2022屆高考數(shù)學一輪復習 第四章 平面向量 課堂達標25 平面向量的數(shù)量積與平面向量應用舉例 文 新人教版

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1、2022屆高考數(shù)學一輪復習 第四章 平面向量 課堂達標25 平面向量的數(shù)量積與平面向量應用舉例 文 新人教版 1．(2018·衡水模擬)已知|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為，那么|4a－b|等于(　　) A．2　　　 B．6　　　 C．2　　　 D．12 [解析]　|4a－b|2＝16a2＋b2－8a·b＝16×1＋4－8×1×2×cos ＝12.∴|4a－b|＝2. [答案]　C 2．(2018·江西重點高中模擬考試)在△ABC中，D，E分別為BC，AB的中點，F(xiàn)為AD的中點，若·＝－1，AB＝2AC＝2，則·的值為(　　) A. B. C. D. [解析]　因

2、為＝＝(＋)，＝－＝－，所以·＝(＋)＝2－·－2＝×4－×(－1)－＝，應選答案B. [答案]　B 3．(2018·鄭州市質(zhì)檢)在△ABC中，若2＝·＋·＋·，則△ABC是(　　) A．等邊三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．直角三角形 [解析]　依題意得2＝·(＋)＋·＝2＋·，所以·＝0，⊥，△ABC是直角三角形，故選D. [答案]　D 4．(2018·吉大附中第七次模擬)設單位向量e1，e2的夾角為，a＝e1＋2e2，b＝－3e2，則a在b方向上的投影為(　　) A．－ B．－ C. D. [解析]　由題意可得：e1·e2＝1×1×cosπ＝－

3、， a·b＝(e1＋2e2)·(－3e2)＝－3e1·e2＋6e＝－， |a|＝＝，|b|＝， 據(jù)此可得：a在b方向上的投影為＝－. 本題選擇B選項． [答案]　B 5．(2016·山東高考)已知非零向量m，n滿足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(tm＋n)，則實數(shù)t的值為(　　) A．4 B．－4 C. D．－ [解析]　∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0， 即tm·n＋|n|2＝0， ∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n2|＝0. 又4|m|＝3|n|，∴t×|n|2×＋|n|2＝0， 解得t＝－4. 故選B. [答案]　B 6

4、．(2018·江西宜春二模)已知向量與的夾角為θ，||＝2，||＝1，＝t，＝(1－t)，||在t0時取最小值，當0

5、7．(2017·天津)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，則λ的值為______． [解析]　·＝3×2×cos 60°＝3，＝＋，則·＝(λ－)＝×3＋×4－×9－×3＝－4?λ＝. [答案]　 8．(2018·江西省七校聯(lián)考)已知a＝(3,2)，b＝(2，－1)，若向量λa＋b與a＋λb的夾角為銳角，則實數(shù)λ的取值范圍是______． [解析]　依題意，(λa＋b)·(a＋λb)＝λa2＋λb2＋(λ2＋1)a·b>0，即4λ2＋18λ＋4>0，由此解得λ>或λ<.注意到當λa＋b與a＋λb同向共線時，λ＝1，(λa＋b)·(a＋λ

6、b)>0.因此，所求的實數(shù)λ的取值范圍是λ>或λ<且λ≠1. [答案]　λ>或λ<且λ≠1 9．(2018·石家莊市質(zhì)檢)在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E為BC的中點，若F為該矩形內(nèi)(含邊界)任意一點，則·的最大值為______． [解析]　如圖，以A為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則E，設F(x，y)，則，·＝2x＋y，令z＝2x＋y，當z＝2x＋y過點(2,1)時，·取最大值. [答案]　 10．(2018·青島診斷)已知向量a＝，b＝，實數(shù)k為大于零的常數(shù)，函數(shù)f(x)＝a·b，x∈R，且函數(shù)f(x)的最大值為. (1)求k的值． (2)在△A

7、BC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊，若

8、0(1－)，所以·的最小值為20(1－)． [B能力提升練] 1．(2018·廈門質(zhì)檢)已知點O，N，P在△ABC所在的平面內(nèi)，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，則點O，N，P依次是△ABC的(　　) A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、內(nèi)心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、內(nèi)心 [解析]　因為||＝||＝||，所以點O到三角形的三個頂點的距離相等，所以O為三角形ABC的外心；由＋＋＝0，得＋＝－＝，由中線的性質(zhì)可知點N在三角形AB邊的中線上，同理可得點N在其他邊的中線上，所以點N為三角形ABC的重心；由·＝·＝·，得·－·＝·＝0，則點P在AC邊的垂線上，同理可

9、得點P在其他邊的垂線上，所以點P為三角形ABC的垂心． [答案]　C 2．(2018·湖南衡陽第三次聯(lián)考)如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點，·＝4，·＝－1，則·的值是(　　) A．4 B．8 C. D. [解析]　因為D是BC的中點，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點，所以＝＋，＝－＋， ＝＋3，＝－＋3. 所以·＝2－2＝－1， ·＝92－2＝4，所以2＝，2＝， 又因為＝＋2，＝－＋， 所以·＝42－2＝，故選C. [答案]　C 3．已知⊥，||＝，||＝t，若點P是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且＝＋，則·的最大值等于______

10、． [解析]　建立如圖所示坐標系， 則B，C(0，t)，＝，＝(0，t)， ＝＋＝t＋(0，t)＝(1,4)， ∴P(1,4)，·＝·(－t，t－4) ＝17－≤17－2＝13. [答案]　13 4．(2017·課標Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若＝λ＋μ，則λ＋μ的最大值為(　　) A．3 B．2 C. D．2 [解析]　如圖所示，建立平面直角坐標系 設A(0,1)，B(0,0)，C(2,0)，D(2,1)，P(x，y)， 根據(jù)等面積公式可得圓的半徑r＝， 即圓C的方程是(x－2)2＋y2＝，＝(x，

11、y－1)， ＝(0，－1)，＝(2,0)，若滿足＝λ＋μ， 即，μ＝，λ＝1－y， 所以λ＋μ＝－y＋1，設z＝－y＋1， 即－y＋1－z＝0， 點P(x，y)在圓(x－2)2＋y2＝上， 所以圓心到直線的距離d≤r，即≤， 解得1≤z≤3，所以z的最大值是3， 即λ＋μ的最大值是3，故選A. [答案]　A 5．(2018·青島模擬)在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知向量a＝(－1,2)，又點A(8,0)，B(n，t)，C(ksin θ，t). (1)若⊥a，且||＝||，求向量； (2)若向量與向量a共線，當k>4，且tsin θ取最大值4時，求·. [解]　(

12、1)由題設知＝(n－8，t)，∵⊥a， ∴8－n＋2t＝0.又∵||＝||， ∴5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，得t＝±8. 當t＝8時，n＝24；當t＝－8時，n＝－8， ∴＝(24,8)或＝(－8，－8)． (2)由題設知＝(ksin θ－8，t)， ∵與a共線，∴t＝－2ksin θ＋16， tsin θ＝(－2ksin θ＋16)sin θ ＝－2k2＋. ∵k>4，∴0<<1， ∴當sin θ＝時，tsin θ取得最大值. 由＝4，得k＝8，此時θ＝，＝(4,8)， ∴·＝(8,0)·(4,8)＝32. [C尖子生專練] (2018·云南省昆明三中第

13、三次綜合測試)已知m＝(2cos x,1)，n＝(cos x，sin 2x＋a)，f(x)＝m·n. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間； (2)當x∈時，f(x)的最大值為，且在此范圍內(nèi)，關于x的方程f(x)＝k恰有2個解，確定a的值，并求k的范圍． [解]　(1)f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a ＝cos 2x＋sin 2x＋a＋1＝sin＋a＋1， ∴該函數(shù)的最小正周期為：T＝＝π. 令2x＋∈，k∈Z； 2kπ－<2x＋<2kπ＋ kπ－π