《2022高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測 新人教A版選修2-2》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測 新人教A版選修2-2（7頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測 新人教A版選修2-2
一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的)
1．(2017·全國卷Ⅱ)＝( D )
A．1＋2i B．1－2i
C．2＋i D．2－i
[解析] ＝＝＝2－i．
故選D．
2．已知i是虛數(shù)單位，則＝( D )
A．1－2i B．2－i
C．2＋i D．1＋2i
[解析] ＝＝＝1＋2i．
3．設(shè)復(fù)數(shù)z＝－1－i(i為虛數(shù)單位)，z的共軛復(fù)數(shù)是，則等于( C )
A．－1－2i B．－2＋i
2、
C．－1＋2i D．1＋2i
[解析] 由題意可得＝
＝＝－1＋2i，故選C．
4．復(fù)數(shù)z＝(m∈R，i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)不可能位于( A )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] z＝＝＝[(m－4)－2(m＋1)i]，其實(shí)部為(m－4)，虛部為－(m＋1)，
由得此時(shí)無解．故復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)不可能位于第一象限．
5．已知i是虛數(shù)單位，a、b∈R，則“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的( A )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
[解析] 本題考查充分條件
3、、必要條件及復(fù)數(shù)的運(yùn)算，當(dāng)a＝b＝1時(shí)，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i，反之，(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i，則a2－b2＝0,2ab＝1，解a＝1，b＝1或a＝－1，b＝－1，故a＝1，b＝1是(a＋bi)2＝2i的充分不必要條件，選A．
6．若復(fù)數(shù)z1＝3＋i，z2＝1－i，則z＝z1·z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)位于( D )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] ∵z1·z2＝(3＋i)(1－i)＝3－3i＋i－i2＝4－2i，
∴z＝z1·z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)位于第四象限．
7．已知關(guān)于x的方程x2＋(1－2i)x＋3m－i＝0
4、有實(shí)根，則實(shí)數(shù)m滿足( C )
A．m≤－ B．m≥－
C．m＝ D．m＝－
[解析] 設(shè)實(shí)根為x0，則x＋(1－2i)x0＋3m－i＝0，即(x＋x0＋3m)－(2x0＋1)i＝0，
∴解得
8．若z1，z2∈C，則z1＋z2是( B )
A．純虛數(shù) B．實(shí)數(shù)
C．虛數(shù) D．實(shí)數(shù)或虛數(shù)
[解析] 設(shè)z1＝x＋yi，z2＝a＋bi，x，y∈R，則z1＋1z2＝(x＋yi)(a－bi)＋(x－yi)(a＋bi)＝2(ax＋by)＋(ay－bx＋bx－ay)i＝2(ax＋by)∈R．
9．設(shè)有下面四個(gè)命題
p1：若復(fù)數(shù)z滿足∈R，則z∈R；
p2：若復(fù)數(shù)z滿足z2∈R
5、，則z∈R；
p3：若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1z2∈R，則z1＝2；
p4：若復(fù)數(shù)z∈R，則∈R．
其中的真命題為( B )
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
[解析] 設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．
對于p1，若∈R，即＝∈R，則b＝0?z＝a＋bi＝a∈R，所以p1為真命題．
對于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，則ab＝0．
當(dāng)a＝0，b≠0時(shí)，z＝a＋bi＝bi?R，所以p2為假命題．
對于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(
6、a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，則a1b2＋a2b1＝0．而z1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i?a1＝a2，b1＝－b2．因?yàn)閍1b2＋a2b1＝0?/ a1＝a2，b1＝－b2，所以p3為假命題．
對于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，則b＝0?＝a－bi＝a∈R，所以p4為真命題．
10．若θ∈，則復(fù)數(shù)(cosθ＋sinθ)＋(sinθ－cosθ)i在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在( B )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] θ∈時(shí)，
sinθ＋cosθ<0，sinθ－cosθ>0，
故對應(yīng)點(diǎn)(cosθ＋sin
7、θ，sinθ－cosθ)在第二象限．
11．(2018·成都高二檢測)若A，B為銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則復(fù)數(shù)z＝(cosB－sinA)＋i(sinB－cosA)對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)的( B )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] ∵A、B為銳角三角形的內(nèi)角，
∴－B，B>－A，
∴sinA>sin(－B)＝cosB，
sinB>sin(－A)＝cosA，
∴，
∴對應(yīng)點(diǎn)在第二象限，故選B．
12．(2018·南寧高二檢測)復(fù)數(shù)z滿足條件：|2z＋1|＝|z－i|，那么z對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是( A )
A．圓 B．橢圓
8、
C．雙曲線 D．拋物線
[解析] 設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，
∴|2z＋1|＝
|z－i|＝
∴＝
整理得：a2＋b2＋a＋b＝0．
故選A．
二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)
13．(2018·和平區(qū)三模)設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝，則|z|等于3．
[解析] z＝＝＝＝＋i，
∴則|z|＝＝3．
故答案為3．
14．(2016·北京理，9)設(shè)a∈R，若復(fù)數(shù)(1＋i)(a＋i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，則a＝－1．
[解析] (1＋i)(a＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i，由已知得a＋1＝0，解得a＝－1．
9、
15．已知復(fù)數(shù)z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ＋isinβ，則復(fù)數(shù)z1·z2的實(shí)部是cos(α＋β)．
[解析] z1·z2＝(cosα＋isinα)(cosβ＋isinβ)
cosαcosβ－sinαsinβ＋(cosαsinβ＋sinαcosβ)i
＝cos(α＋β)＋sin(α＋β)i
故z1·z2的實(shí)部為cos(α＋β)．
16．已知＋i是實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋1＝0的一個(gè)根，則a＝1，b＝－．
[解析] 把＋i代入方程得
a(＋i)2＋b(＋i)＋1＝0，
即(a＋b＋1)＋(＋b)i＝0．
∴即解得
三、解答題(本大題共6個(gè)大題，共70分，
10、解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17．(本題滿分10分)已知z＝1＋i，a，b∈R，若＝1－i，求a，b的值．
[解析] ∵z＝1＋i，∴z2＝2i，
∴＝＝＝a＋2－(a＋b)i＝1－i，
∴，∴
18．(本題滿分12分)已知m∈R，復(fù)數(shù)z＝＋(m2＋2m－3)i，當(dāng)m為何值時(shí)，(1)z∈R．(2)z對應(yīng)的點(diǎn)在直線x＋y＋3＝0上．
[解析] (1)當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí)，則有m2＋2m－3＝0且m－1≠0
得m＝－3，故當(dāng)m＝－3時(shí)，z∈R．
(2)當(dāng)z對應(yīng)的點(diǎn)在直線x＋y＋3＝0上時(shí)，則有＋(m2＋2m－3)＋3＝0，得＝0，
解得m＝0或m＝－1±．
所以當(dāng)m＝0或
11、m＝－1±時(shí)，z對應(yīng)的點(diǎn)在直線x＋y＋3＝0上．
19．(本題滿分12分)已知z＝，其中i為虛數(shù)單位，a>0，復(fù)數(shù)ω＝z(z＋i)的虛部減去它的實(shí)部所得的差等于，求復(fù)數(shù)ω的模．
[解析] ∵z＝，代入ω＝z(z＋i)，得
ω＝(＋i)＝
＝＝
＝＋i，
∴ω的實(shí)部為，虛部為，
由已知得－＝，
解得a2＝4，∴a＝±2．
又a>0，故a＝2．
|ω|＝|＋i|＝|＋i|
＝|＋3i|＝．
20．(本題滿分12分)已知復(fù)數(shù)z＝
，ω＝z＋ai(a∈R)，當(dāng)||≤時(shí)，求a的取值范圍．
[解析] ∵z＝＝＝1－i，
∴|z|＝．又＝≤，∴|ω|≤2．
而ω＝z＋ai＝(
12、1－i)＋ai＝1＋(a－1)i，(a∈R)，
則≤2?(a－1)2≤3，
∴－≤a－1≤，1－≤a≤1＋．即a的取值范圍為[1－，1＋]．
21．(本題滿分12分)(2016·天津高二檢測)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量，分別對應(yīng)復(fù)數(shù)z1，z2，且z1＝－(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，a∈R，若z1＋z2可以與任意實(shí)數(shù)比較大小，求·的值．
[解析] 依題意得z1＋z2為實(shí)數(shù)，
因?yàn)閦1＋z2＝＋＋[(a2－10)＋(2a－5)]i，
所以所以a＝3．
此時(shí)z1＝－i，z2＝－1＋i，
即＝(，－1)，＝(－1,1)．
所以·＝×(－1)＋(－1)×1＝－．
22．(
13、本題滿分14分)將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1、2、3、4、5、6)先后拋擲兩次，記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為a，第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為b．
(1)設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(i為虛數(shù)單位)，求事件“z－3i為實(shí)數(shù)”的概率；
(2)求點(diǎn)P(a，b)落在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)(含邊界)的概率．
[解析] (1)z＝a＋bi(i為虛數(shù)單位)，z－3i為實(shí)數(shù)，則a＋bi－3i＝a＋(b－3)i為實(shí)數(shù)，則b＝3．
依題意得b的可能取值為1、2、3、4、5、6，故b＝3的概率為．
即事件“z－3i為實(shí)數(shù)”的概率為．
(2)連續(xù)拋擲兩次骰子所得結(jié)果如下表：
1
2
3
4
5
14、6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
由上表知，連續(xù)拋擲兩次骰子共有36種不同的結(jié)果．
不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示(含邊界)．
由圖知，點(diǎn)P(a，b)落在四邊形ABCD內(nèi)的結(jié)果有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6)，共18種．
所以點(diǎn)P(a，b)落在四邊形ABCD內(nèi)(含邊界)的概率為P＝＝．
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