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1、2022屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第九單元 解析幾何 第60講 拋物線檢測
1．設(shè)拋物線y2＝8x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為4，則點(diǎn)P到該拋物線的焦點(diǎn)的距離是(B)
A．4 B．6
C．8 D．12
因?yàn)閥2＝8x的焦點(diǎn)F(2,0)，準(zhǔn)線x＝－2，
由P到y(tǒng)軸的距離為4知，P到準(zhǔn)線的距離為6，
由拋物線的定義知P到焦點(diǎn)F的距離為6.
2．(2013·新課標(biāo)卷Ⅰ)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，若|PF|＝4，則△POF的面積為(C)
A．2 B．2
C．2 D．4
設(shè)P(x0，y0)，則|PF|＝x0＋＝4，
所以x0＝3，所以y＝4x0＝4×
2、3＝24，
所以|y0|＝2，因?yàn)镕(，0)，
所以S△POF＝|OF|·|y0|＝××2＝2.
3．如果P1，P2，…，Pn是拋物線C：y2＝4x上的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為x1，x2，…，xn，F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn)，若x1＋x2＋…＋xn＝10，則|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝(A)
A．n＋10 B．n＋20
C．2n＋10 D．2n＋20
由拋物線的定義可知|PiF|＝xi＋＝xi＋1，
所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝(x1＋x2＋…＋xn)＋n＝10＋n.
4．(2016·新課標(biāo)卷Ⅱ)設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，曲線y＝(k>0)與
3、C交于點(diǎn)P，PF⊥x軸，則k＝(D)
A. B．1
C. D．2
因?yàn)閥2＝4x，所以F(1,0)．又因?yàn)榍€y＝(k>0)與C交于點(diǎn)P，PF⊥x軸，所以P(1,2)．將點(diǎn)P(1,2)的坐標(biāo)代入y＝(k>0)得k＝2.故選D.
5．(2018·廣東七校聯(lián)考)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，若|AF|＝3，則|BF|＝ .
設(shè)A，B的橫坐標(biāo)分別為xA，xB，
由拋物線的定義可知|AF|＝xA＋＝xA＋1＝3，
所以xA＝2，
又AB是拋物線的焦點(diǎn)弦，xA，xB滿足xA·xB＝＝1，
所以xB＝，所以|BF|＝xB＋＝＋1＝.
6．(2016·
4、湖南省六校聯(lián)考)若以雙曲線－＝1(b>0)的左、右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2和點(diǎn)M(1，)為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，則y2＝4bx的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 (1,0) .
顯然點(diǎn)M(1，)為直角頂點(diǎn)，
所以|OM|＝＝|F1F2|＝c，所以b＝1.
故拋物線為y2＝4x，其焦點(diǎn)為(1,0)．
7．已知斜率為1的直線l過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)．
(1)求直線l的方程(用p表示)；
(2)若設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，求證：|AB|＝x1＋x2＋p；
(3)若|AB|＝4，求拋物線方程．
(1)因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(，0)，
又因?yàn)橹?/p>
5、線l的斜率為1，
所以直線l的方程為：y＝x－.
(2)證明：過點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線AA′，BB′，交準(zhǔn)線于A′，B′，
則由拋物線的定義得：
|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA′|＋|BB′|
＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p.
(3)由|AB|＝4，得x1＋x2＋p＝4，
直線y＝x－與拋物線方程聯(lián)立，
?x2－3px＋＝0，
由韋達(dá)定理，得x1＋x2＝3p，代入x1＋x2＋p＝4，
解得p＝1，故拋物線方程為y2＝2x.
8．(2017·新課標(biāo)卷Ⅱ)過拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F，且斜率為的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸的上方)，l為C的準(zhǔn)線，點(diǎn)N在l上
6、，且MN⊥l，則M到直線NF的距離為(C)
A. B．2
C．2 D．3
拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.由直線方程的點(diǎn)斜式可得直線MF的方程為y＝(x－1)．
聯(lián)立得方程組解得或
因?yàn)辄c(diǎn)M在x軸的上方，所以M(3,2)．
因?yàn)镸N⊥l，所以N(－1,2)．
所以|NF|＝ ＝4，
|MF|＝＝4，
|MN|＝ ＝4.
所以△MNF是邊長為4的等邊三角形．
所以點(diǎn)M到直線NF的距離為2.
9．已知以F為焦點(diǎn)的拋物線y2＝4x上的兩點(diǎn)A，B滿足＝2，則弦AB的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為 .
設(shè)AB的中點(diǎn)為C，AB的延長線與準(zhǔn)線相交于
7、D，
設(shè)A，B，C，F(xiàn)在準(zhǔn)線上的投影分別為A′，B′，C′，F(xiàn)′，設(shè)FB＝t，則AF＝2t，
由拋物線的定義，知AA′＝2t，BB′＝t，
所以BB′為△DA′A的中位線，所以BD＝3t，
由△DF′F∽△DC′C，得＝，
所以＝，解得C′C＝.
10．(2016·江蘇卷)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：x－y－2＝0，拋物線C：y2＝2px(p＞0)．
(1)若直線l過拋物線C的焦點(diǎn)，求拋物線C的方程；
(2)已知拋物線C上存在關(guān)于直線l對稱的相異兩點(diǎn)P和Q.
①求證：線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2－p，－p)；
②求p的取值范圍．
(1)拋物線C：y2＝2
8、px(p>0)的焦點(diǎn)為(，0)，
由點(diǎn)(，0)在直線l：x－y－2＝0上，得－0－2＝0，
即p＝4.所以拋物線C的方程為y2＝8x.
(2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，線段PQ的中點(diǎn)M(x0，y0)．
因?yàn)辄c(diǎn)P和Q關(guān)于直線l對稱，所以直線l垂直平分線段PQ，于是直線PQ的斜率為－1，則可設(shè)其方程為y＝－x＋b.
①證明：由消去x得y2＋2py－2pb＝0.(*)
因?yàn)镻和Q是拋物線C上的相異兩點(diǎn)，所以y1≠y2，
從而Δ＝(2p)2－4×(－2pb)>0，化簡得p＋2b>0.
方程(*)的兩根為y1,2＝－p±，
從而y0＝＝－p.
因?yàn)镸(x0，y0)在直線l上，所以x0＝2－p.
因此，線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2－p，－p)．
②因?yàn)镸(2－p，－p)在直線y＝－x＋b上，
所以－p＝－(2－p)＋b，即b＝2－2p.
由①知p＋2b>0，于是p＋2(2－2p)>0，所以p<.
因此，p的取值范圍是(0，)．
2022屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第九單元 解析幾何 第60講 拋物線檢測
