（新課標）2022高考數(shù)學大一輪復習 第九章 解析幾何 題組層級快練61 拋物線（一）文（含解析）

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1、（新課標）2022高考數(shù)學大一輪復習 第九章 解析幾何 題組層級快練61 拋物線（一）文（含解析） 1．拋物線x2＝y(tǒng)的焦點到準線的距離是(　　) A．2　　　　　　　　　　 B．1 C. D. 答案　D 解析　拋物線標準方程x2＝2py(p>0)中p的幾何意義為：拋物線的焦點到準線的距離，又p＝，故選D. 2．過點P(－2，3)的拋物線的標準方程是(　　) A．y2＝－x或x2＝y(tǒng) B．y2＝x或x2＝y(tǒng) C．y2＝x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－y 答案　A 解析　設(shè)拋物線的標準方程為y2＝kx或x2＝my，代入點P(－2，3)，解得k＝－，m＝，∴y2＝－

2、x或x2＝y(tǒng)，選A. 3．若拋物線y＝ax2的焦點坐標是(0，1)，則a＝(　　) A．1 B. C．2 D. 答案　D 解析　因為拋物線的標準方程為x2＝y(tǒng)，所以其焦點坐標為(0，)，則有＝1，a＝，故選D. 4．拋物線y＝4x2關(guān)于直線x－y＝0對稱的拋物線的準線方程是(　　) A．y＝－1 B．y＝－ C．x＝－1 D．x＝－ 答案　D 解析　拋物線x2＝y(tǒng)的準線方程為y＝－，關(guān)于x＝y(tǒng)對稱的準線方程x＝－為所求． 5．(2014·課標全國Ⅰ)已知拋物線C：y2＝x的焦點為F，A(x0，y0)是C上一點，|AF|＝x0，則x0＝(　　) A．1

3、 B．2 C．4 D．8 答案　A 解析　由題意知拋物線的準線方程為x＝－.因為|AF|＝x0，根據(jù)拋物線的定義可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1，故選A. 6．(2019·江西吉安一中期中)已知拋物線x2＝4y的焦點為F，其上有兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)滿足|AF|－|BF|＝2，則y1＋x12－y2－x22＝(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 答案　D 解析　∵|AF|－|BF|＝2，∴y1＋1－(y2＋1)＝2，∴y1－y2＝2，所以y1＋x12－y2－x22＝5(y1－y2)＝10，故選D. 7．(2019·衡水中學調(diào)研卷)若拋物

4、線y2＝2px(p>0)上一點到焦點和到拋物線對稱軸的距離分別為10和6，則拋物線的方程為(　　) A．y2＝4x B．y2＝36x C．y2＝4x或y2＝36x D．y2＝8x或y2＝32x 答案　C 解析　因為拋物線y2＝2px(p>0)上一點到拋物線的對稱軸的距離為6，所以若設(shè)該點為P，則P(x0，±6)．因為P到拋物線的焦點F(，0)的距離為10，所以由拋物線的定義得x0＋＝10?、?因為P在拋物線上，所以36＝2px0?、?由①②解得p＝2，x0＝9或p＝18，x0＝1，則拋物線的方程為y2＝4x或y2＝36x. 8．(2019·吉林長春調(diào)研測試)已知直線l1：4x

5、－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是(　　) A. B．2 C. D．3 答案　B 解析　由題可知l2：x＝－1是拋物線y2＝4x的準線，設(shè)拋物線的焦點為F(1，0)，則動點P到l2的距離等于|PF|，則動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值，即焦點F到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離，所以最小值是＝2，故選B. 9．(2019·合肥質(zhì)檢)已知拋物線y2＝2px(p>0)上一點M到焦點F的距離等于2p，則直線MF的斜率為(　　) A．± B．±1 C．± D．± 答案　A 解析　設(shè)M(x

6、M，yM)，由拋物線定義可得|MF|＝xM＋＝2p，解得xM＝，代入拋物線方程可得yM＝±p，則直線MF的斜率為＝＝±，選項A正確． 10．(2019·太原一模)已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，△ABC的頂點都在拋物線上，且滿足＋＋＝0，則＋＋＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．2p 答案　A 解析　設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F(xiàn)(，0)，則(x1－，y1)＋(x2－，y2)＋(x3－，y3)＝(0，0)，故y1＋y2＋y3＝0.∵＝＝＝，同理可知＝，＝，∴＋＋＝＝0. 11．(2019·南昌市二模)已知拋物線y2＝4x的焦點為

7、F，準線l與x軸的交點為K，P是拋物線上一點，若|PF|＝5，則△PKF的面積為(　　) A．4 B．5 C．8 D．10 答案　A 解析　由拋物線y2＝4x，知＝1，則焦點F(1，0)．設(shè)點P(，y0)，則由|PF|＝5，得＝5，解得y0＝±4，所以S△PKF＝×p×|y0|＝×2×4＝4，故選A. 12．(2019·滄州七校聯(lián)考)設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點M在C上，|MF|＝5，若以MF為直徑的圓過點(0，2)，則C的方程為(　　) A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2

8、＝16x 答案　C 解析　方法一：設(shè)點M的坐標為(x0，y0)，由拋物線的定義，得|MF|＝x0＋＝5，則x0＝5－. 又點F的坐標為(，0)，所以以MF為直徑的圓的方程為(x－x0)(x－)＋(y－y0)y＝0. 將x＝0，y＝2代入得px0＋8－4y0＝0，即－4y0＋8＝0，所以y0＝4. 由y02＝2px0，得16＝2p(5－)，解之得p＝2或p＝8. 所以C的方程為y2＝4x或y2＝16x.故選C. 方法二：由已知得拋物線的焦點F(，0)，設(shè)點A(0，2)，拋物線上點M(x0，y0)，則＝(，－2)，＝(，y0－2)． 由已知得，·＝0，即y02－8y0＋16＝0，因

9、而y0＝4，M(，4)． 由拋物線定義可知：|MF|＝＋＝5. 又p>0，解得p＝2或p＝8，故選C. 13．(2019·福建閩侯三中期中)已知拋物線x2＝4y的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，過P作PA⊥l于點A，當∠AFO＝30°(O為坐標原點)時，|PF|＝________． 答案　 解析　設(shè)l與y軸的交點為B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝.設(shè)P(x0，y0)，則x0＝±，代入x2＝4y中，得y0＝，從而|PF|＝|PA|＝y(tǒng)0＋1＝. 14．(2019·黑龍江大慶一模)已知圓x2＋y2＋mx－＝0與拋物線y2＝4x的準線相切，則m＝

10、________． 答案　 解析　圓x2＋y2＋mx－＝0圓心為(－，0)，半徑r＝，拋物線y2＝4x的準線為x＝－1.由|－＋1|＝，得m＝. 15．(2019·湖北恩施一中開學考)長為2的線段AB的兩個端點在拋物線y2＝x上滑動，則線段AB中點M到y(tǒng)軸距離的最小值是________． 答案　 解析　設(shè)拋物線y2＝x的焦點為F，準線為l，點A，B，M在l上的射影分別為點C，D，N，連接AC，BD，MN，如圖．由梯形的中位線定理，可得|MN|＝(|AC|＋|BD|)．連接AF，BF，根據(jù)拋物線的定義得|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|.根據(jù)平面幾何知識，可得|AF|＋|BF|≥|

11、AB|，當且僅當點F在AB上時取等號，∴|AC|＋|BD|≥|AB|＝2，∴|MN|＝(|AC|＋|BD|)≥|AB|＝1. 設(shè)點M的橫坐標為a，拋物線y2＝x的準線方程為x＝－，則 |MN|＝a＋≥1，解得a≥. 因此，當且僅當線段AB為經(jīng)過拋物線焦點的弦時，AB的中點M到y(tǒng)軸的距離最小值為. 16．拋物線y2＝2px(p>0)有一個內(nèi)接直角三角形，直角頂點是原點，一條直角邊所在直線方程為y＝2x，斜邊長為5，求此拋物線方程． 答案　y2＝4x 解析　設(shè)拋物線y2＝2px(p>0)的內(nèi)接直角三角形為AOB，直角邊OA所在直線方程為y＝2x，另一直角邊所在直線方程為y＝－x.

12、 解方程組可得點A的坐標為(，p)； 解方程組可得點B的坐標為(8p，－4p)． ∵|OA|2＋|OB|2＝|AB|2，且|AB|＝5， ∴(＋p2)＋(64p2＋16p2)＝325. ∴p＝2，∴所求的拋物線方程為y2＝4x. 17．(2018·上海春季高考題)利用“平行于圓錐母線的平面截圓錐面，所得截線是拋物線”的幾何原理，某快餐店用兩個射燈(射出的光錐為圓錐)在廣告牌上投影出其標識，如圖1所示，圖2是投影射出的拋物線的平面圖，圖3是一個射燈投影的直觀圖，在圖2與圖3中，點O，A，B在拋物線上，OC是拋物線的對稱軸，OC⊥AB于C，AB＝3米，OC＝4.5米． (1

13、)求拋物線的焦點到準線的距離； (2)在圖3中，已知OC平行于圓錐的母線SD，AB，DE是圓錐底面的直徑，求圓錐的母線與軸的夾角的大小(精確到0.01°)． 答案　(1)　(2)9.59° 解析　(1)如圖，以O(shè)為坐標原點，OC所在直線為y軸，建系． ∴B(1.5，－4.5)． 設(shè)拋物線方程為x2＝－2py. 點B(1.5，－4.5)在拋物線上． ∴p＝.∴焦點到準線距離為. (2)如圖，C為DE中點，OC∥SD，∴O為SE中點． SC⊥DE，OC＝4.5，∴SE＝2OC＝9. DE＝AB＝3，∴CE＝1.5. ∴sin∠CSE＝＝≈0.167. ∴∠SCE≈9

14、.59°. ∴圓錐的母線與軸的夾角約為9.59°. 18.一條隧道的橫斷面由拋物線弧及一個矩形的三邊圍成，尺寸(單位：m)如圖，一輛卡車空車時能通過此隧道，現(xiàn)載一集裝箱，箱寬3 m，車與箱共高4.5 m，此車能否通過隧道？說明理由． 解析　建立如圖所示的直角坐標系，設(shè)矩形的邊與拋物線的接點為A，B，則A(－3，－3)，B(3，－3)． 設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)， 將B點坐標代入得9＝－2p·(－3)， 所以p＝. 所以拋物線方程為x2＝－3y(－3≤y≤0)． 因為車與箱共高4.5 m， 所以集裝箱上表面距拋物線形隧道拱頂0.5 m. 設(shè)拋物線上點D的坐標為(x0，－0.5)，則x02＝， 所以|x0|＝＝，所以2|x0|＝<3，故此車不能通過隧道．