2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題提能二 三角與向量的創(chuàng)新考法與學(xué)科素養(yǎng)能力訓(xùn)練 理

2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題提能二 三角與向量的創(chuàng)新考法與學(xué)科素養(yǎng)能力訓(xùn)練 理一、選擇題1定義：|a×b|a|b|sin ，其中為向量a與b的夾角，若|a|2，|b|5，a·b6，則|a×b|等于()A8B8C8或8D6解析：由|a|2，|b|5，a·b6，可得2×5 cos 6cos .又0，所以sin .從而|a×b|2×5×8.答案：B2已知外接圓半徑為R的ABC的周長為(2)R，則sin Asin Bsin C()A1B1C.D.解析：由正弦定理知abc2R(sin Asin Bsin C)(2)R，所以sin Asin Bsin C1，故選A.答案：A3設(shè)a，b為非零向量，|b|2|a|，兩組向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2個(gè)a和2個(gè)b排列而成若x1·y1x2·y2x3·y3x4·y4所有可能取值中的最小值為4|a|2，則a與b的夾角為()A.B.C.D0解析：設(shè)Sx1·y1x2·y2x3·y3x4·y4，若S的表達(dá)式中有0個(gè)a·b，則S2a22b2，記為S1，若S的表達(dá)式中有2個(gè)a·b，則Sa2b22a·b，記為S2，若S的表達(dá)式中有4個(gè)a·b，則S4a·b，記為S3.又|b|2|a|，所以S1S32a22b24a·b2(ab)20，S1S2a2b22a·b(ab)20，S2S3(ab)20，所以S3S2S1，故SminS34a·b，設(shè)a，b的夾角為，則Smin4a·b8|a|2cos 4|a|2，即cos ，又0，所以.答案：B4已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的動點(diǎn)，則|的最小值為()A5B4C3D6解析：建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則A(2,0)，設(shè)P(0，y)，C(0，b)，則B(1，b)，則3(2，y)3(1，by)(5,3b4y)所以|3|(0yb)當(dāng)yb時(shí)，|3|min5.答案：A二、填空題5(2018·石家莊質(zhì)檢)非零向量m，n的夾角為，且滿足|n|m|(0)，向量組x1，x2，x3由一個(gè)m和兩個(gè)n排列而成，向量組y1，y2，y3由兩個(gè)m和一個(gè)n排列而成，若x1·y1x2·y2x3·y3所有可能值中的最小值為4m2，則_.解析：由題意，x1·y1x2·y2x3·y3的運(yùn)算結(jié)果有以下兩種可能：m2m·nn2m2|m|m|cos2m2(21)m2；m·nm·nm·n3|m|·|m|cosm2.又2121()20，所以m24m2，即4，解得.答案：6定義平面向量的一種運(yùn)算ab|ab|×|ab|×sina，b，其中a，b是a與b的夾角，給出下列命題：若a，b90，則aba2b2；若|a|b|，則(ab)(ab)4a·b；若|a|b|，則ab2|a|2；若a(1,2)，b(2,2)，則(ab)b.其中真命題的序號是_解析：中，因?yàn)閍，b90，則ab|ab|×|ab|a2b2，所以成立；中，因?yàn)閨a|b|，所以(ab)，(ab)90，所以(ab)(ab)|2a|×|2b|4|a|b|，所以不成立；中，因?yàn)閨a|b|，所以ab|ab|×|ab|sina，b|ab|×|ab|2|a|2，所以成立；中，因?yàn)閍(1,2)，b(2,2)，所以ab(1,4)，sin(ab)，b，所以(a b)b3××，所以不成立故真命題的序號是.答案：7設(shè)非零向量a，b的夾角為，記f(a，b)acos bsin .若e1，e2均為單位向量，且e1·e2，則向量f(e1，e2)與f(e2，e1)的夾角為_解析：由e1·e1，可得cose1，e2，故e1，e2，e2，e1e2，e1.f(e1，e2)e1cose2sine1e2，f(e2，e1)e2cos(e1)sine1e2.f(e1，e2)·f(e2，e1)(e1e2)·e1·e20，所以f(e1，e2)f(e2，e1)故向量f(e1，e2)與f(e2，e1)的夾角為.答案：8對任意兩個(gè)非零的平面向量和，定義。.若平面向量a，b滿足|a|b|0，a與b的夾角，且a。b和b。a都在集合中，則a。b_.解析：a。b，b。a.，cos 1.又|a|b|0，01.0cos 1，即0b。a1.b。a， b。a.×，得(a。b)×(b。a)cos2 ，(a。b)1，即1a。b2，a。b.答案：9三國魏人劉徽，自撰海島算經(jīng)，專論測高望遠(yuǎn)其中有一題：今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千歲，令后表與前表相直從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合從后表卻行百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合問島高及去表各幾何？譯文如下：要測量海島上一座山峰A的高度AH，立兩根高均為3丈的標(biāo)桿BC和DE，前后標(biāo)桿相距1 000步，使后標(biāo)桿桿腳D與前標(biāo)桿桿腳B與山峰腳H在同一直線上，從前標(biāo)桿桿腳B退行123步到F，人眼著地觀測到島峰，A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線，從后標(biāo)桿桿腳D退行127步到G，人眼著地觀測到島峰，A，E，G三點(diǎn)也共線，問島峰的高度AH_步(古制：1步6尺，1里180丈1 800 尺300步)解析：如圖所示，由題意知BCDE5步，BF123步，DG127步，設(shè)AHh步，因?yàn)锽CAH，所以BCFHAF，所以，所以，即HF.因?yàn)镈EAH，所以GDEGHA，所以，所以，即HG，由題意(HG127)(HF123)1 000，即41 000，h1 255，即AH1 255步答案：1 255三、解答題10(2018·泰安模擬)已知下凸函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)滿足f.若函數(shù)ytan x在上是下凸函數(shù)，那么在銳角ABC中，求tan Atan Btan C的最小值解析：因?yàn)閥tan x在上是下凸函數(shù)，則(tan Atan Btan C)tantan ，即tan Atan Btan C3，當(dāng)且僅當(dāng)tan Atan Btan C，即ABC時(shí)，取等號，所以tan Atan Btan C的最小值為3.11在ABC中，邊a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對的邊，且滿足2sin Bsin Asin C，設(shè)B的最大值為B0.(1)求B0的值；(2)當(dāng)BB0，a3，c6，時(shí)，求CD的長解析：(1)由題設(shè)及正弦定理知，2bac，即b.由余弦定理知，cos B.當(dāng)且僅當(dāng)a2c2，即ac時(shí)等號成立ycos x在(0，)上單調(diào)遞減，B的最大值B0.(2)BB0，a3，c6，b3，c2a2b2，即C，A，由，知ADAB2，在ACD中，由余弦定理得CD.12在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，·8，BAC，a4.(1)求bc的最大值及的取值范圍；(2)求函數(shù)f()sin 2cos 21的最大值和最小值解析：(1)由已知得·bccos 8，b2c22bccos 42，故b2c232.又b2c22bc，所以bc16(當(dāng)且僅當(dāng)bc4時(shí)等號成立)，即bc的最大值為16.即16，所以cos .又0，所以0，即的取值范圍是.(2)f()sin 2cos 212sin1.因?yàn)?，所以2，sin1.當(dāng)2，即時(shí)，f()min2×12；當(dāng)2，即時(shí)，f()max2×113.