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1、中考數學總復習 第1部分 教材同步復習 第七章 圖形與變換 課時25 圖形的對稱、平移與旋轉權威預測
如圖，在矩形OABC中，已知A，C兩點的坐標分別為A(4,0)，C(0,2)，D為OA的中點．設點P是∠AOC平分線上的一個動點(不與點O重合)．
(1)試證明：無論點P運動到何處，PC總與PD相等；
(2)當點P運動到與點B的距離最小時，求點P的坐標；
(3)已知E(1，－1)，當點P運動到何處時，△PDE的周長最??？求出此時點P的坐標和△PDE的周長．
(1)證明：∵A(4,0)，C(0,2)，D為OA的中點，
∴D點坐標為(2,0)，∴OC＝OD．
又∵點P是∠AOC平
2、分線上的一個動點(不與點O重合)，∴∠COP＝∠DOP＝45°，
∴△POC≌△POD，∴PC＝PD，
即無論點P運動到何處，PC總與PD相等．
(2)解：過B作BP垂直∠AOC的平分線于P點，過P點作PN⊥x軸于點N，交BC于M點，OP交BC于H點，如答圖1.
∵OP平分∠AOC，∴∠COP＝∠NOP＝45°，
∴△PHM，△COH和△PON都是等腰直角三角形，∴△PHB是等腰直角三角形，∴PM垂直平分BH，
∴CH＝CO＝2，∴BH＝4－2＝2，∴PM＝BH＝1，∴ON＝PN＝1＋2＝3，∴P點坐標為(3,3)．
答圖1
答圖2
(3)解：連接CE交∠AOC的平分線于P點，連接PD，CD，ED，如答圖2.
∵OC＝OD，OP平分∠AOC，∴OP垂直平分CD，
∴PC＝PD，∴PD＋PE＝PC＋PE＝CE，
此時△PDE的周長最?。?
設直線CE的解析式為y＝kx＋b(k≠0)，
把C(0,2)，E(1，－1)分別代入，
得解得
∴直線CE的解析式為y＝－3x＋2，
而P點的橫縱坐標相等，設P(a，a)，把P點坐標代入y＝－3x＋2，得a＝－3a＋2，解得a＝，
∴P點坐標為(，)．
∵CE＝＝，DE＝＝，
∴此時△PDE的周長為＋.
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