2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題提能二 三角與向量的創(chuàng)新考法與學(xué)科素養(yǎng)能力訓(xùn)練 理

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1、2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題提能二 三角與向量的創(chuàng)新考法與學(xué)科素養(yǎng)能力訓(xùn)練 理一、選擇題1定義:|ab|a|b|sin ,其中為向量a與b的夾角,若|a|2,|b|5,ab6,則|ab|等于()A8B8C8或8D6解析:由|a|2,|b|5,ab6,可得25 cos 6cos .又0,所以sin .從而|ab|258.答案:B2已知外接圓半徑為R的ABC的周長為(2)R,則sin Asin Bsin C()A1B1C.D.解析:由正弦定理知abc2R(sin Asin Bsin C)(2)R,所以sin Asin Bsin C1,故選A.答案:A3設(shè)a,b為非零向量,|b|2|a|,兩組向量

2、x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2個(gè)a和2個(gè)b排列而成若x1y1x2y2x3y3x4y4所有可能取值中的最小值為4|a|2,則a與b的夾角為()A.B.C.D0解析:設(shè)Sx1y1x2y2x3y3x4y4,若S的表達(dá)式中有0個(gè)ab,則S2a22b2,記為S1,若S的表達(dá)式中有2個(gè)ab,則Sa2b22ab,記為S2,若S的表達(dá)式中有4個(gè)ab,則S4ab,記為S3.又|b|2|a|,所以S1S32a22b24ab2(ab)20,S1S2a2b22ab(ab)20,S2S3(ab)20,所以S3S2S1,故SminS34ab,設(shè)a,b的夾角為,則Smin4ab8|a|2cos 4|a

3、|2,即cos ,又0,所以.答案:B4已知直角梯形ABCD中,ADBC,ADC90,AD2,BC1,P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn),則|的最小值為()A5B4C3D6解析:建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示,則A(2,0),設(shè)P(0,y),C(0,b),則B(1,b),則3(2,y)3(1,by)(5,3b4y)所以|3|(0yb)當(dāng)yb時(shí),|3|min5.答案:A二、填空題5(2018石家莊質(zhì)檢)非零向量m,n的夾角為,且滿足|n|m|(0),向量組x1,x2,x3由一個(gè)m和兩個(gè)n排列而成,向量組y1,y2,y3由兩個(gè)m和一個(gè)n排列而成,若x1y1x2y2x3y3所有可能值中的最小值為4m2,則_.解析:由題

4、意,x1y1x2y2x3y3的運(yùn)算結(jié)果有以下兩種可能:m2mnn2m2|m|m|cos2m2(21)m2;mnmnmn3|m|m|cosm2.又2121()20,所以m24m2,即4,解得.答案:6定義平面向量的一種運(yùn)算ab|ab|ab|sina,b,其中a,b是a與b的夾角,給出下列命題:若a,b90,則aba2b2;若|a|b|,則(ab)(ab)4ab;若|a|b|,則ab2|a|2;若a(1,2),b(2,2),則(ab)b.其中真命題的序號(hào)是_解析:中,因?yàn)閍,b90,則ab|ab|ab|a2b2,所以成立;中,因?yàn)閨a|b|,所以(ab),(ab)90,所以(ab)(ab)|2a|

5、2b|4|a|b|,所以不成立;中,因?yàn)閨a|b|,所以ab|ab|ab|sina,b|ab|ab|2|a|2,所以成立;中,因?yàn)閍(1,2),b(2,2),所以ab(1,4),sin(ab),b,所以(a b)b3,所以不成立故真命題的序號(hào)是.答案:7設(shè)非零向量a,b的夾角為,記f(a,b)acos bsin .若e1,e2均為單位向量,且e1e2,則向量f(e1,e2)與f(e2,e1)的夾角為_解析:由e1e1,可得cose1,e2,故e1,e2,e2,e1e2,e1.f(e1,e2)e1cose2sine1e2,f(e2,e1)e2cos(e1)sine1e2.f(e1,e2)f(e2

6、,e1)(e1e2)e1e20,所以f(e1,e2)f(e2,e1)故向量f(e1,e2)與f(e2,e1)的夾角為.答案:8對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量和,定義。.若平面向量a,b滿足|a|b|0,a與b的夾角,且a。b和b。a都在集合中,則a。b_.解析:a。b,b。a.,cos 1.又|a|b|0,01.0cos 1,即0b。a1.b。a, b。a.,得(a。b)(b。a)cos2 ,(a。b)1,即1a。b2,a。b.答案:9三國魏人劉徽,自撰海島算經(jīng),專論測(cè)高望遠(yuǎn)其中有一題:今有望海島,立兩表齊,高三丈,前后相去千歲,令后表與前表相直從前表卻行一百二十三步,人目著地取望島峰,與表末參合從

7、后表卻行百二十七步,人目著地取望島峰,亦與表末參合問島高及去表各幾何?譯文如下:要測(cè)量海島上一座山峰A的高度AH,立兩根高均為3丈的標(biāo)桿BC和DE,前后標(biāo)桿相距1 000步,使后標(biāo)桿桿腳D與前標(biāo)桿桿腳B與山峰腳H在同一直線上,從前標(biāo)桿桿腳B退行123步到F,人眼著地觀測(cè)到島峰,A,C,F(xiàn)三點(diǎn)共線,從后標(biāo)桿桿腳D退行127步到G,人眼著地觀測(cè)到島峰,A,E,G三點(diǎn)也共線,問島峰的高度AH_步(古制:1步6尺,1里180丈1 800 尺300步)解析:如圖所示,由題意知BCDE5步,BF123步,DG127步,設(shè)AHh步,因?yàn)锽CAH,所以BCFHAF,所以,所以,即HF.因?yàn)镈EAH,所以GDE

8、GHA,所以,所以,即HG,由題意(HG127)(HF123)1 000,即41 000,h1 255,即AH1 255步答案:1 255三、解答題10(2018泰安模擬)已知下凸函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)滿足f.若函數(shù)ytan x在上是下凸函數(shù),那么在銳角ABC中,求tan Atan Btan C的最小值解析:因?yàn)閥tan x在上是下凸函數(shù),則(tan Atan Btan C)tantan ,即tan Atan Btan C3,當(dāng)且僅當(dāng)tan Atan Btan C,即ABC時(shí),取等號(hào),所以tan Atan Btan C的最小值為3.11在ABC中,邊a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊,且滿

9、足2sin Bsin Asin C,設(shè)B的最大值為B0.(1)求B0的值;(2)當(dāng)BB0,a3,c6,時(shí),求CD的長解析:(1)由題設(shè)及正弦定理知,2bac,即b.由余弦定理知,cos B.當(dāng)且僅當(dāng)a2c2,即ac時(shí)等號(hào)成立ycos x在(0,)上單調(diào)遞減,B的最大值B0.(2)BB0,a3,c6,b3,c2a2b2,即C,A,由,知ADAB2,在ACD中,由余弦定理得CD.12在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊長分別為a,b,c,8,BAC,a4.(1)求bc的最大值及的取值范圍;(2)求函數(shù)f()sin 2cos 21的最大值和最小值解析:(1)由已知得bccos 8,b2c22bccos 42,故b2c232.又b2c22bc,所以bc16(當(dāng)且僅當(dāng)bc4時(shí)等號(hào)成立),即bc的最大值為16.即16,所以cos .又0,所以0,即的取值范圍是.(2)f()sin 2cos 212sin1.因?yàn)?,所以2,sin1.當(dāng)2,即時(shí),f()min212;當(dāng)2,即時(shí),f()max2113.

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