2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 立體幾何 專題能力訓(xùn)練14 空間中的平行與垂直 文

2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 立體幾何 專題能力訓(xùn)練14 空間中的平行與垂直 文1.如圖,在下列四個(gè)正方體中,A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,Q為所在棱的中點(diǎn),則在這四個(gè)正方體中,直線AB與平面MNQ不平行的是()2.如圖,在正方形ABCD中,E,F分別是BC,CD的中點(diǎn),沿AE,AF,EF把正方形折成一個(gè)四面體,使B,C,D三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為P,點(diǎn)P在AEF內(nèi)的射影為O.則下列說(shuō)法正確的是()A.O是AEF的垂心B.O是AEF的內(nèi)心C.O是AEF的外心D.O是AEF的重心3.已知m,n是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,給出下列命題:若,m,則m;若m,n,且mn,則;若m,m,則;若m,n,且mn,則.其中正確命題的序號(hào)是()A.B.C.D.4.平面過(guò)正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為()A.B.C.D.5.已知正四棱錐S-ABCD的底面邊長(zhǎng)為2,高為2,E是邊BC的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在表面上運(yùn)動(dòng),并且總保持PEAC,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的周長(zhǎng)為. 6.下列命題正確的是.(填上你認(rèn)為正確的所有命題的序號(hào)) 空間中三個(gè)平面,若,則;若a,b,c為三條兩兩異面的直線,則存在無(wú)數(shù)條直線與a,b,c都相交;若球O與棱長(zhǎng)為a的正四面體各面都相切,則該球的表面積為a2;在三棱錐P-ABC中,若PABC,PBAC,則PCAB.7.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點(diǎn),AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).(1)證明MN平面PAB;(2)求四面體N-BCM的體積.8.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC平面ABCD,ABDC,DCAC.(1)求證:DC平面PAC;(2)求證:平面PAB平面PAC;(3)設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),在棱PB上是否存在點(diǎn)F,使得PA平面CEF?說(shuō)明理由.9.(2018天津,文17)如圖,在四面體ABCD中,ABC是等邊三角形,平面ABC平面ABD,點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn),AB=2,AD=2,BAD=90°.(1)求證:ADBC;(2)求異面直線BC與MD所成角的余弦值;(3)求直線CD與平面ABD所成角的正弦值.10.(2018北京,文18)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD,E,F分別為AD,PB的中點(diǎn).(1)求證:PEBC;(2)求證:平面PAB平面PCD;(3)求證:EF平面PCD.二、思維提升訓(xùn)練11.如圖,在直角梯形ABCD中,ADBC,BAD=,AB=BC=AD=a,E是AD的中點(diǎn),O是AC與BE的交點(diǎn).將ABE沿BE折起到圖中A1BE的位置,得到四棱錐A1-BCDE.圖圖(1)證明:CD平面A1OC;(2)當(dāng)平面A1BE平面BCDE時(shí),四棱錐A1-BCDE的體積為36,求a的值.12.如圖,AB是圓O的直徑,點(diǎn)C是的中點(diǎn),點(diǎn)V是圓O所在平面外一點(diǎn),D是AC的中點(diǎn),已知AB=2,VA=VB=VC=2.(1)求證:OD平面VBC;(2)求證:AC平面VOD;(3)求棱錐C-ABV的體積.13.已知在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=,點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),點(diǎn)E在線段AA1上.(1)當(dāng)AEEA1=12時(shí),求證:DEBC1.(2)是否存在點(diǎn)E,使三棱錐C1-BDE的體積恰為三棱柱ABC-A1B1C1體積的?若存在,求AE的長(zhǎng),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.14.如圖,在三棱錐P-ABC中,PA底面ABC,ABBC,DE垂直平分線段PC,且分別交AC,PC于D,E兩點(diǎn),PB=BC,PA=AB.(1)求證:PC平面BDE;(2)若點(diǎn)Q是線段PA上任一點(diǎn),判斷BD,DQ的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;(3)若AB=2,求三棱錐B-CED的體積.專題能力訓(xùn)練14空間中的平行與垂直一、能力突破訓(xùn)練1.A解析 易知選項(xiàng)B中,ABMQ,且MQ平面MNQ,AB平面MNQ,則AB平面MNQ;選項(xiàng)C中,ABMQ,且MQ平面MNQ,AB平面MNQ,則AB平面MNQ;選項(xiàng)D中,ABNQ,且NQ平面MNQ,AB平面MNQ,則AB平面MNQ,故排除選項(xiàng)B,C,D.故選A.2.A解析 如圖,易知PA,PE,PF兩兩垂直,PA平面PEF,從而PAEF,而PO平面AEF,則POEF,EF平面PAO,EFAO.同理可知AEFO,AFEO,O為AEF的垂心.3.B解析 當(dāng),m時(shí),有m,m,m等多種可能情況,所以不正確;當(dāng)m,n,且mn時(shí),由面面垂直的判定定理知,所以正確;因?yàn)閙,m,所以,正確;若m,n,且mn,則或,相交,不正確.故選B.4.A解析 (方法一)平面CB1D1,平面ABCD平面A1B1C1D1,平面ABCD=m,平面CB1D1平面A1B1C1D1=B1D1,mB1D1.平面CB1D1,平面ABB1A1平面DCC1D1,平面ABB1A1=n,平面CB1D1平面DCC1D1=CD1,nCD1.B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即B1D1C等于m,n所成的角.B1D1C為正三角形,B1D1C=60°,m,n所成的角的正弦值為.(方法二)由題意畫(huà)出圖形如圖,將正方體ABCD-A1B1C1D1平移,補(bǔ)形為兩個(gè)全等的正方體如圖,易證平面AEF平面CB1D1,所以平面AEF即為平面,m即為AE,n即為AF,所以AE與AF所成的角即為m與n所成的角.因?yàn)锳EF是正三角形,所以EAF=60°,故m,n所成角的正弦值為.5.解析 如圖,取CD的中點(diǎn)F,SC的中點(diǎn)G,連接EF,EG,FG.設(shè)EF交AC于點(diǎn)H,連接GH,易知ACEF.又GHSO,GH平面ABCD,ACGH.又GHEF=H,AC平面EFG.故點(diǎn)P的軌跡是EFG,其周長(zhǎng)為.6.解析 中也可以與相交;作平面與a,b,c都相交;中可得球的半徑為r=a;中由PABC,PBAC得點(diǎn)P在底面ABC的射影為ABC的垂心,故PCAB.7.(1)證明 由已知得AM=AD=2.取BP的中點(diǎn)T,連接AT,TN,由N為PC中點(diǎn)知TNBC,TN=BC=2.又ADBC,故TN􀰿AM,四邊形AMNT為平行四邊形,于是MNAT.因?yàn)锳T平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB.(2)解 因?yàn)镻A平面ABCD,N為PC的中點(diǎn),所以N到平面ABCD的距離為PA.取BC的中點(diǎn)E,連接AE.由AB=AC=3得AEBC,AE=.由AMBC得M到BC的距離為,故SBCM=×4×=2.所以四面體N-BCM的體積VN-BCM=×SBCM×.8.(1) 證明 因?yàn)镻C平面ABCD,所以PCDC.又因?yàn)镈CAC,所以DC平面PAC.(2)證明 因?yàn)锳BDC,DCAC,所以ABAC.因?yàn)镻C平面ABCD,所以PCAB.所以AB平面PAC.所以平面PAB平面PAC.(3)解 棱PB上存在點(diǎn)F,使得PA平面CEF.證明如下:取PB中點(diǎn)F,連接EF,CE,CF.又因?yàn)镋為AB的中點(diǎn),所以EFPA.又因?yàn)镻A平面CEF,所以PA平面CEF.9.(1)證明 由平面ABC平面ABD,平面ABC平面ABD=AB,ADAB,可得AD平面ABC,故ADBC.(2)解 取棱AC的中點(diǎn)N,連接MN,ND.又因?yàn)镸為棱AB的中點(diǎn),故MNBC.所以DMN(或其補(bǔ)角)為異面直線BC與MD所成的角.在RtDAM中,AM=1,故DM=.因?yàn)锳D平面ABC,故ADAC.在RtDAN中,AN=1,故DN=.在等腰三角形DMN中,MN=1,可得cosDMN=.所以,異面直線BC與MD所成角的余弦值為.(3)解 連接CM.因?yàn)锳BC為等邊三角形, M為邊AB的中點(diǎn),故CMAB,CM=.又因?yàn)槠矫鍭BC平面ABD,而CM平面ABC,故CM平面ABD.所以,CDM為直線CD與平面ABD所成的角.在RtCAD中,CD=4.在RtCMD中,sinCDM=.所以,直線CD與平面ABD所成角的正弦值為.10.證明 (1)PA=PD,且E為AD的中點(diǎn),PEAD.底面ABCD為矩形,BCAD,PEBC.(2)底面ABCD為矩形,ABAD.平面PAD平面ABCD,AB平面PAD.ABPD.又PAPD,PAAB=A,PD平面PAB.PD平面PCD,平面PAB平面PCD.(3)如圖,取PC的中點(diǎn)G,連接FG,GD.F,G分別為PB和PC的中點(diǎn),FGBC,且FG=BC.四邊形ABCD為矩形,且E為AD的中點(diǎn),EDBC,ED=BC,EDFG,且ED=FG,四邊形EFGD為平行四邊形,EFGD.又EF平面PCD,GD平面PCD,EF平面PCD.二、思維提升訓(xùn)練11.(1)證明 在題圖中,因?yàn)锳B=BC=AD=a,E是AD的中點(diǎn),BAD=,所以BEAC.即在題圖中,BEA1O,BEOC,從而B(niǎo)E平面A1OC,又CDBE,所以CD平面A1OC.(2)解 由已知,平面A1BE平面BCDE,且平面A1BE平面BCDE=BE,又由(1),A1OBE,所以A1O平面BCDE,即A1O是四棱錐A1-BCDE的高.由題圖知,A1O=AB=a,平行四邊形BCDE的面積S=BC·AB=a2.從而四棱錐A1-BCDE的體積為V=×S×A1O=×a2×a=a3,由a3=36,得a=6.12.(1)證明 O,D分別是AB和AC的中點(diǎn),ODBC.又OD平面VBC,BC平面VBC,OD平面VBC.(2)證明 VA=VB,O為AB中點(diǎn),VOAB.在VOA和VOC中,OA=OC,VO=VO,VA=VC,VOAVOC,VOA=VOC=90°,VOOC.ABOC=O,AB平面ABC,OC平面ABC,VO平面ABC.又AC平面ABC,ACVO.VA=VC,D是AC的中點(diǎn),ACVD.VO平面VOD,VD平面VOD,VOVD=V,AC平面VOD.(3)解 由(2)知VO是棱錐V-ABC的高,且VO=.點(diǎn)C是的中點(diǎn),COAB,且CO=1,AB=2,ABC的面積SABC=AB·CO=×2×1=1,棱錐V-ABC的體積為VV-ABC=SABC·VO=×1×,故棱錐C-ABV的體積為.13.(1)證明 因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1為正三棱柱,所以ABC是正三角形.因?yàn)镈是AC的中點(diǎn),所以BDAC.又平面ABC平面CAA1C1,所以BDDE.因?yàn)锳EEA1=12,AB=2,AA1=,所以AE=,AD=1,所以在RtADE中,ADE=30°.在RtDCC1中,C1DC=60°,所以EDC1=90°,即DEDC1.因?yàn)镃1DBD=D,所以DE平面BC1D,所以DEBC1.(2)解 假設(shè)存在點(diǎn)E滿足題意.設(shè)AE=h,則A1E=-h,所以-SAED-=2h-(-h)-h.因?yàn)锽D平面ACC1A1,所以h,又V棱柱=×2×=3,所以h=1,解得h=,故存在點(diǎn)E,當(dāng)AE=,即E與A1重合時(shí),三棱錐C1-BDE的體積恰為三棱柱ABC-A1B1C1體積的.14.(1)證明 DE垂直平分線段PC,PB=BC,DEPC,BEPC.又BEDE=E,PC平面BDE.(2)解 BDDQ.證明如下:由(1)得,PCBD.PA底面ABC,PABD.又PCPA=P,BD平面PAC,當(dāng)點(diǎn)Q是線段PA上任一點(diǎn)時(shí)都有DQ平面PAC,BDDQ.(3)解 PA=AB=2,PB=BC=2.ABBC,AC=2,PC=4,CE=2,且BD=.CDECPA,DE=.由(2)可知:BDDE,VB-CED=VC-BDE=SBDE·CE=×2=.