高中數(shù)學(xué) 第一、二章 基本初等函數(shù)Ⅱ 平面向量綜合測試題 新人教B版必修4

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1、高中數(shù)學(xué) 第一、二章 基本初等函數(shù)Ⅱ 平面向量綜合測試題 新人教B版必修4 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，其中有且僅有一個是正確的．) 1．下列各式中，不能化簡為的是(　　) A．(＋)＋　　 B．(＋)＋(＋) C．＋－ D．－＋ [答案]　C [解析]　A中，(＋)＋＝＋＋＝； B中，(＋)＋(＋)＝＋＋＝. C中，＋－＝＋＋＝2＋； D中，－＋＝＋＝，故選C. 2．設(shè)a、b、c是非零向量，下列命題正確的是(　　) A．(a·b)·c＝a·(b·c) B．|a－b|2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2 C．若|a|

2、＝|b|＝|a＋b|，則a與b的夾角為60° D．若|a|＝|b|＝|a－b|，則a與b的夾角為60° [答案]　D [解析]　對于A，數(shù)量積的運(yùn)算不滿足結(jié)合律，A錯；對于B，|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝|a|2－2|a||b|·cos＋|b|2，B錯，對于C、D，由三角形法則知|a|＝|b|＝|a－b|組成的三角形為正三角形，則＝60°，∴D正確． 3．(xx·山東曲阜師范附屬中學(xué)高一模塊測試)已知一個扇形的半徑為1，弧長為4，則該扇形的面積為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [答案]　B [解析]　扇形的面積S＝lR＝×4×1＝2

3、. 4．(xx·湖北長陽一中高一月考)下列說法正確的是(　　) A．第三象限的角比第二象限的角大 B．若sinα＝，則α＝ C．三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角 D．不論用角度制還是弧度制度量一個角，它們與扇形所對應(yīng)的半徑的大小無關(guān) [答案]　D [解析]?。?20°是第三象限角，120°是第二象限角，而－120°<120，排除A；若sinα＝，則α＝＋2kπ或α＝＋2kπ(k∈Z)，排除B；當(dāng)三角的內(nèi)角等于90°時，它既不是第一象限，也不是第二象限，排除C，故選D. 5．已知△ABC中，點D在BC邊上，且＝2，＝r＋s，則r＋s的值是(　　) A． B． C．－3 D

4、．0 [答案]　D [解析]?。剑?，＝－， ∴＝－－＝－－， ∴＝－， ∴＝－，又＝r＋s， ∴r＝，s＝－，∴r＋s＝0，故選D. 6．在△ABC中，D、E、F分別是BC、CA、AB的中點，點M是△ABC的重心，則＋－等于(　　) A．0 B．4 C．4 D．4 [答案]　C [解析]　如圖， 由已知得，＋＝2，又∵M(jìn)為△ABC的重心， ∴|MC|＝2|MF|，∴－＝＝2， ∴＋－＝4. 7．如圖所示，點P在∠AOB的對角區(qū)域MON內(nèi)，且滿足＝x＋y，則實數(shù)對(x，y)可以是(　　) A．(，－) B．(，) C．(－，－) D．(－，) [答

5、案]　C [解析]　向量用基底、表示具有惟一性，結(jié)合圖形知x<0，y<0，故選C. 8．(xx·江西九江外國語高一月考)已知sin(α＋75°)＝，則cos(α－15°)＝(　　) A． B．－ C． D．－ [答案]　C [解析]　∵cos(15°－α)＝sin(α＋75°)＝，∴cos(α－15°)＝cos(15°－α)＝. 9．函數(shù)f(x)＝sin的圖象相鄰的兩個零點之間的距離是(　　) A． B． C． D．2π [答案]　B [解析]　函數(shù)y＝sin的圖象相鄰的兩個零 點之間的距離為半個周期，又T＝＝，∴＝. 10．函數(shù)y＝cos的一個對稱中心為(　　)

6、A． B． C． D． [答案]　C [解析]　y＝cos＝cos， 令3x－＝kπ＋(k∈Z)，∴x＝＋(k∈Z)． 當(dāng)k＝0時，x＝，故選C. 11．已知向量＝(4,6)，＝(3,5)，且⊥，∥，則向量等于(　　) A．(－，) B．(－，) C．(，－) D．(，－) [答案]　D [解析]　設(shè)＝(x，y)，則＝－＝(x－4，y－6)．∵⊥，∥， ∴，解得.∴＝(，－)． 12．△ABC為等邊三角形，且邊長為2，點M滿足＝2，則·＝(　　) A．6 B．3 C．15 D．12 [答案]　A [解析]　如圖， ∵＝2，∴AB＝AM＝2， 又∵△A

7、BC為等邊三角形， ∴∠BAC＝60°，即∠CAM＝120°. 又AM＝AC，∴∠AMC＝∠ACM＝30°，∴∠BCM＝90°. ∴CM＝＝＝2. ∴·＝||·||cos30°＝2×2×＝6. 第Ⅱ卷(非選擇題　共90分) 二、填空題(本大題共4個小題，每空4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上) 13．已知sinα、cosα是方程2x2－x－m＝0的兩根，則m＝________. [答案]　 [解析]　由題意，得， 解得m＝，又m＝時滿足方程2x2－x－m＝0有兩根． 14．已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，則 (1)與2a＋b同向的單位向量的坐標(biāo)表示為___

8、_____； (2)向量b－3a與向量a夾角的余弦值為________． [答案]　(1)(，)　(2)－ [解析]　(1)2a＋b＝2(1,0)＋(1,1)＝(3,1)，∴與2a＋b同向的單位向量為(，)． (2)cos〈a，b－3a〉＝＝＝－. 15．已知函數(shù)f(x)＝asin2x＋cos2x(a∈R)的圖象的一條對稱軸方程為x＝，則a的值為________． [答案]　 [解析]　由題意，得f(0)＝f，即asin0＋cos0＝asin＋cos， ∴a＝，∴a＝. 16．設(shè)單位向量m＝(x，y)，b＝(2，－1)．若m⊥b，則|x＋2y|＝________. [答案]

9、　 [解析]　本題考查了向量垂直，坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積等．由m⊥b知m·b＝0，即2x－y＝0　①，又由m為單位向量，所以|m|＝1，即x2＋y2＝1　②，由①②聯(lián)立解得或，所以|x＋2y|＝. 三、解答題(本大題共6個大題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分12分)(xx·安徽合肥市撮鎮(zhèn)中學(xué)高一月考) (1)已知A(1,2)、B(3,5)、C(9,14)，求證：A、B、C三點共線； (2)已知|a|＝2，|b|＝3，(a－2b)·(2a＋b)＝－1，求a與b的夾角． [解析]　(1)＝(2,3)，＝(8,12)， ∴＝4， ∴與共線． 又

10、∵與有公共點A， ∴A、B、C三點共線. (2)設(shè)a與b的夾角為θ， 則(a－2b)·(2a＋b)＝2a2－3a·b－2b2＝2×4－3×2×3×cosθ－2×9＝－10－18cosθ＝－1， ∴cosθ＝－. ∵θ∈[0，π]，∴θ＝. 18．(本小題滿分12分)已知兩個非零向量a、b滿足(a＋b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，求a與b的夾角的余弦值． [解析]　由(a＋b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)， 得 即 由①×3＋②得a2＝b2， ∴|a|2＝|b|2，即|a|＝|b|. ③ 由①得a·b＝b2－2a2＝|b|2－2×|b|2

11、 ＝－b2， ④ 由③④可得cosθ＝＝ ＝－.∴a、b的夾角的余弦值為－. 19．(本小題滿分12分)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx－)＋1(A>0，ω>0)的最大值為3，其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為. (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)設(shè)α∈(0，)，f()＝2，求α的值． [解析]　(1)∵函數(shù)f(x)的最大值為3， ∴A＋1＝3，即A＝2. ∵函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為， ∴最小正周期T＝π，∴ω＝2. 故函數(shù)f(x)的解析式為y＝2sin(2x－)＋1. (2)∵f()＝2sin(α－)＋1＝2， 即sin(α－)＝， ∵0<α<，∴－<

12、α－<， ∴α－＝，故α＝. 20．(本小題滿分12分)已知a＝3i－4j，a＋b＝4i－3j， (1)求向量a、b的夾角； (2)對非零向量p、q，如果存在不為零的常數(shù)α、β使αp＋βq＝0，那么稱向量p、q是線性相關(guān)的，否則稱向量p、q是線性無關(guān)的．向量a、b是線性相關(guān)還是線性無關(guān)的？為什么？ [解析]　(1)b＝(a＋b)－a＝i＋j，設(shè)a與b夾角為θ，根據(jù)兩向量夾角公式： cosθ＝＝＝－. 故夾角θ＝π－arccos. (2)設(shè)常數(shù)α，β使得αa＋βb＝0， 那么?， 所以不存在非零常數(shù)α，β，使得αa＋βb＝0成立．故a和b線性無關(guān)． 21．(本小題滿分12分

13、)如圖所示，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|≤)的圖象上相鄰的最高點與最低點的坐標(biāo)分別為和，求該函數(shù)的解析式． [解析]　由題意知A＝3，設(shè)最小正周期為T， 則＝－＝， ∴T＝π，又T＝，∴ω＝2. ∴函數(shù)解析式為y＝3sin(2x＋φ)． ∵點在圖象上， ∴3＝3sin， ∴sin＝1. ∴＋φ＝2kπ＋， ∴φ＝2kπ－，k∈Z. ∵|φ|≤，∴φ＝－. ∴函數(shù)的解析式為y＝3sin. 22．(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)＝2sin(3ωx＋)，其中ω>0. (1)若f(x＋θ)是周期為2π的偶函數(shù)，求ω及θ的值； (2)若f(x)

14、在(0，]上是增函數(shù)，求ω的最大值． [解析]　(1)由函數(shù)解析式f(x)＝2sin(3ωx＋)，ω>0整理可得f(x＋θ)＝2sin[3ω(x＋θ)＋]＝2sin(3ωx＋3ωθ＋)，由f(x＋θ)的周期為2π，根據(jù)周期公式2π＝，且ω>0，得ω＝，∴f(x＋θ)＝2sin(x＋θ＋)， ∵f(x＋θ)為偶函數(shù)，定義域x∈R關(guān)于原點對稱， 令g(x)＝f(x＋θ)＝2sin(x＋θ＋)， ∴g(－x)＝g(x)， 2sin(x＋θ＋)＝2sin(－x＋θ＋)， ∴x＋θ＋＝π－(－x＋θ＋)＋2kπ，k∈Z， ∴θ＝kπ＋，k∈Z.∴ω＝，θ＝kπ＋，k∈Z. (2)∵ω>0，∴2kπ－≤3ωx＋≤＋2kπ，k∈Z， ∴－≤x≤＋，k∈Z，若f(x)在(0，]上是增函數(shù)，∴(0，]為函數(shù)f(x)的增區(qū)間的子區(qū)間，∴≥，∴ω≤，∴ωmax＝.