何條件
方程
適用范圍
點斜式
過一點(x0，y0)，斜率k
y－y0＝k(x－x0)
與x軸不垂直的直線
斜截式
縱截距b，斜率k
y＝kx＋b
與x
13、軸不垂直的直線
兩點式
過兩點(x1，y1)，(x2，y2)
＝
與x軸、y軸均不垂直的直線
截距式
橫截距a，縱截距b
＋＝1
不含垂直于坐標軸和過原點的直線
一般式
Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0
平面直角坐標系內所有直線
1．判斷題
(1)經過定點A(0，b)的直線都可以用方程y＝kx＋b表示．( )
(2)經過任意兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( )
(3)不經過原點的直線都可以用＋＝1表示．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
14、
2．填空題
(1)直線l經過點(0,1)且傾斜角為60°，則直線l的方程為________________．
解析：∵k＝tan 60°＝，又直線l過點(0,1)，
∴由點斜式方程得，y－1＝(x－0)．
即x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
(2)經過點A(2，－3)，傾斜角等于直線y＝x的2倍的直線方程為________________．
解析：直線y＝x的斜率k＝1，故傾斜角為，所以所求的直線的傾斜角為，則所求的直線方程為x＝2.
答案：x＝2
(3)已知直線l：ax＋y－2－a＝0在x軸和y軸上的截距相等，則實數a＝____________.
解析：顯然a＝0
15、不符合題意，當a≠0時，令x＝0，則l在y軸的截距為2＋a；令y＝0，得直線l在x軸上的截距為1＋.依題意2＋a＝1＋，解得a＝1或a＝－2.
答案：1或－2
求直線方程
[例1] (1)求過點A(1,3)，斜率是直線y＝－4x的斜率的的直線方程；
(2)求經過點A(－5,2)，且在x軸上的截距等于在y軸上截距的2倍的直線方程；
(3)求過A(2,1)，B(m,3)兩點的直線l的方程．
[解] (1)設所求直線的斜率為k，依題意k＝－4×＝－.
又直線經過點A(1,3)，
因此所求直線方程為y－3＝－(x－1)，
即4x＋3y－13＝0.
(2)當直
16、線不過原點時，設所求直線方程為＋＝1，
將(－5,2)代入所設方程，
解得a＝－，
所以直線方程為x＋2y＋1＝0；
當直線過原點時，設直線方程為y＝kx，則－5k＝2，
解得k＝－，
所以直線方程為y＝－x，即2x＋5y＝0.
故所求直線方程為2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.
(3)①當m＝2時，直線l的方程為x＝2；
②當m≠2時，直線l的方程為＝，
即2x－(m－2)y＋m－6＝0.
因為m＝2時，代入方程2x－(m－2)y＋m－6＝0，即為x＝2，
所以直線l的方程為2x－(m－2)y＋m－6＝0.
[易錯提醒]
(1)在求直線方程時，應選擇適當的形式
17、，并注意各種形式的適用條件．
(2)對于點斜式、截距式方程使用時要注意分類討論思想的運用(若采用點斜式，應先考慮斜率不存在的情況；若采用截距式，應先判斷截距是否為零)．
與直線方程有關的最值問題
[例2] (1)已知直線x＋2y＝2分別與x軸、y軸相交于A，B兩點，若動點P(a，b)在線段AB上，則ab的最大值為________．
(2)設m∈R，過定點A的動直線x＋my＝0和過定點B的動直線mx－y－m＋3＝0交于點P(x，y)，則|PA|·|PB|的最大值是________．
[解析] (1)由題得A(2,0)，B(0,1)，
由動點P(a，b)在線段AB上，可
18、知0≤b≤1，
且a＋2b＝2，從而a＝2－2b，
故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－22＋.
由于0≤b≤1，故當b＝時，ab取得最大值.
(2)易求定點A(0,0)，B(1,3)．
當P與A和B均不重合時，
因為P為直線x＋my＝0與mx－y－m＋3＝0的交點，且易知兩直線垂直，則PA⊥PB，
所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，
所以|PA|·|PB|≤＝5(當且僅當|PA|＝|PB|＝時，等號成立)，當P與A或B重合時，|PA|·|PB|＝0，故|PA|·|PB|的最大值是5.
[答案] (1) (2)5
[方法技巧]
與直線方程有關的最值
19、問題的解題思路
(1)借助直線方程，用y表示x或用x表示y.
(2)將問題轉化成關于x(或y)的函數．
(3)利用函數的單調性或基本不等式求最值．
1.直線3x－y＝0繞原點逆時針旋轉90°，再向右平移1個單位長度，所得直線的方程為( )
A．x＋3y－3＝0 B．x＋3y－1＝0
C．3x－y－3＝0 D．x－3y＋3＝0
解析：選B 直線y＝3x繞原點逆時針旋轉90°，得y＝－x，再向右平移1個單位長度，得y＝－(x－1)，即x＋3y－1＝0.
2.已知點P(x，y)在直線x＋y－4＝0上，則x2＋y2的最小值是( )
A．8 B．2 C. D．16
解
20、析：選A ∵點P(x，y)在直線x＋y－4＝0上，∴y＝4－x，∴x2＋y2＝x2＋(4－x)2＝2(x－2)2＋8，當x＝2時，x2＋y2取得最小值8.
3.當k>0時，兩直線kx－y＝0,2x＋ky－2＝0與x軸圍成的三角形面積的最大值為________．
解析：直線2x＋ky－2＝0與x軸交于點(1,0)．由解得y＝，所以兩直線kx－y＝0,2x＋ky－2＝0與x軸圍成的三角形的面積為×1×＝，又k＋≥2＝2，故三角形面積的最大值為.
答案：
4.(2018·蘇北四市模擬)已知a，b為正數，且直線ax＋by－6＝0與直線2x＋(b－3)y＋5＝0平行，則2a＋3b的最小值為___
21、_____．
解析：由兩直線平行可得，a(b－3)－2b＝0，即2b＋3a＝ab，＋＝1.又a，b為正數，所以2a＋3b＝(2a＋3b)·＝13＋＋≥13＋2 ＝25，當且僅當a＝b＝5時取等號，故2a＋3b的最小值為25.
答案：25
5.△ABC的三個頂點分別為A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：
(1)BC邊所在直線的方程；
(2)BC邊上中線AD所在直線的方程；
(3)BC邊的垂直平分線DE所在直線的方程．
解：(1)因為直線BC經過B(2,1)和C(－2,3)兩點，
由兩點式得BC的方程為＝，即x＋2y－4＝0.
(2)設BC邊的中點D的坐標為(x，y
22、)，
則x＝＝0，y＝＝2.
BC邊的中線AD過點A(－3,0)，D(0,2)兩點，
由截距式得AD所在直線的方程為＋＝1，
即2x－3y＋6＝0.
(3)由(1)知，直線BC的斜率k1＝－，則BC的垂直平分線DE的斜率k2＝2.由(2)知，點D的坐標為(0,2)．由點斜式得直線DE的方程為y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.
突破點(三) 直線的交點、距離與對稱問題
1．兩條直線的交點
2．三種距離
類型
條件
距離公式
兩點間的距離
點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離
|P1P2|＝
點到直線的距離
點P0(
23、x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離
d＝
兩平行直線間的距離
兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離
d＝
1．判斷題
(1)若兩直線的方程組成的方程組有唯一解，則兩直線相交．( )
(2)點P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為.( )
(3)直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離．( )
(4)若點A，B關于直線l：y＝kx＋b(k≠0)對稱，則直線AB的斜率等于－，且線段AB的中點在直線l上．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．填空題
(1)兩條直線l1：2x＋y－1＝0和
24、l2：x－2y＋4＝0的交點為________．
解析：由可解得
所以兩直線交點坐標為.
答案：
(2)原點到直線x＋2y－5＝0的距離是________．
解析：d＝＝.
答案：
(3)已知點(a,2)(a>0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a＝________.
解析：由題意知＝1，∴|a＋1|＝，
又a>0，∴a＝－1.
答案：－1
(4)已知直線3x＋4y－3＝0與直線6x＋my＋14＝0平行，則它們之間的距離是________．
解析：∵＝≠，∴m＝8，直線6x＋my＋14＝0可化為3x＋4y＋7＝0，兩平行線之間的距離d＝＝2.
答案：2
25、
交點問題
[例1] (1)當00，
故直線l1：kx－y＝k－1與直線l2：ky－x＝2k的交點在第二象限．
(2)解方程組可得
所以交點坐標為(－9，－8)，代入y＝ax－2，得－8＝a·(－9)－2，所以a＝.
[答案] (1)B (2)
[方法技巧]
1．兩直線交
26、點的求法
求兩直線的交點坐標，就是解由兩直線方程聯立組成的方程組，得到的方程組的解，即交點的坐標．
2．求過兩直線交點的直線方程的方法
求過兩直線交點的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點坐標，再結合其他條件寫出直線方程．也可借助直線系方程，利用待定系數法求出直線方程，這樣能簡化解題過程．
距離問題
[例2] (1)若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點，則|PQ|的最小值為( )
A. B.
C. D.
(2)已知直線l過點P(3,4)且與點A(－2,2)，B(4，－2)等距離，則直線l的方程為__________________
27、___________．
[解析] (1)因為＝≠，所以兩直線平行，
將直線3x＋4y－12＝0化為6x＋8y－24＝0，
由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離，
即＝，所以|PQ|的最小值為.
(2)設所求直線的方程為y－4＝k(x－3)，
即kx－y－3k＋4＝0，
由已知及點到直線的距離公式可得＝，解得k＝2或k＝－，
即所求直線的方程為2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0.
[答案] (1)C (2)2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0
[易錯提醒]
(1)點P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b
28、|；
(2)利用兩平行線間的距離公式要先把兩直線方程中x，y的系數化為對應相等．
對稱問題
1．中心對稱問題的兩種類型及求解方法
點關于
點對稱
若點M(x1，y1)及N(x，y)關于P(a，b)對稱，則由中點坐標公式得進而求解
直線關于
點對稱
①在已知直線上取兩點，利用中點坐標公式求出它們關于已知點對稱的兩點坐標，再由兩點式求出直線方程；
②求出一個對稱點，再利用兩對稱直線平行，由點斜式得到所求直線方程
2．軸對稱問題的兩種類型及求解方法
點關于直線對稱
若兩點P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關于直線l：Ax＋By＋C＝0對稱，由方程組可得
29、到點P1關于l對稱的點P2的坐標(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)
直線關于直線對稱
①若直線與對稱軸平行，則在直線上取一點，求出該點關于軸的對稱點，然后用點斜式求解．
②若直線與對稱軸相交，則先求出交點，然后再取直線上一點，求該點關于軸的對稱點，最后由兩點式求解
[例3] 已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2)．求：
(1)點A關于直線l的對稱點A′的坐標；
(2)直線m：3x－2y－6＝0關于直線l的對稱直線m′的方程；
(3)直線l關于點A(－1，－2)對稱的直線l′的方程．
[解] (1)設A′(x，y)，由已知
解得
所以A′.
(2)在直線m
30、上取一點M(2,0)，
則M(2,0)關于直線l的對稱點M′必在直線m′上．
設M′(a，b)，則
解得M′.
設直線m與直線l的交點為N，
則由得N(4,3)．
又因為m′經過點N(4,3)，
所以由兩點式得直線m′的方程為9x－46y＋102＝0.
(3)設P(x，y)為l′上任意一點，
則P(x，y)關于點A(－1，－2)的對稱點為P′(－2－x，－4－y)，因為P′在直線l上，
所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即2x－3y－9＝0.
[方法技巧]
解決兩類對稱問題的關鍵
解決中心對稱問題的關鍵在于運用中點坐標公式，而解決軸對稱問題，一般是轉
31、化為求對稱點的問題，在求對稱點時，關鍵要抓住兩點：一是兩對稱點的連線與對稱軸垂直；二是兩對稱點的中心在對稱軸上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一個方程，由“平分”列出一個方程，聯立求解．
1.過點且與直線x－2y－2＝0垂直的直線方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
解析：選C 因為直線x－2y－2＝0的斜率為，所以所求直線的斜率k＝－2.所以所求直線的方程為y－＝－2，即2x＋y－2＝0.故選C.
2.點P(2,5)關于直線x＋y＝0對稱的點的坐標是( )
A．(5,2) B．(2，－5)
C．
32、(－5，－2) D．(－2，－5)
解析：選C 設P(2,5)關于直線x＋y＝0的對稱點為P1，則PP1的中點應在x＋y＝0上，可排除A，B；而(－2，－5)與P(2,5)顯然關于原點對稱，而不關于直線x＋y＝0對稱．故選C.
3.若動點A，B分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動，則AB的中點M到原點的距離的最小值為( )
A．3 B.
C．3 D．2
解析：選C 點M在直線x＋y－6＝0上，到原點的最小距離等價于原點O(0,0)到直線x＋y－6＝0的距離，即d＝＝＝3.故選C.
4.已知A(－2,1)，B(1,2)，點C為直線y＝x上的動點，則|AC|
33、＋|BC|的最小值為( )
A．2 B．2
C．2 D．2
解析：選C 設B關于直線y＝x的對稱點為B′(x0，y0)，則解得B′(2，－1)．由平面幾何知識得|AC|＋|BC|的最小值即是|B′A|＝＝2.故選C.
5.已知點A(－3，－4)，B(6,3)到直線l：ax＋y＋1＝0的距離相等，則實數a的值為__________．
解析：由題意及點到直線的距離公式得＝，解得a＝－或－.
答案：－或－
6.經過兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程為________________．
解析：法一：由方程組得
34、即P(0,2)．
∵l⊥l3，直線l3的斜率為，∴直線l的斜率k1＝－，
∴直線l的方程為y－2＝－x，即4x＋3y－6＝0.
法二：設直線l的方程為x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，則其可化為(1＋λ)x＋(λ－2)y＋(4－2λ)＝0，因為直線l與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，解得λ＝11.則直線l的方程為12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0.
答案：4x＋3y－6＝0
[全國卷5年真題集中演練——明規(guī)律]
1．(2016·全國卷Ⅱ)圓x2＋y2－2x－8y＋
35、13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，則a＝( )
A．－ B．－
C. D．2
解析：選A 因為圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心坐標為(1,4)，所以圓心到直線ax＋y－1＝0的距離d＝＝1，解得a＝－.
2．(2013·全國卷Ⅱ)已知點A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直線y＝ax＋b(a>0)將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是( )
A．(0,1) B.
C. D.
解析：選B 法一：(1)當直線y＝ax＋b與AB，BC相交時，如圖①所示．易求得：xM＝－，yN＝.由已知條件得：·＝1，∴a＝.∵點M在線段OA上，∴－1
36、<－<0，∴0.
又0
37、＋1)，則a＝.∵a＞0，∴＞0，解得b＜.考慮極限位置，即a＝0，此時易得b＝1－，故答案為B.
[課時達標檢測]
[小題對點練——點點落實]
對點練(一) 直線的傾斜角與斜率、兩直線的位置關系
1．直線x＋y＋1＝0的傾斜角是( )
A. B.
C. D.
解析：選D 由直線的方程得直線的斜率為k＝－，設傾斜角為α，則tan α＝－，所以α＝.
2．三條直線l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0構成一個三角形，則k的取值范圍是(
38、)
A．k∈R
B．k∈R且k≠±1，k≠0
C．k∈R且k≠±5，k≠－10
D．k∈R且k≠±5，k≠1
解析：選C 由l1∥l3得k＝5；由l2∥l3得k＝－5；由x－y＝0與x＋y－2＝0得x＝1，y＝1，若(1,1)在l3上，則k＝－10.故若l1，l2，l3能構成一個三角形，則k≠±5且k≠－10.故選C.
3．(2018·山東省實驗中學月考)設a，b，c分別是△ABC中角A，B，C所對的邊，則直線sin A·x＋ay－c＝0與bx－sin B·y＋sin C的位置關系是________．
解析：由題意可得直線sin A·x＋ay－c＝0的斜率k1＝－，bx－sin
39、B·y＋sin C＝0的斜率k2＝，故k1k2＝－·＝－1，則直線sin A·x＋ay－c＝0與直線bx－sin B·y＋sin C＝0垂直．
答案：垂直
4．若直線l經過點A(1,2)，在x軸上的截距的取值范圍是(－3，3)，則其斜率的取值范圍是________________．
解析：設直線l的斜率為k，則直線方程為y－2＝k(x－1)，
在x軸上的截距為1－，令－3<1－<3，
解得k<－1或k>.
故其斜率的取值范圍為(－∞，－1)∪.
答案：(－∞，－1)∪
對點練(二) 直線的方程
1．兩直線－＝a與－＝a(其中a是不為零的常數)的圖象可能是( )
解析：
40、選B 直線方程－＝a可化為y＝x－na，直線－＝a可化為y＝x－ma，由此可知兩條直線的斜率同號，故選B.
2．過點(2,1)，且傾斜角比直線y＝－x－1的傾斜角小的直線方程是( )
A．x＝2 B．y＝1
C．x＝1 D．y＝2
解析：選A ∵直線y＝－x－1的斜率為－1，則傾斜角為π.依題意，所求直線的傾斜角為－＝，∴其方程為x＝2.
3．在等腰三角形AOB中，AO＝AB，點O(0,0)，A(1,3)，點B在x軸的正半軸上，則直線AB的方程為( )
A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)
C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)
解析：選D 設
41、點B的坐標為(a,0)(a>0)，
由OA＝AB，得12＋32＝(1－a)2＋(3－0)2，則a＝2.
∴點B(2,0)．易知kAB＝－3，
由兩點式，得AB的方程為y－3＝－3(x－1)．
4．(2018·北京西城區(qū)月考)已知l1，l2是分別經過A(1,1)，B(0，－1)兩點的兩條平行直線，當l1，l2間的距離最大時，則直線l1的方程是________________．
解析：當直線AB與l1，l2垂直時，l1，l2間的距離最大．因為A(1,1)，B(0，－1)，所以kAB＝＝2，所以兩平行直線的斜率為k＝－，所以直線l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.
答案
42、：x＋2y－3＝0
5．已知直線l過點P(2，－1)，在x軸和y軸上的截距分別為a，b，且滿足a＝3b.則直線l的方程為__________________．
解析：①若a＝3b＝0，則直線過原點(0,0)，
此時直線斜率k＝－，直線方程為x＋2y＝0.
②若a＝3b≠0，設直線方程為＋＝1，即＋＝1.
因為點P(2，－1)在直線上，所以b＝－.
從而直線方程為－x－3y＝1，即x＋3y＋1＝0.
綜上所述，所求直線方程為x＋2y＝0或x＋3y＋1＝0.
答案：x＋2y＝0或x＋3y＋1＝0
對點練(三) 直線的交點、距離與對稱問題
1．若點P(a，b)與Q(b－1，a＋1
43、)關于直線l對稱，則直線l的傾斜角α為( )
A．135° B．45°
C．30° D．60°
解析：選B 由題意知，PQ⊥l，∵kPQ＝＝－1，∴kl＝1，即tan α＝1，∴α＝45°.故選B.
2．已知點A(1，－2)，B(m,2)且線段AB的垂直平分線的方程是x＋2y－2＝0，則實數m的值是( )
A．－2 B．－7
C．3 D．1
解析：選C 因為線段AB的中點在直線x＋2y－2＝0上，代入解得m＝3.
3．P點在直線3x＋y－5＝0上，且P到直線x－y－1＝0的距離為，則P點坐標為( )
A．(1,2) B．(2,1)
C．(1,2)或(2，－1) D
44、．(2,1)或(－1,2)
解析：選C 設P(x,5－3x)，則d＝＝，解得x＝1或x＝2，故P(1,2)或(2，－1)．
4．若直線l1：y＝k(x－4)與直線l2關于點(2,1)對稱，則直線l2恒過定點( )
A．(0,4) B．(0,2)
C．(－2,4) D．(4，－2)
解析：選B 直線l1：y＝k(x－4)恒過定點(4,0)，其關于點(2,1)對稱的點為(0,2)．又由于直線l1：y＝k(x－4)與直線l2關于點(2,1)對稱，故直線l2恒過定點(0,2)．
5．若兩平行直線3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之間的距離為，則的值為________．
解析：由題意
45、得，＝≠，∴a＝－4，c≠－2.
則6x＋ay＋c＝0可化為3x－2y＋＝0.
∴＝，∴c＋2＝±4，
∴＝±1.
答案：±1
6.如圖，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，E(－1,0)，F(1,0)，一束光線從F點出發(fā)射到BC上的D點，經BC反射后，再經AC反射，落到線段AE上(不含端點)，則直線FD的斜率的取值范圍為________．
解析：從特殊位置考慮．如圖，
∵點A(－2,0)關于直線BC：x＋y＝2的對稱點為A1(2,4)，
∴kA1F＝4.又點E(－1,0)關于直線AC：y＝x＋2的對稱點為E1(－2，1)，點E1(－2,1)關于直線BC：x＋y＝2
46、的對稱點為E2(1,4)，此時直線E2F的斜率不存在，∴kFD>kA1F，即kFD∈(4，＋∞)．
答案：(4，＋∞)
7．過直線l1：x－2y＋3＝0與直線l2：2x＋3y－8＝0的交點，且到點P(0,4)距離為2的直線方程為_________________．
解析：由得∴l(xiāng)1與l2交點為(1,2)，
設所求直線方程為y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，
∵P(0,4)到直線的距離為2，
∴2＝，解得k＝0或k＝，
∴直線方程為y＝2或4x－3y＋2＝0.
答案：y＝2或4x－3y＋2＝0
[大題綜合練——遷移貫通]
1．已知直線l1：x＋a2y＋1＝0和
47、直線l2：(a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R)．
(1)若l1∥l2，求b的取值范圍；
(2)若l1⊥l2，求|ab|的最小值．
解：(1)因為l1∥l2，所以－b－(a2＋1)a2＝0，
即b＝－a2(a2＋1)＝－a4－a2＝－2＋，因為a2≥0，所以b≤0.
又因為a2＋1≠3，所以b≠－6.
故b的取值范圍是(－∞，－6)∪(－6,0]．
(2)因為l1⊥l2，所以(a2＋1)－a2b＝0，
顯然a≠0，所以ab＝a＋，|ab|＝≥2，當且僅當a＝±1時等號成立，因此|ab|的最小值為2.
2．已知直線l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及點P(3,4)
48、．
(1)證明直線l過某定點，并求該定點的坐標；
(2)當點P到直線l的距離最大時，求直線l的方程．
解：(1)證明：直線l的方程可化為a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0，由得
所以直線l恒過定點(－2,3)．
(2)由(1)知直線l恒過定點A(－2,3)，
當直線l垂直于直線PA時，點P到直線l的距離最大．
又直線PA的斜率kPA＝＝，
所以直線l的斜率kl＝－5.
故直線l的方程為y－3＝－5(x＋2)，
即5x＋y＋7＝0.
3．過點P(4,1)作直線l分別交x，y軸正半軸于A，B兩點．
(1)當△AOB面積最小時，求直線l的方程；
(2)當|OA|＋|O
49、B|取最小值時，求直線l的方程．
解：設直線l：＋＝1(a＞0，b＞0)，
因為直線l經過點P(4,1)，所以＋＝1.
(1)因為＋＝1≥2＝，
所以ab≥16，當且僅當a＝8，b＝2時等號成立，
所以當a＝8，b＝2時，S△AOB＝ab最小，
此時直線l的方程為＋＝1，即x＋4y－8＝0.
(2)因為＋＝1，a＞0，b＞0，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝5＋＋≥5＋2 ＝9，
當且僅當a＝6，b＝3時等號成立，
所以當|OA|＋|OB|取最小值時，直線l的方程為＋＝1，即x＋2y－6＝0.
第二節(jié) 圓的方程
本節(jié)主要包括2個知識點： 1.圓的方
50、程； 2.與圓的方程有關的綜合問題.
突破點(一) 圓的方程
1．圓的定義及方程
定義
平面內到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓
標準方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圓心：(a，b)
半徑：r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
圓心：
半徑：r＝
2.點與圓的位置關系
點M(x0，y0)，圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
理論依據
點到圓心的距離與半徑的大小關系
三種情況
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?點在圓上
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?點在圓外
51、
(x0－a)2＋(y0－b)20.( )
答案：(1)√ (2)× (3
52、)× (4)√ (5)√
2．填空題
(1)圓x2＋y2－4x＋8y－5＝0的圓心為________，半徑為________．
解析：圓心坐標為(2，－4)，
半徑r＝＝5.
答案：(2，－4) 5
(2)圓C的直徑的兩個端點分別是A(－1,2)，B(1,4)，則圓C的標準方程為________________．
解析：設圓心C的坐標為(a，b)，
則a＝＝0，b＝＝3，故圓心C(0,3)．
半徑r＝|AB|＝＝.
∴圓C的標準方程為x2＋(y－3)2＝2.
答案：x2＋(y－3)2＝2
(3)若點(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內部，則實數a的取值范圍是
53、________．
解析：因為點(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內部，所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4.即a2＜1，故－1＜a＜1.
答案：(－1,1)
求圓的方程
1．求圓的方程的兩種方法
直接法
根據圓的幾何性質，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程
待定
系數法
(1)若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關，則設圓的標準方程，依據已知條件列出關于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；
(2)若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇設圓的一般方程，依據已知條件列出關于D，E，F的方程組，進而求出D，E，F的值
2.確定圓心
54、位置的三種方法
(1)圓心在過切點且與切線垂直的直線上．
(2)圓心在圓的任意弦的垂直平分線上．
(3)兩圓相切時，切點與兩圓圓心共線．
[例1] (1)已知圓C經過A(5,1)，B(1,3)兩點，圓心在x軸上，則圓C的方程為________________．
(2)已知圓心在直線y＝－4x上，且圓與直線l：x＋y－1＝0相切于點P(3，－2)，則該圓的方程是________________．
(3)若不同的四點A(5,0)，B(－1,0)，C(－3,3)，D(a,3)共圓，則a的值為________．
[解析] (1)依題意，設圓心坐標為C(a,0)，則|CA|＝|CB|，
55、即＝，則a＝2.
故圓心為(2,0)，半徑為，
所以圓C的方程為(x－2)2＋y2＝10.
(2)過切點且與x＋y－1＝0垂直的直線為y＋2＝x－3，與y＝－4x聯立可求得圓心為(1，－4)．
所以半徑r＝＝2，
故所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
(3)法一：設過A，B，C三點的圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
分別代入A，B，C三點坐標，得
解得
所以A，B，C三點確定的圓的方程為x2＋y2－4x－y－5＝0.
因為D(a,3)也在此圓上，所以a2＋9－4a－25－5＝0.
所以a＝7或a＝－3(舍去)．即a的值為7.
法二：由題易知AB∥C
56、D，所以圓的一條對稱軸既是AB的垂直平分線又是CD的垂直平分線，而AB的垂直平分線方程為x＝2，故＝2，解得a＝7.
[答案] (1)(x－2)2＋y2＝10 (2)(x－1)2＋(y＋4)2＝8 (3)7
[方法技巧]
1．確定圓的方程必須有三個獨立條件
不論是圓的標準方程還是一般方程，都有三個字母(a，b，r或D，E，F)的值需要確定，因此需要三個獨立的條件．利用待定系數法得到關于a，b，r(或D，E，F)的三個方程組成的方程組，解之得到待定字母系數的值，從而確定圓的方程．
2．幾何法在圓中的應用
在一些問題中借助平面幾何中關于圓的知識可以簡化計算，如已知一個圓經過兩點時，其圓
57、心一定在這兩點連線的垂直平分線上，解題時要注意平面幾何知識的應用．
與圓有關的對稱問題
1．圓的軸對稱性
圓關于直徑所在的直線對稱．
2．圓關于點對稱
(1)求已知圓關于某點對稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置．
(2)兩圓關于某點對稱，則此點為兩圓圓心連線的中點．
3．圓關于直線對稱
(1)求已知圓關于某條直線對稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置．
(2)兩圓關于某條直線對稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線．
[例2] (2018·河南六市模擬)圓(x－2)2＋y2＝4關于直線y＝x對稱的圓的方程是( )
A．(x－)2＋(y－1)2＝4
B．(x－
58、)2＋(y－)2＝4
C．x2＋(y－2)2＝4
D．(x－1)2＋(y－)2＝4
[解析] 設圓(x－2)2＋y2＝4的圓心(2,0)關于直線y＝x對稱的點的坐標為(a，b)，
則解得
∴圓(x－2)2＋y2＝4的圓心(2,0)關于直線y＝x對稱的點的坐標為(1，)，
從而所求圓的方程為(x－1)2＋(y－)2＝4.
[答案] D
1.圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析：選D 圓的半徑r＝＝，
59、圓心坐標為(1,1)，所以圓的標準方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.
2.(2018·福建廈門質檢)圓C與x軸相切于T(1,0)，與y軸正半軸交于兩點A，B，且|AB|＝2，則圓C的標準方程為( )
A．(x－1)2＋(y－)2＝2 B．(x－1)2＋(y－2)2＝2
C．(x＋1)2＋(y＋)2＝4 D．(x－1)2＋(y－)2＝4
解析：選A 由題意得，圓C的半徑為＝，圓心坐標為(1，)，∴圓C的標準方程為(x－1)2＋(y－)2＝2，故選A.
3.已知圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0關于直線2ax－by＋2＝0(a，b∈R)對稱，則ab的取值范圍是( )
A. B.
60、
C. D.
解析：選A 將圓的方程化成標準形式得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，若圓關于已知直線對稱，則圓心(－1,2)在直線上，代入整理得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－2＋≤，故選A.
4.圓C與圓(x－1)2＋y2＝1關于直線y＝－x對稱，則圓C的方程為________________．
解析：圓心(1,0)關于直線y＝－x對稱的點為(0，－1)，所以圓C的方程為x2＋(y＋1)2＝1.
答案：x2＋(y＋1)2＝1
5.若圓(x＋1)2＋(y－3)2＝9上的相異兩點P，Q關于直線kx＋2y－4＝0對稱，則k的值為________．
解析：圓是軸對稱圖形，過圓心的直
61、線都是它的對稱軸．已知圓的圓心為(－1,3)，由題設知，直線kx＋2y－4＝0過圓心，則k×(－1)＋2×3－4＝0，解得k＝2.
答案：2
6.(2018·湖北襄陽四中模擬)已知點C(－1,0)，以C為圓心的圓與直線x－y－3＝0相切．
(1)求圓C的方程；
(2)如果圓C上存在兩點關于直線mx＋y＋1＝0對稱，求m的值．
解：(1)因為圓與直線相切，
所以圓心到直線的距離即為半徑長．
由題意，得圓心到直線的距離d＝＝2，
故所求圓的方程為(x＋1)2＋y2＝4.
(2)因為圓C上存在兩點關于直線對稱，所以直線過圓心C，所以－m＋1＝0，解得m＝1.
突破點(二) 與
62、圓的方程有關的綜合問題 (對應學生用書P148)
圓的方程是高中數學的一個重要知識點，高考中，除了圓的方程的求法外，圓的方程與其他知識的綜合問題也是高考考查的熱點，常涉及軌跡問題和最值問題.解決此類問題的關鍵是數形結合思想的運用.
與圓有關的軌跡問題
[例1] 已知圓x2＋y2＝4上一定點A(2,0)，B(1,1)為圓內一點，P，Q為圓上的動點．
(1)求線段AP中點的軌跡方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點的軌跡方程．
[解] (1)設AP的中點為M(x，y)，由中點坐標公式可知，P點坐標為(2x－2,2y)．
因為P點在圓x2＋y2＝4上，所
63、以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故線段AP中點的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.
(2)設PQ的中點為N(x，y)．
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
設O為坐標原點，連接ON，則ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故線段PQ中點的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.
[方法技巧] 求與圓有關的軌跡問題的四種方法
與圓有關的最值問題
[例2] 已知實數x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
(1)的最大值和最小值；
(2)y－x的最大值和最小值；
64、
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
[解] 原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)為圓心，為半徑的圓．
(1)的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，
所以設＝k，即y＝kx.
當直線y＝kx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值，此時＝ ，解得k＝±.
所以的最大值為，最小值為－.
(2)y－x可看成是直線y＝x＋b在y軸上的截距．
當直線y＝x＋b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時＝，
解得b＝－2±.
所以y－x的最大值為－2＋，最小值為－2－.
(3)x2＋y2表示圓上的一點與原點距離的平方．
由平面幾何知識知，x2＋y2在原點和圓心的連線與
65、圓的兩個交點處分別取得最小值，最大值．
因為圓心到原點的距離為＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，
最小值是(2－)2＝7－4.
[方法技巧] 與圓有關最值問題的求解策略
處理與圓有關的最值問題時，應充分考慮圓的幾何性質，并根據代數式的幾何意義，借助數形結合思想求解．與圓有關的最值問題，常見類型及解題思路如下：
常見類型
解題思路
μ＝型
轉化為動直線斜率的最值問題
t＝ax＋by型
轉化為動直線截距的最值問題，或用三角代換求解
m＝(x－a)2＋(y－b)2型
轉化為動點與定點的距離的平方的最值問題
1.已知點P(x，y)在圓x2＋(
66、y－1)2＝1上運動，則的最大值與最小值分別為________．
解析：設＝k，則k表示點P(x，y)與點A(2,1)連線的斜率．當直線PA與圓相切時，k取得最大值與最小值．設過(2,1)的直線方程為y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0.由＝1，解得k＝±.
答案：，－
2.設點P是函數y＝－圖象上的任意一點，點Q坐標為(2a，a－3)(a∈R)，則|PQ|的最小值為________．
解析：函數y＝－的圖象表示圓(x－1)2＋y2＝4的下半圓．令點Q的坐標為(x，y)，則得y＝－3，即x－2y－6＝0，作出圖象如圖所示．
由于圓心(1,0)到直線x－2y－6＝0的距離d＝＝＞2，所以直線x－2y－6＝0與圓(x－1)2＋y2＝4相離，因此|PQ|的最小值是－2.
答案：－2
3.已知P是直線3x＋4y－10＝0上的動點，PA，PB是圓x2＋y2－2x＋4y＋4＝0的兩條切線，A，B是切點，C是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值為________．
解析：圓的標準方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝1，其圓心為C(1，－2)，半徑為1，且直線與圓相離，如圖所示
（通用版）2019版高考數學一輪復習 第九章 解析幾何學案 理
