江蘇省2022高考數(shù)學二輪復習 專題二 立體幾何 2.2 大題考法—平行與垂直講義（含解析）

江蘇省2022高考數(shù)學二輪復習 專題二 立體幾何 2.2 大題考法平行與垂直講義（含解析）題型(一)線線、線面位置關系的證明平行、垂直關系的證明是高考的必考內(nèi)容，主要考查線面平行、垂直的判定定理及性質(zhì)定理的應用，以及平行與垂直關系的轉化等.證明(1)在平面ABD內(nèi)，因為ABAD，EFAD，所以EFAB.又因為EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.(2)因為平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD.因為AD平面ABD，所以BCAD.又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC.又因為AC平面ABC，所以ADAC.方法技巧立體幾何證明問題的2個注意點(1)證明立體幾何問題的主要方法是定理法，解題時必須按照定理成立的條件進行推理如線面平行的判定定理中要求其中一條直線在平面內(nèi)，另一條直線必須說明它在平面外；線面垂直的判定定理中要求平面內(nèi)的兩條直線必須是相交直線等，如果定理的條件不完整，則結論不一定正確(2)證明立體幾何問題，要緊密結合圖形，有時要利用平面幾何的相關知識，因此需要多畫出一些圖形輔助使用演練沖關1.(2018·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)如圖，在四棱錐P­ABCD中，ADB90°，CBCD，點E為棱PB的中點(1)若PBPD，求證：PCBD；(2)求證：CE平面PAD.證明：(1)取BD的中點O，連結CO，PO，因為CDCB，所以BDCO.因為PBPD，所以BDPO.又POCOO，所以BD平面PCO.因為PC平面PCO，所以PCBD.(2)由E為PB中點，連結EO，則EOPD，又EO平面PAD，PD平面PAD，所以EO平面PAD.由ADB90°，以及BDCO，所以COAD，又CO平面PAD，所以CO平面PAD.又COEOO，所以平面CEO平面PAD，而CE平面CEO，所以CE平面PAD.2(2018·蘇州模擬)在如圖所示的空間幾何體ABCDPE中，底面ABCD是邊長為4的正方形，PA平面ABCD，PAEB，且PAAD4，EB2.(1)若點Q是PD的中點，求證：AQ平面PCD；(2)證明：BD平面PEC.證明：(1)因為PAAD，Q是PD的中點，所以AQPD.又PA平面ABCD，所以CDPA.又CDDA，PADAA，所以CD平面ADP.又因為AQ平面ADP，所以CDAQ，又PDCDD，所以AQ平面PCD.(2)如圖，取PC的中點M，連結AC交BD于點N，連結MN，ME，在PAC中，易知MNPA，MNPA，又PAEB，EBPA，所以MNEB，MNEB，所以四邊形BEMN是平行四邊形，所以EMBN.又EM平面PEC，BN平面PEC，所以BN平面PEC，即BD平面PEC.題型(二)兩平面之間位置關系的證明考查面面平行和面面垂直，都需要用判定定理，其本質(zhì)是考查線面垂直和平行. 典例感悟例2(2018·南京模擬)如圖，直線PA垂直于圓O所在的平面，ABC內(nèi)接于圓O，且AB為圓O的直徑，M為線段PB的中點，N為線段BC的中點求證：(1)平面MON平面PAC；(2)平面PBC平面MON.證明(1)因為M，O，N分別是PB，AB，BC的中點，所以MOPA，NOAC，又MONOO，PAACA，所以平面MON平面PAC.(2)因為PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC.由(1)知，MOPA，所以MOBC.連結OC，則OCOB，因為N為BC的中點，所以ONBC.又MOONO，MO平面MON，ON平面MON，所以BC平面MON.又BC平面PBC，所以平面PBC平面MON.方法技巧證明兩平面位置關系的求解思路(1)證明面面平行依據(jù)判定定理，只要找到一個面內(nèi)兩條相交直線與另一個平面平行即可，從而將證明面面平行轉化為證明線面平行，再轉化為證明線線平行(2)證明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即證明一個面過另一個面的一條垂線，將證明面面垂直轉化為證明線面垂直，一般先從現(xiàn)有直線中尋找，若圖中不存在這樣的直線，則借助中線、高線或添加輔助線解決. 演練沖關(2018·江蘇高考)在平行六面體ABCD­A1B1C1D1中，AA1AB，AB1B1C1.求證：(1)AB平面A1B1C；(2)平面ABB1A1平面A1BC.證明：(1)在平行六面體ABCD­A1B1C1D1中，ABA1B1.因為AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB平面A1B1C.(2)在平行六面體ABCD­A1B1C1D1中，四邊形ABB1A1為平行四邊形又因為AA1AB，所以四邊形ABB1A1為菱形，因此AB1A1B.因為AB1B1C1，BCB1C1，所以AB1BC.因為A1BBCB，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1平面A1BC.因為AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1平面A1BC.題型(三)空間位置關系的綜合問題主要考查空間線面、面面平行或垂直的位置關系的證明與翻折或存在性問題相結合的綜合問題.典例感悟例3如圖1，在矩形ABCD中，AB4，AD2，E是CD的中點，將ADE沿AE折起，得到如圖2所示的四棱錐D1­ABCE，其中平面D1AE平面ABCE.(1)證明：BE平面D1AE；(2)設F為CD1的中點，在線段AB上是否存在一點M，使得MF平面D1AE，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由解(1)證明：四邊形ABCD為矩形且ADDEECBC2，AEBE2.又AB4，AE2BE2AB2，AEB90°，即BEAE.又平面D1AE平面ABCE，平面D1AE平面ABCEAE，BE平面ABCE，BE平面D1AE.(2)，理由如下：取D1E的中點L，連接FL，AL，F(xiàn)LEC，F(xiàn)LEC1.又ECAB，F(xiàn)LAB，且FLAB，M，F(xiàn)，L，A四點共面若MF平面AD1E，則MFAL.四邊形AMFL為平行四邊形，AMFLAB，即.方法技巧與平行、垂直有關的存在性問題的解題步驟演練沖關(2018·全國卷)如圖，在平行四邊形ABCM中，ABAC3，ACM90°.以AC為折痕將ACM折起，使點M到達點D的位置，且ABDA.(1)證明：平面ACD平面ABC；(2)Q為線段AD上一點，P為線段BC上一點，且BPDQDA，求三棱錐Q­ABP的體積解：(1)證明：由已知可得，BAC90°，即BAAC.又因為BAAD，ACADA，所以AB平面ACD.因為AB平面ABC，所以平面ACD平面ABC.(2)由已知可得，DCCMAB3，DA3.又BPDQDA，所以BP2.如圖，過點Q作QEAC，垂足為E，則QE綊DC.由已知及(1)可得，DC平面ABC，所以QE平面ABC，QE1.因此，三棱錐Q­ABP的體積為VQ­ABP×SABP×QE××3×2sin 45°×11.課時達標訓練A組大題保分練1.如圖，在三棱錐V­ABC中，O，M分別為AB，VA的中點，平面VAB平面ABC，VAB是邊長為2的等邊三角形，ACBC且ACBC.(1)求證：VB平面MOC；(2)求線段VC的長解：(1)證明：因為點O，M分別為AB，VA的中點，所以MOVB.又MO平面MOC，VB平面MOC，所以VB平面MOC.(2)因為ACBC，O為AB的中點，ACBC，AB2，所以OCAB，且CO1.連結VO，因為VAB是邊長為2的等邊三角形，所以VO.又平面VAB平面ABC，OCAB，平面VAB平面ABCAB，OC平面ABC，所以OC平面VAB，所以OCVO，所以VC2.2(2018·南通二調(diào))如圖，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，ACBC，A1B與AB1交于點D，A1C與AC1交于點E. 求證：(1)DE平面B1BCC1；(2)平面A1BC平面A1ACC1.證明：(1)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，四邊形A1ACC1為平行四邊形又E為A1C與AC1的交點， 所以E為A1C的中點. 同理，D為A1B的中點，所以DEBC. 又BC平面B1BCC1，DE平面B1BCC1，所以DE平面B1BCC1. (2)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1平面ABC，又BC平面ABC，所以AA1BC.又ACBC，ACAA1A，AC平面A1ACC1，AA1平面A1ACC1，所以BC平面A1ACC1.因為BC平面A1BC，所以平面A1BC平面A1ACC1.3.如圖，在三棱錐A­BCD中，E，F(xiàn)分別為棱BC，CD上的點，且BD平面AEF.(1)求證：EF平面ABD；(2)若BDCD，AE平面BCD，求證：平面AEF平面ACD.證明：(1)因為BD平面AEF，BD平面BCD，平面AEF平面BCDEF，所以 BDEF.因為BD平面ABD，EF平面ABD，所以 EF平面ABD.(2)因為AE平面BCD，CD平面BCD，所以AECD.因為BDCD，BDEF，所以 CDEF，又AEEFE，AE平面AEF，EF平面AEF，所以CD平面AEF.又CD平面ACD，所以平面AEF平面ACD.4(2018·無錫期末)如圖，ABCD是菱形，DE平面ABCD，AFDE，DE2AF.求證：(1)AC平面BDE；(2)AC平面BEF.證明：(1)因為DE平面ABCD，AC平面ABCD，所以DEAC.因為四邊形ABCD是菱形，所以ACBD，因為DE平面BDE，BD平面BDE，且DEBDD，所以AC平面BDE.(2)設ACBDO，取BE中點G，連結FG，OG，易知OGDE且OGDE.因為AFDE，DE2AF，所以AFOG且AFOG，從而四邊形AFGO是平行四邊形，所以FGAO.因為FG平面BEF，AO平面BEF，所以AO平面BEF，即AC平面BEF.B組大題增分練1(2018·鹽城三模)在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，M，N分別是棱A1D1，D1C1的中點求證：(1)AC平面DMN；(2)平面DMN平面BB1D1D.證明：(1)連結A1C1，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，因為AA1綊BB1，BB1綊CC1，所以AA1綊CC1，所以A1ACC1為平行四邊形，所以A1C1AC.又M，N分別是棱A1D1，D1C1的中點，所以MNA1C1，所以ACMN.又AC平面DMN，MN平面DMN，所以AC平面DMN.(2)因為四棱柱ABCD­A1B1C1D1是直四棱柱，所以DD1平面A1B1C1D1，而MN平面A1B1C1D1，所以MNDD1.又因為棱柱的底面ABCD是菱形，所以底面A1B1C1D1也是菱形，所以A1C1B1D1，而MNA1C1，所以MNB1D1.又MNDD1，DD1平面BB1D1D，B1D1平面BB1D1D，且DD1B1D1D1，所以MN平面BB1D1D.而MN平面DMN，所以平面DMN平面BB1D1D.2.如圖，在四棱錐P­ABCD中，PA底面ABCD，ABCD，ABBC，ABBC1，DC2，點E在PB上(1)求證：平面AEC平面PAD；(2)當PD平面AEC時，求PEEB的值解：(1)證明：在平面ABCD中，過A作AFDC于F，則CFDFAF1，DACDAFFAC45°45°90°，即ACDA.又PA平面ABCD，AC平面ABCD，ACPA.PA平面PAD，AD平面PAD，且PAADA，AC平面PAD.又AC平面AEC，平面AEC平面PAD.(2)連結BD交AC于O，連結EO.PD平面AEC，PD平面PBD，平面PBD平面AECEO，PDEO，則PEEBDOOB.又DOCBOA，DOOBDCAB21，PEEB的值為2.3.(2018·南通、揚州、淮安、宿遷、泰州、徐州六市二調(diào))如圖，在三棱柱ABC­A1B1C1中，已知ABAC，點E，F(xiàn)分別在棱BB1，CC1上(均異于端點)，且ABEACF，AEBB1，AFCC1.求證：(1)平面AEF平面BB1C1C；(2)BC平面AEF.證明：(1)在三棱柱ABC­A1B1C1中，BB1CC1.因為AFCC1，所以AFBB1.又AEBB1，AEAFA，AE平面AEF，AF平面AEF，所以BB1平面AEF.又因為BB1平面BB1C1C，所以平面AEF平面BB1C1C.(2)因為AEBB1，AFCC1，ABEACF，ABAC，所以RtAEBRtAFC.所以BECF.又BECF，所以四邊形BEFC是平行四邊形從而BCEF.又BC平面AEF，EF平面AEF，所以BC平面AEF.4(2018·常州期末)如圖，四棱錐P­ABCD的底面ABCD是平行四邊形，PC平面ABCD，PBPD，點Q是棱PC上異于P，C的一點(1)求證：BDAC；(2)過點Q和AD的平面截四棱錐得到截面ADQF(點F在棱PB上)，求證：QFBC.證明：(1)因為PC平面ABCD，BD平面ABCD，所以BDPC.記AC，BD交于點O，連結OP.因為平行四邊形對角線互相平分，則O為BD的中點在PBD中，PBPD，所以BDOP.又PCOPP，PC平面PAC，OP平面PAC.所以BD平面PAC，又AC平面PAC，所以BDAC.(2)因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以ADBC.又AD平面PBC，BC平面PBC，所以AD平面PBC.又AD平面ADQF，平面ADQF平面PBCQF，所以ADQF，所以QFBC.