2022年高考數(shù)學二輪復習 專題五 立體幾何 專題能力訓練14 空間中的平行與垂直 文

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1、2022年高考數(shù)學二輪復習 專題五 立體幾何 專題能力訓練14 空間中的平行與垂直 文1.如圖,在下列四個正方體中,A,B為正方體的兩個頂點,M,N,Q為所在棱的中點,則在這四個正方體中,直線AB與平面MNQ不平行的是()2.如圖,在正方形ABCD中,E,F分別是BC,CD的中點,沿AE,AF,EF把正方形折成一個四面體,使B,C,D三點重合,重合后的點記為P,點P在AEF內(nèi)的射影為O.則下列說法正確的是()A.O是AEF的垂心B.O是AEF的內(nèi)心C.O是AEF的外心D.O是AEF的重心3.已知m,n是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,給出下列命題:若,m,則m;若m,n,且mn,則;若m,m

2、,則;若m,n,且mn,則.其中正確命題的序號是()A.B.C.D.4.平面過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為()A.B.C.D.5.已知正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2,高為2,E是邊BC的中點,動點P在表面上運動,并且總保持PEAC,則動點P的軌跡的周長為.6.下列命題正確的是.(填上你認為正確的所有命題的序號)空間中三個平面,若,則;若a,b,c為三條兩兩異面的直線,則存在無數(shù)條直線與a,b,c都相交;若球O與棱長為a的正四面體各面都相切,則該球的表面積為a2;在三棱錐P-ABC中,若PABC,P

3、BAC,則PCAB.7.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點,AM=2MD,N為PC的中點.(1)證明MN平面PAB;(2)求四面體N-BCM的體積.8.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC平面ABCD,ABDC,DCAC.(1)求證:DC平面PAC;(2)求證:平面PAB平面PAC;(3)設點E為AB的中點,在棱PB上是否存在點F,使得PA平面CEF?說明理由.9.(2018天津,文17)如圖,在四面體ABCD中,ABC是等邊三角形,平面ABC平面ABD,點M為棱AB的中點,AB=2,AD=2,BAD=90.(1)求

4、證:ADBC;(2)求異面直線BC與MD所成角的余弦值;(3)求直線CD與平面ABD所成角的正弦值.10.(2018北京,文18)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD,E,F分別為AD,PB的中點.(1)求證:PEBC;(2)求證:平面PAB平面PCD;(3)求證:EF平面PCD.二、思維提升訓練11.如圖,在直角梯形ABCD中,ADBC,BAD=,AB=BC=AD=a,E是AD的中點,O是AC與BE的交點.將ABE沿BE折起到圖中A1BE的位置,得到四棱錐A1-BCDE.圖圖(1)證明:CD平面A1OC;(2)當平面A1BE平面BCD

5、E時,四棱錐A1-BCDE的體積為36,求a的值.12.如圖,AB是圓O的直徑,點C是的中點,點V是圓O所在平面外一點,D是AC的中點,已知AB=2,VA=VB=VC=2.(1)求證:OD平面VBC;(2)求證:AC平面VOD;(3)求棱錐C-ABV的體積.13.已知在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=,點D為AC的中點,點E在線段AA1上.(1)當AEEA1=12時,求證:DEBC1.(2)是否存在點E,使三棱錐C1-BDE的體積恰為三棱柱ABC-A1B1C1體積的?若存在,求AE的長,若不存在,請說明理由.14.如圖,在三棱錐P-ABC中,PA底面ABC,ABBC,DE垂直

6、平分線段PC,且分別交AC,PC于D,E兩點,PB=BC,PA=AB.(1)求證:PC平面BDE;(2)若點Q是線段PA上任一點,判斷BD,DQ的位置關系,并證明你的結(jié)論;(3)若AB=2,求三棱錐B-CED的體積.專題能力訓練14空間中的平行與垂直一、能力突破訓練1.A解析 易知選項B中,ABMQ,且MQ平面MNQ,AB平面MNQ,則AB平面MNQ;選項C中,ABMQ,且MQ平面MNQ,AB平面MNQ,則AB平面MNQ;選項D中,ABNQ,且NQ平面MNQ,AB平面MNQ,則AB平面MNQ,故排除選項B,C,D.故選A.2.A解析 如圖,易知PA,PE,PF兩兩垂直,PA平面PEF,從而PA

7、EF,而PO平面AEF,則POEF,EF平面PAO,EFAO.同理可知AEFO,AFEO,O為AEF的垂心.3.B解析 當,m時,有m,m,m等多種可能情況,所以不正確;當m,n,且mn時,由面面垂直的判定定理知,所以正確;因為m,m,所以,正確;若m,n,且mn,則或,相交,不正確.故選B.4.A解析 (方法一)平面CB1D1,平面ABCD平面A1B1C1D1,平面ABCD=m,平面CB1D1平面A1B1C1D1=B1D1,mB1D1.平面CB1D1,平面ABB1A1平面DCC1D1,平面ABB1A1=n,平面CB1D1平面DCC1D1=CD1,nCD1.B1D1,CD1所成的角等于m,n所

8、成的角,即B1D1C等于m,n所成的角.B1D1C為正三角形,B1D1C=60,m,n所成的角的正弦值為.(方法二)由題意畫出圖形如圖,將正方體ABCD-A1B1C1D1平移,補形為兩個全等的正方體如圖,易證平面AEF平面CB1D1,所以平面AEF即為平面,m即為AE,n即為AF,所以AE與AF所成的角即為m與n所成的角.因為AEF是正三角形,所以EAF=60,故m,n所成角的正弦值為.5.解析 如圖,取CD的中點F,SC的中點G,連接EF,EG,FG.設EF交AC于點H,連接GH,易知ACEF.又GHSO,GH平面ABCD,ACGH.又GHEF=H,AC平面EFG.故點P的軌跡是EFG,其周

9、長為.6.解析 中也可以與相交;作平面與a,b,c都相交;中可得球的半徑為r=a;中由PABC,PBAC得點P在底面ABC的射影為ABC的垂心,故PCAB.7.(1)證明 由已知得AM=AD=2.取BP的中點T,連接AT,TN,由N為PC中點知TNBC,TN=BC=2.又ADBC,故TN􀰿AM,四邊形AMNT為平行四邊形,于是MNAT.因為AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB.(2)解 因為PA平面ABCD,N為PC的中點,所以N到平面ABCD的距離為PA.取BC的中點E,連接AE.由AB=AC=3得AEBC,AE=.由AMBC得M到BC的距離為,故SBCM=4

10、=2.所以四面體N-BCM的體積VN-BCM=SBCM.8.(1) 證明 因為PC平面ABCD,所以PCDC.又因為DCAC,所以DC平面PAC.(2)證明 因為ABDC,DCAC,所以ABAC.因為PC平面ABCD,所以PCAB.所以AB平面PAC.所以平面PAB平面PAC.(3)解 棱PB上存在點F,使得PA平面CEF.證明如下:取PB中點F,連接EF,CE,CF.又因為E為AB的中點,所以EFPA.又因為PA平面CEF,所以PA平面CEF.9.(1)證明 由平面ABC平面ABD,平面ABC平面ABD=AB,ADAB,可得AD平面ABC,故ADBC.(2)解 取棱AC的中點N,連接MN,N

11、D.又因為M為棱AB的中點,故MNBC.所以DMN(或其補角)為異面直線BC與MD所成的角.在RtDAM中,AM=1,故DM=.因為AD平面ABC,故ADAC.在RtDAN中,AN=1,故DN=.在等腰三角形DMN中,MN=1,可得cosDMN=.所以,異面直線BC與MD所成角的余弦值為.(3)解 連接CM.因為ABC為等邊三角形, M為邊AB的中點,故CMAB,CM=.又因為平面ABC平面ABD,而CM平面ABC,故CM平面ABD.所以,CDM為直線CD與平面ABD所成的角.在RtCAD中,CD=4.在RtCMD中,sinCDM=.所以,直線CD與平面ABD所成角的正弦值為.10.證明 (1

12、)PA=PD,且E為AD的中點,PEAD.底面ABCD為矩形,BCAD,PEBC.(2)底面ABCD為矩形,ABAD.平面PAD平面ABCD,AB平面PAD.ABPD.又PAPD,PAAB=A,PD平面PAB.PD平面PCD,平面PAB平面PCD.(3)如圖,取PC的中點G,連接FG,GD.F,G分別為PB和PC的中點,FGBC,且FG=BC.四邊形ABCD為矩形,且E為AD的中點,EDBC,ED=BC,EDFG,且ED=FG,四邊形EFGD為平行四邊形,EFGD.又EF平面PCD,GD平面PCD,EF平面PCD.二、思維提升訓練11.(1)證明 在題圖中,因為AB=BC=AD=a,E是AD的

13、中點,BAD=,所以BEAC.即在題圖中,BEA1O,BEOC,從而BE平面A1OC,又CDBE,所以CD平面A1OC.(2)解 由已知,平面A1BE平面BCDE,且平面A1BE平面BCDE=BE,又由(1),A1OBE,所以A1O平面BCDE,即A1O是四棱錐A1-BCDE的高.由題圖知,A1O=AB=a,平行四邊形BCDE的面積S=BCAB=a2.從而四棱錐A1-BCDE的體積為V=SA1O=a2a=a3,由a3=36,得a=6.12.(1)證明 O,D分別是AB和AC的中點,ODBC.又OD平面VBC,BC平面VBC,OD平面VBC.(2)證明 VA=VB,O為AB中點,VOAB.在VO

14、A和VOC中,OA=OC,VO=VO,VA=VC,VOAVOC,VOA=VOC=90,VOOC.ABOC=O,AB平面ABC,OC平面ABC,VO平面ABC.又AC平面ABC,ACVO.VA=VC,D是AC的中點,ACVD.VO平面VOD,VD平面VOD,VOVD=V,AC平面VOD.(3)解 由(2)知VO是棱錐V-ABC的高,且VO=.點C是的中點,COAB,且CO=1,AB=2,ABC的面積SABC=ABCO=21=1,棱錐V-ABC的體積為VV-ABC=SABCVO=1,故棱錐C-ABV的體積為.13.(1)證明 因為三棱柱ABC-A1B1C1為正三棱柱,所以ABC是正三角形.因為D是

15、AC的中點,所以BDAC.又平面ABC平面CAA1C1,所以BDDE.因為AEEA1=12,AB=2,AA1=,所以AE=,AD=1,所以在RtADE中,ADE=30.在RtDCC1中,C1DC=60,所以EDC1=90,即DEDC1.因為C1DBD=D,所以DE平面BC1D,所以DEBC1.(2)解 假設存在點E滿足題意.設AE=h,則A1E=-h,所以-SAED-=2h-(-h)-h.因為BD平面ACC1A1,所以h,又V棱柱=2=3,所以h=1,解得h=,故存在點E,當AE=,即E與A1重合時,三棱錐C1-BDE的體積恰為三棱柱ABC-A1B1C1體積的.14.(1)證明 DE垂直平分線段PC,PB=BC,DEPC,BEPC.又BEDE=E,PC平面BDE.(2)解 BDDQ.證明如下:由(1)得,PCBD.PA底面ABC,PABD.又PCPA=P,BD平面PAC,當點Q是線段PA上任一點時都有DQ平面PAC,BDDQ.(3)解 PA=AB=2,PB=BC=2.ABBC,AC=2,PC=4,CE=2,且BD=.CDECPA,DE=.由(2)可知:BDDE,VB-CED=VC-BDE=SBDECE=2=.