（全國通用版）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 選考部分 坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案 理

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1、（全國通用版）2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 選考部分 坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案 理 [過雙基] 1．平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換 設(shè)點P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點，在變換 φ：的作用下，點P(x，y)對應(yīng)到點P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換． 2．極坐標(biāo)系的概念 (1)極坐標(biāo)系 如圖所示，在平面內(nèi)取一個定點O，叫做極點；自極點O引一條射線Ox，叫做極軸；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標(biāo)系． (2)極坐標(biāo) ①極徑：設(shè)M是平面內(nèi)一點，極點O與點M的距離|OM|

2、叫做點M的極徑，記為ρ. ②極角：以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點M的極角，記為θ. ③極坐標(biāo)：有序數(shù)對(ρ，θ)叫做點M的極坐標(biāo)，記作M(ρ，θ)． 3．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 設(shè)M是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(ρ，θ)，則它們之間的關(guān)系為： 4．常見曲線的極坐標(biāo)方程 圓心在極點，半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程 ρ＝r(0≤θ<2π) 圓心為，半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程 ρ＝2rsin θ(0≤θ<π) 過極點，傾斜角為α的直線的極坐標(biāo)方程 θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R) 過點(a,0)，與極軸垂直的直線的極坐標(biāo)方程 ρc

3、os θ＝a 過點，與極軸平行的直線的極坐標(biāo)方程 ρsin θ＝a(0<θ<π) 　 1．點P的直角坐標(biāo)為(1，－)，則點P的極坐標(biāo)為________． 解析：因為點P(1，－)在第四象限，與原點的距離為2，且OP與x軸所成的角為－，所以點P的極坐標(biāo)為. 答案： 2．在極坐標(biāo)系中，圓ρ＝2cos θ的垂直于極軸的兩條切線方程分別為________． 解析：把圓ρ＝2cos θ的方程化為(x－1)2＋y2＝1知，圓的垂直于極軸的兩條切線方程分別為x＝0和x＝2，從而得這兩條切線的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2. 答案：θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2 3．(20

4、17·北京高考)在極坐標(biāo)系中，點A在圓ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0上，點P的坐標(biāo)為(1,0)，則|AP|的最小值為________． 解析：將圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1，圓心為(1,2)，半徑r＝1.因為點P(1,0)到圓心的距離d＝＝2>1，所以點P在圓外，所以|AP|的最小值為d－r＝2－1＝1. 答案：1 4．(2017·天津高考)在極坐標(biāo)系中，直線4ρcos＋1＝0與圓ρ＝2sin θ 的公共點的個數(shù)為________． 解析：依題意，得4ρ＋1＝0， 即2ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝

5、0， 所以直線的直角坐標(biāo)方程為2x＋2y＋1＝0. 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ， 所以圓的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝2y， 即x2＋(y－1)2＝1， 其圓心(0,1)到直線2x＋2y＋1＝0的距離 d＝＝<1，則直線與圓相交， 故直線與圓的公共點的個數(shù)是2. 答案：2 5．在極坐標(biāo)系中，過點A引圓ρ＝8sin θ的一條切線，則切線長為________． 解析：點A的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為A(0，－1)， 圓ρ＝8sin θ的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－8y＝0， 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－4)2＝16， 點A與圓心C(0,4)的距離為|AC|＝5， 所

6、以切線長為＝3. 答案：3 [清易錯] 1．極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化易錯用互化公式．在解決此類問題時考生要注意兩個方面：一是準(zhǔn)確應(yīng)用公式，二是注意方程中的限制條件． 2．在極坐標(biāo)系下，點的極坐標(biāo)不唯一性易忽視． 注意極坐標(biāo)(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一點的坐標(biāo)． 1．若圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2－4ρcos－1＝0，若以極點為原點，以極軸為x軸的正半軸建立相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系xOy，則在直角坐標(biāo)系中，圓心C的直角坐標(biāo)是________． 解析：因為ρ2－4ρcos－1＝0，所以ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－1＝0，即x

7、2＋y2－2x－2y－1＝0，因此圓心坐標(biāo)為(1，)． 答案：(1，) 2．圓ρ＝5cos θ－5sin θ的圓心的極坐標(biāo)為________． 解析：將方程 ρ＝5cos θ－5sin θ兩邊都乘以ρ得： ρ2＝5ρcos θ－5ρsin θ， 化成直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－5x＋5y＝0. 圓心的坐標(biāo)為， 化成極坐標(biāo)為. 答案：(答案不唯一) 平面直角坐標(biāo)系下圖形的伸縮變換 [典例]　(1)在同一平面直角坐標(biāo)系中，已知伸縮變換φ：求點A經(jīng)過φ變換所得的點A′的坐標(biāo)． (2)求直線l：y＝6x經(jīng)過φ：變換后所得到的直線l′的方程． [解]　(1)設(shè)A′(x′，y

8、′)，由伸縮變換φ： 得到由于點A的坐標(biāo)為， 于是x′＝3×＝1，y′＝×(－2)＝－1， ∴A′(1，－1)為所求． (2)設(shè)直線l′上任意一點P′(x′，y′)， 由上述可知，將代入y＝6x得 2y′＝6×，∴y′＝x′，即y＝x為所求． [方法技巧] 伸縮變換的解題方法 平面上的曲線y＝f(x)在變換φ：的作用下得到的方程的求法是將代入y＝f(x)，得＝f，整理之后得到y(tǒng)′＝h(x′)，即為所求變換之后的方程．　　 [即時演練] 1．求橢圓＋y2＝1，經(jīng)過伸縮變換后的曲線方程． 解：由得① 將①代入＋y2＝1，得＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1. 因此橢圓＋

9、y2＝1經(jīng)伸縮變換后得到的曲線方程是x2＋y2＝1. 2．若函數(shù)y＝f(x)的圖象在伸縮變換φ：的作用下得到曲線的方程為y′＝3sin，求函數(shù)y＝f(x)的最小正周期． 解：由題意，把變換公式代入曲線 y′＝3sin得3y＝3sin， 整理得y＝sin，故f(x)＝sin. 所以y＝f(x)的最小正周期為＝π. 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 [典例]　在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin＝，直線與曲線C：ρsin2θ＝8cos θ相交于不同的兩點A，B，求|AB|的值． [解]　l：ρsin＝?ρcos θ－ρsi

10、n θ＝?x－y－1＝0，C的直角坐標(biāo)方程是y2＝8x. 由 可得x2－10x＋1＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝10，x1x2＝1， 所以AB的長為·＝8. 　[方法技巧] 1．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式的3個前提條件 (1)取直角坐標(biāo)系的原點為極點． (2)以x軸的非負(fù)半軸為極軸． (3)兩種坐標(biāo)系規(guī)定相同的長度單位． 2．直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)的注意點 (1)根據(jù)終邊相同的角的意義，角θ的表示方法具有周期性，故點M的極坐標(biāo)(ρ，θ)的形式不唯一，即一個點的極坐標(biāo)有無窮多個． 當(dāng)限定ρ≥0，θ∈[0,2π)時，除極點外，點M的極坐標(biāo)是唯一的．

11、 (2)當(dāng)把點的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時，求極角θ應(yīng)注意判斷點M所在的象限(即角θ的終邊的位置)，以便正確地求出角θ∈[0,2π)的值．　 [即時演練] 在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos＝1(0≤θ<2π)，M，N分別為C與x軸，y軸的交點． (1)寫出C的直角坐標(biāo)方程，并求M，N的極坐標(biāo)； (2)設(shè)MN的中點為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程． 解：(1)由ρcos＝1，得ρ＝1. 從而C的直角坐標(biāo)方程為x＋y＝1， 即x＋y－2＝0. 當(dāng)θ＝0時，ρ＝2，所以M(2,0)． 當(dāng)θ＝時，ρ＝，所以N. (2)M點的直角坐標(biāo)

12、為(2,0)． N點的直角坐標(biāo)為. 所以P點的直角坐標(biāo)為， 則P點的極坐標(biāo)為. 所以直線OP的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)． 極坐標(biāo)方程的應(yīng)用 [典例]　已知曲線C1：x＋y＝和C2：(φ為參數(shù))．以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，且兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位． (1)把曲線C1和C2的方程化為極坐標(biāo)方程； (2)設(shè)C1與x，y軸交于M，N兩點，且線段MN的中點為P.若射線OP與C1，C2交于P，Q兩點，求P，Q兩點間的距離． [解]　(1)C1：ρsin＝，C2：ρ2＝. (2)∵M(，0)，N(0,1)， ∴P， ∴OP的極坐標(biāo)方程為θ＝， 把θ

13、＝代入ρsin＝得ρ1＝1，P. 把θ＝代入ρ2＝得ρ2＝2，Q. ∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q兩點間的距離為1. [方法技巧] 曲線的極坐標(biāo)方程的求解策略 在已知極坐標(biāo)方程求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時，如果不能直接用極坐標(biāo)解決，或用極坐標(biāo)解決較麻煩，可將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程解決．　　 [即時演練] 在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的普通方程為(x－1)2＋y2＝1.以O(shè)為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求圓C的極坐標(biāo)方程； (2)直線l的極坐標(biāo)方程是ρ(sin θ＋cos θ)＝3，射線OM：θ＝與圓C的交點為O，P，與直線l的交點為Q

14、，求線段PQ的長． 解：(1)因為圓C的普通方程為(x－1)2＋y2＝1， 又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 所以圓C的極坐標(biāo)方程是ρ＝2cos θ. (2)設(shè)(ρ1，θ1)為點P的極坐標(biāo)， 則有解得 設(shè)(ρ2，θ2)為點Q的極坐標(biāo)， 則有解得 由于θ1＝θ2，所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝2，即線段PQ的長為2. 1．(2017·全國卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝4. (1)M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|＝16，求點P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；

15、(2)設(shè)點A的極坐標(biāo)為，點B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值． 解：(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(ρ，θ)(ρ＞0)，M的極坐標(biāo)為(ρ1，θ)(ρ1＞0)． 由題設(shè)知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝. 由|OM|·|OP|＝16，得C2的極坐標(biāo)方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠0)． (2)設(shè)點B的極坐標(biāo)為(ρB，α)(ρB＞0)， 由題設(shè)知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面積 S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α· ＝2≤2＋. 當(dāng)α＝－時，S取得最大值2＋. 所以△OAB面積的最大值為2＋. 2

16、．(2015·全國卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程； (2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)，設(shè)C2與C3的交點為M，N，求△C2MN的面積． 解：(1)因為x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 所以C1的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝－2， C2的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)將θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝. 故ρ1－ρ2＝，即|M

17、N|＝. 由于C2的半徑為1，所以△C2MN的面積為. 3．(2016·北京高考改編)在極坐標(biāo)系中，直線ρcos θ－ρsin θ－1＝0與圓ρ＝2cos θ交于A，B兩點，求|AB|. 解：∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， ∴直線的直角坐標(biāo)方程為x－y－1＝0. ∵ρ＝2cos θ， ∴ρ2(sin2θ＋cos2θ)＝2ρcos θ， ∴x2＋y2＝2x. ∴圓的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋y2＝1. ∵圓心(1,0)在直線x－y－1＝0上， ∴AB為圓的直徑，∴|AB|＝2. 4．(2015·安徽高考改編)在極坐標(biāo)系中，求圓ρ＝8sin θ上的點到直線θ＝(ρ∈

18、R)距離的最大值． 解：圓ρ＝8sin θ即ρ2＝8ρsin θ， 化為直角坐標(biāo)方程為x2＋(y－4)2＝16， 直線 θ＝即tan θ＝， 化為直角坐標(biāo)方程為x－y＝0， 圓心(0,4)到直線的距離為＝2， 所以圓上的點到直線距離的最大值為2＋4＝6. 5．(2015·北京高考改編)在極坐標(biāo)系中，求點到直線ρ(cos θ＋sin θ)＝6的距離． 解：點的直角坐標(biāo)為， 直線ρ(cos θ＋sin θ)＝6的直角坐標(biāo)方程為x＋y－6＝0. 所以點(1，)到直線的距離d＝＝＝1. 1．在極坐標(biāo)系中，直線ρ(sin θ－cos θ)＝a與曲線ρ＝2cos θ－4sin θ

19、相交于A，B兩點，若|AB|＝2，求實數(shù)a的值． 解：直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為x－y＋a＝0， 曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝5， 所以圓心C的坐標(biāo)為(1，－2)，半徑r＝， 所以圓心C到直線的距離為 ＝ ＝， 解得a＝－5或a＝－1. 故實數(shù)a的值為－5或－1. 2．在極坐標(biāo)系中，求直線ρcos＝1與圓ρ＝4sin θ的交點的極坐標(biāo)． 解：ρcos＝1化為直角坐標(biāo)方程為x－y＝2， 即y＝x－2. ρ＝4sin θ可化為x2＋y2＝4y， 把y＝x－2代入x2＋y2＝4y， 得4x2－8x＋12＝0， 即x2－2x＋3＝0

20、， 所以x＝，y＝1. 所以直線與圓的交點坐標(biāo)為(，1)， 化為極坐標(biāo)為. 3．(2018·長春模擬)已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2. (1)把圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； (2)求經(jīng)過兩圓交點的直線的極坐標(biāo)方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4； 因為ρ2－2ρcos＝2， 所以ρ2－2ρ＝2， 所以x2＋y2－2x－2y－2＝0. (2)將兩圓的直角坐標(biāo)方程相減，得經(jīng)過兩圓交點的直線方程為x＋y＝1. 化為極坐標(biāo)方程為ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin＝. 4．已知曲線C的參數(shù)方程為(

21、α為參數(shù))，以原點O為極點，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求曲線C的極坐標(biāo)方程； (2)設(shè)l1：θ＝，l2：θ＝，若l1，l2與曲線C相交于異于原點的兩點 A，B ，求△AOB的面積． 解：(1)∵曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))， ∴曲線C的普通方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5， 將代入并化簡得ρ＝4cos θ＋2sin θ， 即曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ＋2sin θ. (2)在極坐標(biāo)系中，C：ρ＝4cos θ＋2sin θ， ∴由得|OA|＝2＋1， 同理：|OB|＝2＋. 又∵∠AOB＝， ∴S△AOB＝|OA|·|OB|sin∠AOB＝，

22、 即△AOB的面積為. 5．在坐標(biāo)系中，曲線C：ρ＝2acos θ(a>0)，直線l：ρcosθ－＝，C與l有且只有一個公共點． (1)求a的值； (2)若原點O為極點，A，B為曲線C上兩點，且∠AOB＝，求|OA|＋|OB|的最大值． 解：(1)由已知在直角坐標(biāo)系中， C：x2＋y2－2ax＝0?(x－a)2＋y2＝a2(a>0)； l：x＋y－3＝0. 因為C與l只有一個公共點，所以l與C相切， 即＝a，則a＝1. (2)設(shè)A(ρ1，θ)，則B， ∴|OA|＋|OB|＝ρ1＋ρ2＝2cos θ＋2cos＝3cos θ－sin θ＝2cos. 所以，當(dāng)θ＝－時，(|OA

23、|＋|OB|)max＝2. 6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x＋y－4＝0，曲線C2：x2＋(y－1)2＝1，以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程； (2)若曲線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝α，且曲線C3分別交C1，C2于點A，B，求的最大值． 解：(1)∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， ∴C1：ρcos θ＋ρsin θ－4＝0，C2：ρ＝2sin θ. (2)曲線C3為θ＝α， 設(shè)A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，ρ1＝，ρ2＝2sin α， 則＝＝×2sin α(cos α＋sin α) ＝2sin2α－＋1， ∴當(dāng)α＝

24、時，max＝. 7．平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為＋y2＝1，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sin，射線OM的極坐標(biāo)方程為θ＝α0(ρ≥0)． (1)寫出曲線C1的極坐標(biāo)方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程； (2)若射線OM平分曲線C2，且與曲線C1交于點A，曲線C1上的點滿足∠AOB＝，求|AB|. 解：(1)曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ2＝， 曲線C2的直角坐標(biāo)方程為(x－)2＋(y－1)2＝4. (2)曲線C2是圓心為(，1)，半徑為2的圓， ∴射線OM的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ≥0)， 代入ρ2＝，可得ρ＝2. 又∠AOB＝

25、，∴ρ＝， ∴|AB|＝＝＝. 8．已知在一個極坐標(biāo)系中點C的極坐標(biāo)為. (1)求出以C為圓心，半徑長為2的圓的極坐標(biāo)方程(寫出解題過程)并畫出圖形； (2)在直角坐標(biāo)系中，以圓C所在極坐標(biāo)系的極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，點P是圓C上任意一點，Q(5，－)，M是線段PQ的中點，當(dāng)點P在圓C上運動時，求點M的軌跡的普通方程． 解：(1)作出圖形如圖所示，設(shè)圓C上任意一點A(ρ，θ)，則∠AOC＝θ－或－θ. 由余弦定理得， 4＋ρ2－4ρcosθ－＝4， ∴圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos. (2)在直角坐標(biāo)系中，點C的坐標(biāo)為(1，)，可設(shè)圓C上任意一點P(1＋

26、2cos α，＋2sin α)， 設(shè)M(x，y)，由Q(5，－)，M是線段PQ的中點， 得點M的軌跡的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，即(α為參數(shù))， ∴點M的軌跡的普通方程為(x－3)2＋y2＝1. 第2課參數(shù)方程 [過雙基] 1．參數(shù)方程的概念 一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線C上任意一點P的坐標(biāo)x，y是某個變數(shù)t的函數(shù)：并且對于t的每一個允許值，由函數(shù)式所確定的點P(x，y)都在曲線C上，那么方程叫做這條曲線的參數(shù)方程，變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)．相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程． 2．直線、圓、橢圓的參數(shù)方程 (1)過點M(x0，y0)，傾

27、斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (2)圓心在點M0(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (3)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))． 　 1．參數(shù)方程(t為參數(shù))與極坐標(biāo)方程ρ＝sin θ所表示的圖形分別是________． 解析：將參數(shù)方程消去參數(shù)t，得2x－y－5＝0，對應(yīng)圖形為直線． 由ρ＝sin θ，得ρ2＝ρsin θ，即x2＋y2＝y(tǒng)， 即x2＋2＝，對應(yīng)圖形為圓． 答案：直線、圓 2．曲線(θ為參數(shù))與直線y＝x＋2的交點坐標(biāo)為________． 解析：曲線的直角坐標(biāo)方程為y＝x2.將其與直線方程聯(lián)立得∴x2－x－2＝

28、0，∴x＝－1或x＝2.由x＝sin θ知，x＝2不合題意．∴x＝－1，y＝1，∴交點坐標(biāo)為(－1,1)． 答案：(－1,1) 3．設(shè)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的方程為x－3y＋2＝0，則曲線C上到直線l距離為的點的個數(shù)為________． 解析：∵曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))， ∴(x－2)2＋(y＋1)2＝9， ∴圓心(2，－1)到直線l的距離 d＝＝＝. 又∵<3，>3，∴有2個點． 答案：2 4．參數(shù)方程(t為參數(shù))化為普通方程為________． 解析：∵x＝， y＝＝＝4－3×＝4－3x. 又x＝＝＝2－∈[0,2)， ∴x∈[0,2)，

29、∴所求的普通方程為3x＋y－4＝0(x∈[0,2))． 答案：3x＋y－4＝0(x∈[0,2)) [清易錯] 1．在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致，否則不等價． 2．直線的參數(shù)方程中，參數(shù)t的系數(shù)的平方和為1時，t才有幾何意義且其幾何意義為：|t|是直線上任一點M(x，y)到M0(x0，y0)的距離，即|M0M|＝|t|. 1．直線y＝x－1上的點到曲線上的點的最近距離是________． 解析：由得 ∴(x＋2)2＋(y－1)2＝1，∴圓心坐標(biāo)為(－2,1)， 故圓心到直線x－y－1＝0的距離d＝＝2， ∴直線上的點到圓上的點的最近距離是d－r＝

30、2－1. 答案：2－1 2．直線(t為參數(shù))與圓(θ為參數(shù))相切，則切線的傾斜角為________． 解析：直線的普通方程為bx－ay－4b＝0，圓的普通方程為(x－2)2＋y2＝3，因為直線與圓相切，則圓心(2,0)到直線的距離為，從而有 ＝，即3a2＋3b2＝4b2，所以b＝±a，而直線的傾斜角α的正切值tan α＝，所以tan α＝±，因此切線的傾斜角或. 答案：或 參數(shù)方程與普通方程的互化 [典例]　已知橢圓C：＋＝1，直線l：(t為參數(shù))． (1)寫出橢圓C的參數(shù)方程及直線l的普通方程； (2)設(shè)A(1,0)，若橢圓C上的點P滿足到點A的距離與其到直線l的距離

31、相等，求點P的坐標(biāo)． [解]　(1)橢圓C：(θ為參數(shù))，直線l：x－y＋9＝0. (2)設(shè)P(2cos θ，sin θ)， 則|AP|＝ ＝2－cos θ， 點P到直線l的距離 d＝＝. 由|AP|＝d，得3sin θ－4cos θ＝5， 又sin2θ＋cos2θ＝1，得sin θ＝，cos θ＝－. 故P. [方法技巧] 將參數(shù)方程化為普通方程的方法 (1)將參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒ǎＲ姷南麉⒎椒ㄓ校捍胂麉⒎?、加減消參法、平方消參法等，對于含三角函數(shù)的參數(shù)方程，常利用同角三角函數(shù)關(guān)系式消參，如sin2θ＋cos2θ＝1等

32、． (2)將參數(shù)方程化為普通方程時，要注意兩種方程的等價性，不要增解．　　 [即時演練] 將下列參數(shù)方程化為普通方程． (1)(k為參數(shù))； (2)(θ為參數(shù))． 解：(1)兩式相除，得k＝， 將其代入x＝，得x＝， 化簡得所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0(y≠6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)， 得y2＝2－x.又x＝1－sin 2θ∈[0,2]， 故所求的普通方程為y2＝2－x，x∈[0,2]． 參數(shù)方程 [典例]　在平面直角坐標(biāo)系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系取相同的單

33、位長度．已知曲線C：ρsin2θ＝2acos θ(a>0)，過點P(－2，－4)的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與曲線C分別交于M，N，若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求實數(shù)a的值． [解]　曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2＝2ax(a>0)， 將直線l的參數(shù)方程化為(t′為參數(shù))， 代入曲線C的方程得： t′2－(4＋a)t′＋16＋4a＝0， 則Δ>0，即a>0或a<－4. 設(shè)交點M，N對應(yīng)的參數(shù)分別為t1′，t2′， 則t1′＋t2′＝2(4＋a)，t1′t2′＝2(16＋4a)， 若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列， 則|t1′－t2′|2＝|t1′

34、t2′|， 解得a＝1或a＝－4(舍去)， 所以滿足條件的a＝1. [方法技巧] (1)解決直線與圓的參數(shù)方程的應(yīng)用問題時，一般是先化為普通方程，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系來解決問題． (2)對于形如(t為參數(shù))． 當(dāng)a2＋b2≠1時，應(yīng)先化為標(biāo)準(zhǔn)形式后才能利用t的幾何意義解題．　　 [即時演練] 已知直線l：x＋y－1＝0與拋物線y＝x2相交于A，B兩點，求線段AB的長度和點M(－1,2)到A，B兩點的距離之積． 解：因為直線l過定點M，且l的傾斜角為， 所以它的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， 即(t為參數(shù))， 把它代入拋物線的方程，得t2＋t－2＝0， 由根與系數(shù)的關(guān)系得

35、t1＋t2＝－，t1·t2＝－2， 由參數(shù)t的幾何意義可知|AB|＝|t1－t2|＝， |MA|·|MB|＝|t1t2|＝2. 極坐標(biāo)、參數(shù)方程的綜合應(yīng)用 [典例]　(2017·全國卷Ⅲ)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù))．設(shè)l1與l2的交點為P，當(dāng)k變化時，P的軌跡為曲線C. (1)寫出C的普通方程； (2)以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M為l3與C的交點，求M的極徑． [解]　(1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)； 消去參數(shù)m得l2的普通

36、方程l2：y＝(x＋2)． 設(shè)P(x，y)，由題設(shè)得 消去k得x2－y2＝4(y≠0)． 所以C的普通方程為x2－y2＝4(y≠0)． (2)C的極坐標(biāo)方程為ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)． 聯(lián)立 得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)． 故tan θ＝－，從而cos2θ＝，sin2θ＝. 代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5， 所以交點M的極徑為. [方法技巧] 處理極坐標(biāo)、參數(shù)方程綜合問題的方法 (1)涉及參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解．當(dāng)然，還要結(jié)合題目本身

37、特點，確定選擇何種方程． (2)數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，即充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，或者利用ρ和θ的幾何意義，直接求解，能達(dá)到化繁為簡的解題目的．　　 [即時演練] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ＝，直線的參數(shù)方程是(α為參數(shù)，0≤α<π)． (1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)直線與曲線C交于兩點A，B，且線段AB的中點為M(2，2)，求α. 解：(1)曲線C：ρ＝，即ρsin2θ＝4cos θ，于是有ρ2sin2θ＝4ρcos θ，化為直角坐標(biāo)方程為y2＝4x. (2)法一： 把x＝2＋tcos

38、α，y＝2＋tsin α代入y2＝4x， 得(2＋tsin α)2＝4(2＋tcos α)， 即t2sin2α＋(4sin α－4cos α)t－4＝0. 由AB的中點為M(2,2)得t1＋t2＝0，有4sin α－4cos α＝0，所以k＝tan α＝1. 由0≤α<π，得α＝. 法二：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則?(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)． ∵y1＋y2＝4，∴k1＝tan α＝＝1， 由0≤α<π，得α＝. 1．(2017·全國卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (1)若

39、a＝－1，求C與l的交點坐標(biāo)； (2)若C上的點到l距離的最大值為，求a. 解：(1)曲線C的普通方程為＋y2＝1. 當(dāng)a＝－1時，直線l的普通方程為x＋4y－3＝0， 由解得或 從而C與l的交點坐標(biāo)為(3,0)，. (2)直線l的普通方程為x＋4y－a－4＝0， 故C上的點(3cos θ，sin θ)到l的距離為 d＝. 當(dāng)a≥－4時，d的最大值為 . 由題設(shè)得＝，解得a＝8； 當(dāng)a＜－4時，d的最大值為. 由題設(shè)得＝，解得a＝－16. 綜上，a＝8或a＝－16. 2．(2016·全國卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐

40、標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程； (2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，l與C交于A，B兩點，|AB|＝，求l的斜率． 解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圓C的極坐標(biāo)方程為 ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)法一：在(1)中建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝α(ρ∈R)． 設(shè)A，B所對應(yīng)的極徑分別為ρ1，ρ2， 將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得 ρ2＋12ρcos α＋11＝0， 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB|＝|ρ1－ρ2|＝ ＝. 由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±

41、. 所以直線l的斜率為或－. 法二：由直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))，消去參數(shù)得y＝x·tan α. 設(shè)直線l的斜率為k， 則直線l的方程為kx－y＝0. 由圓C的方程(x＋6)2＋y2＝25知， 圓心坐標(biāo)為(－6,0)，半徑為5. 又|AB|＝，由垂徑定理及點到直線的距離公式得 ＝ ，即＝， 整理得k2＝，解得k＝±， 即直線l的斜率為±. 3．(2015·全國卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：(t為參數(shù)，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ. (1)求C2與C3交點的直角坐標(biāo)；

42、(2)若C1與C2相交于點A，C1與C3相交于點B，求|AB|的最大值． 解：(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2y＝0， 曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0. 聯(lián)立 解得或 所以C2與C3交點的直角坐標(biāo)為(0,0)和. (2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)， 其中0≤α＜π. 因此A的極坐標(biāo)為(2sin α，α)，B的極坐標(biāo)為(2cos α，α)． 所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4. 當(dāng)α＝時，|AB|取得最大值，最大值為4. 4．(2014·全國卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系

43、，半圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ，θ∈. (1)求C的參數(shù)方程； (2)設(shè)點D在C上，C在D處的切線與直線l：y＝x＋2垂直，根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標(biāo)． 解：(1)C的普通方程為(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)． 可得C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0≤t≤π)． (2)設(shè)D(1＋cos t，sin t)． 由(1)知C是以G(1,0)為圓心，1為半徑的上半圓． 因為G在點D處的切線與l垂直， 所以直線GD與l的斜率相同，tan t＝，t＝. 故D的直角坐標(biāo)為，即. 1．(2017·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參

44、數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為(s為參數(shù))．設(shè)P為曲線C上的動點，求點P到直線l的距離的最小值． 解：直線l的普通方程為x－2y＋8＝0. 因為點P在曲線C上，設(shè)P(2s2,2s)， 從而點P到直線l的距離 d＝＝. 當(dāng)s＝時，dmin＝. 因此當(dāng)點P的坐標(biāo)為(4,4)時，曲線C上點P到直線l的距離取到最小值. 2．已知曲線C1：(t為參數(shù))，曲線C2：(θ為參數(shù))． (1)化C1，C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線； (2)若C1上的點P對應(yīng)的參數(shù)為t＝，Q為C2上的動點，求PQ中點M到直線C3：(t為參數(shù))的距離的最小值． 解：(1)曲線C1：(x＋4)2＋(y

45、－3)2＝1，曲線C2：＋＝1， 曲線C1是以(－4,3)為圓心，1為半徑的圓； 曲線C2是以坐標(biāo)原點為中心，焦點在x軸上，長半軸長是8，短半軸長是3的橢圓． (2)當(dāng)t＝時，P(－4,4)，Q(8cos θ，3sin θ)， 故M－2＋4cos θ，2＋sin θ. 曲線C3為直線x－2y－7＝0， M到C3的距離d＝|4cos θ－3sin θ－13|，從而當(dāng)cos θ＝，sin θ＝－時，d取最小值. 3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，在以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，C2的極坐標(biāo)方程ρ2－2ρcos θ－3＝0. (1)說明C2

46、是哪種曲線，并將C2的方程化為普通方程； (2)C1與C2有兩個公共點A，B，點P的極坐標(biāo)，求線段AB的長及定點P到A，B兩點的距離之積． 解：(1)C2是圓，C2的極坐標(biāo)方程ρ2－2ρcos θ－3＝0， 化為普通方程為x2＋y2－2x－3＝0，即(x－1)2＋y2＝4. (2)點P的直角坐標(biāo)為(1,1)，且在直線C1上， 將C1的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入x2＋y2－2x－3＝0，得2＋2－2－3＝0，化簡得t2＋t－3＝0. 設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2， 則t1＋t2＝－，t1·t2＝－3， 所以|AB|＝|t1－t2|＝ ＝＝， 定點P到A，B兩點的距離之積|

47、PA|·|PB|＝|t1t2|＝3. 4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，定點P(1,1)． (1)以原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸，單位長度與平面直角坐標(biāo)系下的單位長度相同建立極坐標(biāo)系，求圓C的極坐標(biāo)方程； (2)已知直線l與圓C相交于A，B兩點，求||PA|－|PB||的值． 解：(1)依題意得圓C的一般方程為(x－1)2＋y2＝4， 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入上式得ρ2－2ρcos θ－3＝0， 所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρcos θ－3＝0. (2)因為定點P(1,1)在直線l上，所以直線l

48、的參數(shù)方程可表示為(t為參數(shù))． 代入(x－1)2＋y2＝4，得t2－t－3＝0. 設(shè)點A，B分別對應(yīng)的參數(shù)為t1，t2， 則t1＋t2＝，t1t2＝－3. 所以t1，t2異號，不妨設(shè)t1>0，t2<0， 所以|PA|＝t1，|PB|＝－t2， 所以||PA|－|PB||＝|t1＋t2|＝. 5．已知直線l：(t為參數(shù))，曲線C1：(θ為參數(shù))． (1)設(shè)l與C1相交于A，B兩點，求|AB|； (2)若把曲線C1上各點的橫坐標(biāo)壓縮為原來的倍，縱坐標(biāo)壓縮為原來的倍，得到曲線C2，設(shè)點P是曲線C2上的一個動點，求它到直線l距離的最小值． 解：(1)由已知得l的普通方程為y＝(x

49、－1)，C1的普通方程為x2＋y2＝1， 聯(lián)立方程解得l與C1的交點為A(1,0)，B，則|AB|＝1. (2)由題意，得C2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))， 故點P的坐標(biāo)為， 從而點P到直線l的距離是 d＝＝sin＋2， 當(dāng)sin＝－1時，d取得最小值，且最小值為. 6．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝. (1)直接寫出直線l的普通方程、曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)曲線C上的點到直線l的距離為d，求d的取值范圍． 解：(1)直線l的普通方程為x－y＋3＝0， 曲線C的直角坐標(biāo)方

50、程為3x2＋y2＝3. (2)∵曲線C的直角坐標(biāo)方程為3x2＋y2＝3， 即x2＋＝1， ∴曲線C上的點的坐標(biāo)可表示為(cos α，sin α)， ∴d＝ ＝＝. ∴d的最小值為＝，d的最大值為＝. ∴≤d≤，即d的取值范圍為. 7．平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：(x－1)2＋y2＝1.直線l經(jīng)過點P(m,0)，且傾斜角為，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系． (1)寫出曲線C的極坐標(biāo)方程與直線l的參數(shù)方程； (2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點，且|PA|·|PB|＝1，求實數(shù)m的值． 解：(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為：(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2＝

51、2x，即ρ2＝2ρcos θ， 所以曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ. 直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (2)設(shè)A，B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，將直線l的參數(shù)方程代入x2＋y2＝2x中， 得t2＋(m－)t＋m2－2m＝0， 所以t1t2＝m2－2m， 由題意得|m2－2m|＝1， 解得m＝1或m＝1＋或m＝1－. 8．已知直線的參數(shù)方程是(t是參數(shù))，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos. (1)求圓心C的直角坐標(biāo)； (2)由直線l上的點向圓C引切線，求切線長的最小值． 解：(1)∵ρ＝4cos＝2cos θ－2sin θ， ∴ρ2＝2ρcos θ－2ρsin θ， ∴圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＋2y＝0， 即(x－)2＋(y＋)2＝4， ∴圓心的直角坐標(biāo)為(，－)． (2)直線l上的點向圓C引切線，則切線長為 ＝＝≥4， ∴直線l上的點向圓C引的切線長的最小值為4.