2022高考數(shù)學(xué) 30分鐘拿下選擇、填空題 專題05 數(shù)形結(jié)合法 理

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1、2022高考數(shù)學(xué) 30分鐘拿下選擇、填空題 專題05 數(shù)形結(jié)合法 理 方法探究 數(shù)形結(jié)合法，也就是我們常說的圖解法，就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而實(shí)現(xiàn)優(yōu)化解題途徑的目的. 在高考中，數(shù)形結(jié)合是一種常用的解題方法，也是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，特別是在一些計(jì)算過程復(fù)雜的函數(shù)、三角、解析幾何等問題中，可以先作出有關(guān)函數(shù)的圖象或者構(gòu)造適當(dāng)?shù)膸缀螆D形，再利用圖示輔助，即參照?qǐng)D形的做法、形狀、位置、性質(zhì)，綜合圖象的特征進(jìn)行直觀分析，從而得出結(jié)論.比如： （1

2、）在集合運(yùn)算中常常借助于數(shù)軸、Venn圖來處理集合的交、并、補(bǔ)等運(yùn)算，從而使問題得以簡化，使運(yùn)算快捷明了. （2）借助于圖象研究函數(shù)的性質(zhì)是一種常用的方法.函數(shù)圖象的幾何特征與數(shù)量特征緊密結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法. （3）處理方程問題時(shí)，把方程的根的問題看作兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；處理不等式時(shí)，從題目的條件與結(jié)論出發(fā)，聯(lián)系相關(guān)函數(shù)，著重分析其幾何意義，從圖形上找出解題的思路. （4）有關(guān)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定或比較三角函數(shù)值的大小等問題，一般借助于單位圓或三角函數(shù)圖象來處理，數(shù)形結(jié)合思想是處理三角函數(shù)問題的重要方法. （5）線性規(guī)劃問題是在約束條件下求目標(biāo)函數(shù)的最值的問題.從圖

3、形上找思路恰好就體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. （6）數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式可以看作關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù).用數(shù)形結(jié)合的思想研究數(shù)列問題是借助函數(shù)的圖象進(jìn)行直觀分析，從而把數(shù)列的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的有關(guān)問題來解決. （7）解析幾何的基本思想就是數(shù)形結(jié)合，在解題中善于將數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想運(yùn)用于對(duì)點(diǎn)、線、曲線的性質(zhì)及其相互關(guān)系的研究中. （8）立體幾何中用坐標(biāo)的方法將幾何中的點(diǎn)、線、面的性質(zhì)及其相互關(guān)系進(jìn)行研究，可將抽象的幾何問題轉(zhuǎn)化為純粹的代數(shù)運(yùn)算. 著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使

4、某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷.所以，我們一定要學(xué)好并應(yīng)用好數(shù)形結(jié)合的方法. 經(jīng)典示例 【例1】（集合中的數(shù)形結(jié)合）已知集合A=，B=，則AB中元素的個(gè)數(shù)為 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【名師點(diǎn)睛】求集合的基本運(yùn)算時(shí)，要認(rèn)清集合元素的屬性(是點(diǎn)集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合，這是正確求解集合運(yùn)算的兩個(gè)先決條件.集合中元素的三個(gè)特性中的互異性對(duì)

5、解題影響較大，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性. 【備考警示】對(duì)于點(diǎn)集問題，常表示的是某曲線上的點(diǎn)的集合，所以通過畫圖可以順利解決此類問題. 【例2】（函數(shù)中的數(shù)形結(jié)合）對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b定義運(yùn)算“?”：,設(shè)，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 A．(?2,1) B．[0,1] C．[?2,0) D．[?2,1) 【答案】D 【解析】由新定義可得，即.其圖象如圖所示，所以由恰有三個(gè)零點(diǎn)可得，?1

6、． 【例3】（線性規(guī)劃中的數(shù)形結(jié)合）不等式組表示的平面區(qū)域的面積為 . 【答案】16 【備考警示】對(duì)于線性規(guī)劃中的區(qū)域面積問題，正確地畫出平面區(qū)域的面積是正確求解的關(guān)鍵. 【例4】（向量中的數(shù)形結(jié)合）等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的余弦值為 A． B． C． D． 【答案】A 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知建立平面直角坐標(biāo)系，將等腰直角三角形的兩直角邊所在直線作為x軸和y軸，分別設(shè)出三角形頂點(diǎn)和兩直角邊中點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入坐標(biāo)求解兩中線所對(duì)應(yīng)的向量的數(shù)量積和模，進(jìn)而求得夾角的余弦值. 【備考警示】涉及向量的坐標(biāo)或幾

7、何意義時(shí)常通過畫圖進(jìn)行解決反而更快捷. 【例5】（解析幾何中的數(shù)形結(jié)合）已知雙曲線C：的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點(diǎn)．若∠MAN=60°，則C的離心率為_______________． 【答案】 【解析】如圖所示，作， 因?yàn)閳AA與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn)， 則為雙曲線的漸近線上的點(diǎn)，且，， 而，所以，點(diǎn)到直線的距離， 在中，，代入計(jì)算得，即， 由得，所以． 【名師點(diǎn)睛】雙曲線漸近線是其獨(dú)有的性質(zhì)，所以有關(guān)漸近線問題備受出題者的青睞.做好這一類問題要抓住以下重點(diǎn)：①求解漸近線，直接把雙曲線后面的1換成0即可；②雙

8、曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離是；③雙曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離是. 【備考警示】對(duì)于解析幾何問題，常需要邊讀題邊畫圖，找出基本量之間的基本關(guān)系才可以找準(zhǔn)突破口. 拓展變式 1． 函數(shù)f(x)=2x＋lg(x＋1) ?2的零點(diǎn)有 A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 【答案】B 由圖象可知h(x)=2?2x和g(x)=lg(x＋1)有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即f(x)=2x＋lg(x＋1)?2與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)f(x)僅有一個(gè)零點(diǎn)． 2．不等式組表示的平面區(qū)域的面積為 . 【答案】16 3．已知是邊長為2的等邊三角形

9、，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如圖，以為軸，的垂直平分線為軸，為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系， 則，，，設(shè)，所以，，，所以， ，當(dāng)時(shí)，所求的最小值為，故選B． 【名師點(diǎn)睛】平面向量中有關(guān)最值問題的求解通常有兩種思路： ①“形化”，即利用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷； ②“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識(shí)來解決． 終極押題 一、選擇題

10、 1．已知集合，，則 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依題意得，，，所以，故選B. 2．已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為 A． B． C． D． 【答案】C 3．如圖是半徑分別為1，2，3的三個(gè)同心圓，現(xiàn)隨機(jī)向最大圓內(nèi)拋一粒豆子，則豆子落入圖中陰影部分的概率為 A．　　　　 B． C．　　　　 D． 【答案】B 【解析】因?yàn)樽畲髨A的面積為，陰影部分的面積為，所以豆子落入圖中陰影部分的概率為，故選B． 4．已

11、知雙曲線的一條漸近線過圓的圓心，則雙曲線的離心率為 A． B． C． D．3 【答案】A 5．《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學(xué)名著，由明代數(shù)學(xué)家程大位所著，該著作完善了珠算口訣，確立了算盤用法，完成了由籌算到珠算的徹底轉(zhuǎn)變，對(duì)我國民間普及珠算和數(shù)學(xué)知識(shí)起到了很大的作用.在這部著作中，許多數(shù)學(xué)問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的，“誦課倍增”就是其中一首：有個(gè)學(xué)生心性巧，一部孟子三日了；每日增添整一部，問君每日讀多少？某老師據(jù)此編寫了一道數(shù)學(xué)題目：一本書共有頁，一位同學(xué)天讀完，所讀頁數(shù)逐日增加一倍，問這位同學(xué)第天所讀的頁數(shù)為 A

12、． B． C． D． 【答案】B 6．已知一個(gè)簡單幾何的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由三視圖知對(duì)應(yīng)的幾何體是底面半徑為，高為4的圓錐與底面為直角邊長為3的等腰直角三角形，高為4的三棱錐組成的組合體，所以圓錐的母線長為5，如圖，在三棱錐中，側(cè)棱垂直于底面，，，所以該幾何體的表面積為 +++=，故選D. 7．函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為 【答案】B 8．已知，滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為 A．　　　　 B．4

13、C．　　　　 D．6 【答案】C 【解析】由題畫出可行域如圖所示，可知直線過點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，即，故選C． 9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，輸出的1.625，則空白判斷框內(nèi)應(yīng)填的條件為 A．＜1 B．＜0.5 C．＜0.2 D．＜0.1 【答案】C 10．在直三棱柱中，側(cè)棱長為，在底面中，，，則此直三棱柱的外接球的表面積為 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】設(shè)底面的外接圓半徑為，由正弦定理得，所以，所以外接球半徑，所以直三棱

14、柱的外接球的表面積為.故選C. 【思路點(diǎn)晴】幾何體底面常見的圖形有正三角形，直角三角形，矩形，它們的外心可用其幾何性質(zhì)求；而其他不規(guī)則圖形的外心，可利用正弦定理來求.若長方體的長、寬、高分別為，則其體對(duì)角線長為，長方體的外接球球心是其體對(duì)角線的中點(diǎn).找?guī)缀误w外接球球心的一般方法:過幾何體各個(gè)面的外心分別作這個(gè)面的垂線，交點(diǎn)即為球心.若三棱錐三條側(cè)棱兩兩互相垂直，且棱長分別為，則其外接球半徑. 11．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若MR，垂足為，且，則直線的斜率為 A． B． C． D． 【答案】C 12．已知關(guān)于x的

15、方程有且僅有2個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 A． B． C． D． 【答案】D 二、填空題 13．的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為________________. (用數(shù)字作答) 【答案】10 【解析】依題意，由排列組合知識(shí)可知，常數(shù)項(xiàng)為. 14．設(shè)，向量，且，則__________． 【答案】 【解析】由題意得， ，所以. 【名師點(diǎn)晴】本題考查向量的基本運(yùn)算，涉及方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，綜合性較強(qiáng)，屬于中等難題. 15．已知圓：，點(diǎn)為圓：上且不在直線上的任意一點(diǎn)，則的面

16、積最大值為___________． 【答案】 16．已知銳角三角形的外接圓半徑為，且，，則________________. 【答案】 【解析】因?yàn)椋殇J角三角形的外接圓半徑），所以．因?yàn)闉殇J角，所以，于是，所以，故選D． 你用了幾分鐘？ 有哪些問題？

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