2022年高中數(shù)學(xué) 課時(shí)作業(yè)8 數(shù)列的性質(zhì)和遞推公式 新人教版必修5

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 課時(shí)作業(yè)8 數(shù)列的性質(zhì)和遞推公式 新人教版必修5 1．?dāng)?shù)列1,3,6,10,15，…的遞推公式是(　　) A．a(chǎn)n＋1＝an＋n，n∈N* B．a(chǎn)n＝an－1＋n，n∈N*，n≥2 C．a(chǎn)n＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2 D．a(chǎn)n＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2 答案　B 解析　逐項(xiàng)驗(yàn)證可知B選項(xiàng)合適． 2．已知數(shù)列{an}滿足a1>0，且an＋1＝an，則數(shù)列{an}是(　　) A．遞增數(shù)列　　　　　　　　 B．遞減數(shù)列 C．常數(shù)列 D．?dāng)[動(dòng)數(shù)列 答案　B 解析　由a1>0，且an＋1＝an， 則an>0，又＝<1，∴an＋

2、1

3、的n≥2，都有a1·a2·a3…an＝n2，則a3＋a5等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 6．在數(shù)列{an}中，已知an＝(c∈R)，則對(duì)于任意正整數(shù)n有(　　) A．a(chǎn)nan＋1 D．a(chǎn)n與an＋1的大小關(guān)系和n有關(guān) 答案　B 解析　∵an＝＝＝1＋， ∴an－an＋1＝－＝. 當(dāng)c－1>0時(shí)，an>an＋1；當(dāng)c－1<0時(shí)，an

4、列{}是遞增數(shù)列； ④若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則數(shù)列{an·an＋1}也是遞增數(shù)列． A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析?、佗冖壅_．對(duì)于④，如an為－2，－1,0,1,2,3，…，即不合要求． 8．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝－2n2＋21n，則該數(shù)列中最大的項(xiàng)為第________項(xiàng)． 答案　5 解析　∵f(n)＝－2n2＋21n ＝－2(n－)2＋(n∈N*)， ∴n＝5或6時(shí)an最大． ∵a5＝55，a6＝54，∴最大項(xiàng)為第5項(xiàng)． 9．函數(shù)f(x)定義如下表，數(shù)列{xn}滿足x0＝5，且對(duì)任意的自然數(shù)均有xn＋1＝f(xn)，則x2 0

5、12＝________. x 1 2 3 4 5 f(x) 5 1 3 4 2 答案　1 解析　由題意可得x1，x2，x3，x4，x5，…的值分別為2,1,5,2,1，…，故數(shù)列{xn}為周期為3的周期數(shù)列．∴x2 012＝x3×670＋2＝x2＝1. 10．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝則它的前4項(xiàng)為________． 答案　，，， 11．?dāng)?shù)列{an}中a1＝1，a2＝3，a－an－1·an＋1＝(－1)n－1(n≥2)，那么a4＝________. 答案　33 解析　令n＝2，得a－a1·a3＝－1，∴a3＝10. 令n＝3代入，得a－a2a4＝

6、(－1)2，∴a4＝33. 12．在數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n≥1)，寫出此數(shù)列的前6項(xiàng)，并猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式． 解析　a1＝2，a2＝3， a3＝3a2－2a1＝3×3－2×2＝5， a4＝3a3－2a2＝3×5－2×3＝9， a5＝3a4－2a3＝3×9－2×5＝17， a6＝3a5－2a4＝3×17－2×9＝33. 可猜想an＝2n－1＋1. 13．已知an＝a()n(a為常數(shù)且a≠0)，試判斷{an}的單調(diào)性．下面是一學(xué)生的解法，這種解法對(duì)嗎？如果不對(duì)給出你的結(jié)論． ∵an－an－1＝a()n－a()n－1＝－a()n<0

7、， ∴{an}是遞減數(shù)列． 解析　這種解法誤認(rèn)為a>0，所以不對(duì)，對(duì)于非零實(shí)數(shù)a應(yīng)討論a>0和a<0兩種情況． ∵an－an－1＝－a()n(n≥2)， ∴當(dāng)a>0時(shí)，an－an－1<0. ∴an0， ∴an>an－1.∴{an}是遞增數(shù)列． 14．已知數(shù)列{an}：，－，，－， … (1)寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)計(jì)算a10，a15，a2n＋1； (3)證明：數(shù)列{|an|} 是遞增數(shù)列． 解析　(1)原數(shù)列變形為：，－，，－，…，分別考查數(shù)列的分子，分母與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系以及符號(hào)相間出現(xiàn)，第一項(xiàng)為正，所以

8、數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝(－1)n＋1. (2)當(dāng)n＝10，則a10＝－＝－； 當(dāng)n＝15時(shí)，則a15＝；將an中n換成2n＋1時(shí)，得a2n＋1＝. (3)令bn＝|an|(n∈N*)， 則bn＝|(－1)n＋1|＝. ∵bn＋1－bn＝－＝>0. ∴bn＋1>bn.即對(duì)一切正整數(shù)n，恒有|an＋1|>|an|成立．因此數(shù)列{|an|}為遞增數(shù)列． 講評(píng)　本題求解時(shí)，若與函數(shù)的定義，函數(shù)相關(guān)的性質(zhì)聯(lián)系容易理解，an＝f(n)即為函數(shù)的解析式；a10＝f(10)，即是函數(shù)在n＝10的函數(shù)值；a2n＋1＝f(2n＋1)即為函數(shù)代換，將函數(shù)中的變量n換成了2n＋1；當(dāng)|an＋1|>|an

9、|時(shí)，則數(shù)列在n∈N*時(shí)為遞增數(shù)列，這與函數(shù)單調(diào)遞增定義一樣，即對(duì)一切正整數(shù)n當(dāng)n＋1>n，都有|an＋1|>|an|，說明數(shù)列中每一項(xiàng)大于前一項(xiàng)，即為遞增數(shù)列． 15．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝1，且an＋1＋2anan＋1－an＝0. (1)寫出數(shù)列{an}的前5項(xiàng)； (2)由(1)寫出數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式； (3)實(shí)數(shù)是否為這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)？若是，應(yīng)為第幾項(xiàng)？ 解析　(1)∵a1＝1，an＋1＋2anan＋1－an＝0， ∴a2＋2a1a2－a1＝0，解得a2＝. 同理，可以解得a3＝，a4＝，a5＝. ∴數(shù)列的前5項(xiàng)為1，，，，. (2)由以上可得an＝. (3)令

10、＝，得n＝50.即是這個(gè)數(shù)列的第50項(xiàng)． ?重點(diǎn)班·選作題 16．已知an＝，則這個(gè)數(shù)列的前30項(xiàng)中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是(　　) A．a(chǎn)1，a30 B．a(chǎn)1，a9 C．a(chǎn)10，a9 D．a(chǎn)10，a30 答案　C 17．根據(jù)下列5個(gè)圖形及相應(yīng)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，試猜測(cè)第n個(gè)圖中有多少個(gè)點(diǎn)． 解析　圖(1)只有1個(gè)點(diǎn)，無分支；圖(2)除中間1個(gè)點(diǎn)外，有兩個(gè)分支，每個(gè)分支有1個(gè)點(diǎn)；圖(3)除中間1個(gè)點(diǎn)外，有三個(gè)分支，每個(gè)分支有2個(gè)點(diǎn)；圖(4)除中間1個(gè)點(diǎn)外，有四個(gè)分支，每個(gè)分支有3個(gè)點(diǎn)；…；猜測(cè)第n個(gè)圖中除中間一個(gè)點(diǎn)外，有n個(gè)分支，每個(gè)分支有(n－1)個(gè)點(diǎn)，故第n個(gè)圖中個(gè)數(shù)為1＋n(n－1)＝n2－n＋1. 　 設(shè){an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列且(n＋1)a－na＋an＋1·an＝0(n∈N*)，求an. 解析　方法一　(累乘法)由(n＋1)a－na＋an＋1an＝0，得(an＋1＋an)(nan＋1－nan＋an＋1)＝0. 由于an＋1＋an>0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0. ∴＝. ∴an＝a1···…· ＝1××××…×＝.