2022屆九年級數(shù)學(xué)下冊 小專題（八）圓中常見輔助線的作法練習(xí) （新版）湘教版

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1、2022屆九年級數(shù)學(xué)下冊 小專題（八）圓中常見輔助線的作法練習(xí) （新版）湘教版 圓中常見輔助線的添加口訣及技巧 半徑與弦長計算，弦心距來中間站． 圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連． 要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨． 是直徑，成半圓，想成直角徑連弦． 弧有中點(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全． 圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連． 還要作個內(nèi)切圓，內(nèi)角平分線夢圓． 三角形與扇形聯(lián)姻，巧妙陰影部分算． 一、連半徑——構(gòu)造等腰三角形 1．如圖，在⊙O中，AB為⊙O的弦，C，D是直線AB上的兩點(diǎn)，且AC＝BD.求證：△OCD是等腰三角形． 證明：連接OA，OB. ∵OA，OB是⊙

2、O的半徑， ∴OA＝OB. ∴∠OAB＝∠OBA. ∴∠OAC＝∠OBD. 在△AOC和△BOD中， ∴△AOC≌△BOD(SAS)． ∴OC＝OD，即△OCD是等腰三角形． 二、半徑與弦長計算，弦心距來中間站 在圓中，求弦長、半徑或圓心到弦的距離時，常過圓心作弦的垂線段，再連接半徑構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理進(jìn)行計算．在弦長、弦心距、半徑三個量中，已知任意兩個可求另一個． 2．如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面直徑是1 m，其中水面的寬AB為0.8 m，求排水管內(nèi)水的深度． 解：過點(diǎn)O作OC⊥AB，垂足為C，交⊙O于點(diǎn)D，E，連接OA. OA＝0.5 m

3、，AB＝0.8 m. ∵OC⊥AB， ∴AC＝BC＝0.4 m. 在Rt△AOC中， OA2＝AC2＋OC2， ∴OC＝0.3 m，則CE＝0.3＋0.5＝0.8(m)． 答：排水管內(nèi)水的深度為0.8m. 三、見到直徑——構(gòu)造直徑所對的圓周角 構(gòu)造直徑所對的圓周角，這是圓中常用的輔助線作法，可充分利用“半圓(或直徑)所對的圓周角是直角”這一性質(zhì)． 3．如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD與AB相交于點(diǎn)E.∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，求∠CEB的度數(shù)． 解：連接BD. ∵AB為⊙O的直徑， ∴∠ADB＝90°. 又∵∠ADC＝50°， ∴∠CDB＝∠ADB

4、－∠ADC ＝40°. ∵＝ ∴∠CDB＝∠CAB＝40°. ∴∠CEB＝∠CAB＋∠ACD＝40°＋60°＝100°. 四、有圓的切線時，常常連接圓心和切點(diǎn)得切線垂直于半徑 已知圓的切線時，常把切點(diǎn)與圓心連接起來，得半徑與切線垂直，構(gòu)造直角三角形，再利用直角三角形的有關(guān)性質(zhì)解題． 4．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)H，過CD延長線上一點(diǎn)E作⊙O的切線交AB的延長線于點(diǎn)F，切點(diǎn)為G，連接AG交CD于點(diǎn)K.求證：KE＝GE. 證明：連接OG. ∵FE切⊙O于點(diǎn)G， ∴∠OGE＝90°. ∴∠OGA＋∠AGE＝90°. ∵CD⊥AB， ∴∠OAK＋∠A

5、KH＝90°. 又∵∠AKH＝∠GKE， ∴∠OAK＋∠GKE＝90°. ∵OG＝OA，∴∠OGA＝∠OAG. ∴∠KGE＝∠GKE. ∴KE＝GE. 五、“連半徑證垂直”與“作垂直證半徑”——判定直線與圓相切 證明一條直線是圓的切線，當(dāng)直線與圓有公共點(diǎn)時，只需“連半徑、證垂直”即可；當(dāng)已知條件中沒有指出圓與直線有公共點(diǎn)時，常運(yùn)用“d＝r”進(jìn)行判斷，輔助線的作法是過圓心作已知直線的垂線，證明垂線段的長等于半徑． 5．如圖，點(diǎn)A，B，C分別是⊙O上的點(diǎn)，∠B＝60°，AC＝3，CD是⊙O的直徑，P是CD延長線上的一點(diǎn)，且AP＝AC.求證：AP是⊙O的切線． 證明：連接

6、OA. ∵∠B＝60°， ∴∠AOC＝2∠B＝120°. 又∵OA＝OC， ∴∠ACP＝∠CAO＝30°. ∴∠AOP＝60°. 又∵AC＝AP， ∴∠P＝∠ACP＝30°. ∴∠OAP＝90°.∴OA⊥AP. 又∵OA為⊙O的半徑， ∴AP是⊙O的切線． 6．如圖，△ABC為等腰三角形，AB＝AC，O是底邊BC的中點(diǎn)，⊙O與腰AB相切于點(diǎn)D，求證：AC與⊙O相切． 證明：連接OD，過點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，則∠OEC＝90°. ∵AB切⊙O于點(diǎn)D， ∴OD⊥AB. ∴∠ODB＝90°. ∴∠ODB＝∠OEC. 又∵O是BC的中點(diǎn)，∴OB＝OC. ∵A

7、B＝AC， ∴∠B＝∠C. ∴△OBD≌△OCE(AAS)． ∴OE＝OD，即OE是⊙O的半徑． ∴AC與⊙O相切． 六、內(nèi)切圓，連接內(nèi)角平分線把夢圓 利用內(nèi)心與頂點(diǎn)的連線平分這個內(nèi)角以及三角形的外角，同弧所對的圓周角相等進(jìn)行角的轉(zhuǎn)換． 7．如圖，在△ABC中，E是內(nèi)心，AE的延長線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D.求證：DE＝DB. 證明：連接BE. ∵E為△ABC的內(nèi)心， ∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠DAC. ∵∠DEB＝∠ABE＋∠BAD， ∠DBE＝∠CBE＋∠DBC， 而∠DBC＝∠DAC＝∠BAD， ∴∠DEB＝∠DBE. ∴DE＝DB

8、. 七、構(gòu)造扇形與三角形，化不規(guī)則圖形的面積為規(guī)則圖形的面積 通過等積替換化不規(guī)則圖形為規(guī)則圖形，在等積轉(zhuǎn)化中，(1)可以根據(jù)平移、旋轉(zhuǎn)或軸對稱等圖形變換；(2)可根據(jù)同底(等底)同高(等高)的三角形面積相等進(jìn)行轉(zhuǎn)化． 8．如圖，A是半徑為2的⊙O外一點(diǎn)，OA＝4，AB是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，弦BC∥OA，連接AC，求陰影部分的面積． 解：連接OB，OC. ∵BC∥OA， ∴△OBC和△ABC同底等高． ∴S△ABC＝S△OBC. ∴S陰影＝S扇形OBC. ∵AB是⊙O的切線，∴OB⊥AB. ∵OA＝4，OB＝2，∴∠AOB＝60°. ∵BC∥OA，∴∠AOB＝∠OBC＝60°. ∵OB＝OC，∴△OBC為等邊三角形． ∴∠COB＝60°. ∴S陰影＝S扇形OBC＝＝.