2022高中數(shù)學(xué) 第2章 平面解析幾何初步 第二節(jié) 圓與方程3 圓與圓的位置關(guān)系學(xué)案 蘇教版必修2

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1、2022高中數(shù)學(xué) 第2章 平面解析幾何初步 第二節(jié) 圓與方程3 圓與圓的位置關(guān)系學(xué)案 蘇教版必修2 一、考點(diǎn)突破 知識(shí)點(diǎn) 課標(biāo)要求 題型 說(shuō)明 圓與圓的位置關(guān)系 1. 能根據(jù)兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系； 2. 能根據(jù)兩圓的位置關(guān)系求有關(guān)直線或圓的方程 選擇題 填空題 解答題 在學(xué)習(xí)過(guò)程中理解解析法在處理圓與圓位置關(guān)系問(wèn)題中的優(yōu)越性，強(qiáng)化學(xué)生用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的意識(shí) 二、重難點(diǎn)提示 重點(diǎn)：掌握用幾何法和解析法判斷圓與圓的位置關(guān)系的方法；能用圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。 難點(diǎn)：靈活地運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”、解析法來(lái)解決圓與圓的相關(guān)問(wèn)題。 考點(diǎn)一：

2、圓與圓的位置關(guān)系及判斷方法 1. 圓與圓的位置關(guān)系 圓與圓的位置關(guān)系有五種，分別為：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含。 2. 圓與圓的位置關(guān)系的判定 （1）幾何法：若兩圓的半徑分別為r1、r2（r1≠r2），兩圓的圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下： 外離 外切 相交 內(nèi)切 內(nèi)含 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|

3、線，有如下結(jié)論： 1. 兩圓外離時(shí)，有四條公切線，外公切線的交點(diǎn)與內(nèi)公切線的交點(diǎn)在兩圓心所在直線上； 2. 兩圓外切時(shí)，有三條公切線，兩圓圓心的連線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)； 3. 兩圓相交時(shí)，有兩條公切線，兩圓圓心的連線垂直平分公共弦； 4. 兩圓內(nèi)切時(shí)，有一條公切線，切點(diǎn)在兩圓圓心所在直線上； 5. 兩圓內(nèi)含時(shí)，無(wú)公切線。 考點(diǎn)三：圓系方程 1. 具有某一共同性質(zhì)的所有圓的集合叫作圓系，它的方程叫作圓系方程。 2. 常見(jiàn)的圓系方程 ①同心圓系：與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0同心的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋A＝0； ②過(guò)直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F

4、＝0交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）＝0； ③過(guò)兩圓x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（λ≠－1），此圓系內(nèi)不含x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，當(dāng)λ＝－1時(shí)，表示兩圓公共弦所在的直線方程。 【規(guī)律總結(jié)】?jī)蓤A相交公共弦長(zhǎng)的求法： ①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)距離公式求弦長(zhǎng)。 ②幾何法：求出公共弦所在直線的方程（即把兩圓的方程作差消去x2和y2就得到兩圓的公共弦所在的直線方程），利用圓的半徑、半徑

5、長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦長(zhǎng)。 【特別提示】 ① 求公共弦長(zhǎng)時(shí)，幾何法比代數(shù)法簡(jiǎn)單且易求； ② 兩圓的公共弦被兩圓圓心連線垂直平分。 例題1 （兩圓位置關(guān)系的判定） a為何值時(shí)，兩圓x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0（1）外切；（2）相交；（3）相離。 思路分析：兩圓的圓心和半徑→圓心距|C1C2|→r1＋r2與|r1－r2|→兩圓的位置關(guān)系。 答案：將兩圓方程寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)方程（x－a）2＋（y＋2）2＝9，（x＋1）2＋（y－a）2＝4。 設(shè)兩圓的圓心距為d，則d2＝（a＋1）2＋（－2－a）2＝2a2＋

6、6a＋5。 （1）當(dāng)d＝5，即2a2＋6a＋5＝25時(shí)，兩圓外切，此時(shí)a＝－5或2。 （2）當(dāng)1＜d＜5，即1＜2a2＋6a＋5＜25時(shí)，兩圓相交， 此時(shí)－5＜a＜－2或－1＜a＜2。 （3）當(dāng)d＞5，即2a2＋6a＋5＞25時(shí)，兩圓相離，此時(shí)a＞2或a＜－5。 技巧點(diǎn)撥：和判斷直線與圓的位置關(guān)系一樣，判斷兩圓的位置關(guān)系也可以用代數(shù)法求方程組解的個(gè)數(shù)，但由于解兩個(gè)二元二次方程組計(jì)算量較大，較為麻煩，而且當(dāng)無(wú)解或是一解時(shí)往往還得重新用幾何法來(lái)討論，不如直接運(yùn)用幾何法簡(jiǎn)便。故求解此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是利用圓心距與半徑和或差的關(guān)系列出關(guān)系式。 例題2 （兩圓公切線的求法） 已知圓：和圓

7、：，求、的公切線方程。 思路分析：根據(jù)題意判斷兩圓外離，利用待定系數(shù)法列方程解得。 答案：，；，。則。所以?xún)蓤A外離，有四條公切線。設(shè)切線方程為，即，則 ，兩式相除得，化簡(jiǎn)得或 當(dāng)時(shí)，代入得，解得或 則時(shí)，；時(shí)， 此時(shí)切線方程為或。 當(dāng)時(shí)，代入得，解得。此時(shí)切線方程為。當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線與兩圓也相切。 綜上所述，所求公切線方程為或或或。 技巧點(diǎn)撥： 先判斷兩圓位置關(guān)系，從而判斷公切線條數(shù)，這樣不易丟解。除此，還需要注意斜率不存在的情況。 圓系方程的應(yīng)用 【滿分訓(xùn)練】求過(guò)直線2x＋y＋4＝0與圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交點(diǎn)，且面積最小的圓的方程。 思

8、路分析：本題求面積最小的圓即求以?xún)山稽c(diǎn)之間的距離為直徑的圓，可由過(guò)圓與直線交點(diǎn)的圓系方程求解。 答案：設(shè)過(guò)圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0與直線2x＋y＋4＝0的交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ（2x＋y＋4）＝0， 整理得x2＋y2＋2（1＋λ）x－（4－λ）y＋1＋4λ＝0。 要使圓的面積最小，只需半徑長(zhǎng)λ最小。 ∵r＝＝≥＝， ∴當(dāng)λ＝時(shí)，半徑長(zhǎng)r最小，此時(shí)圓的方程為x2＋y2＋x－y＋＝0， 即（x＋）2＋（y－）2＝。 技巧點(diǎn)撥：解答此類(lèi)問(wèn)題一般有如下兩種方法： （1）聯(lián)立方程組，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)求方程； （2）設(shè)圓系方程確定參數(shù)，一般地，過(guò)直線l：Ax＋By＋C＝0與圓O：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F>0）的交點(diǎn)的圓系方程可設(shè)為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）＝0，但注意參數(shù)λ一定要寫(xiě)在直線方程之前。