2022高考數(shù)學大二輪復習 專題7 立體幾何 第2講 綜合大題部分增分強化練 理

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1、2022高考數(shù)學大二輪復習 專題7 立體幾何 第2講 綜合大題部分增分強化練 理 1．(2018·高考浙江卷)如圖，已知多面體ABC-A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2. (1)證明：AB1⊥平面A1B1C1； (2)求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值． 解析：(1)證明：如圖，以AC的中點O 為原點，分別以射線OB，OC為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標系O -xyz. 由題意知各點坐標如下： A(0，－，0)，B(1,0,0)，A1(0，－，4)，B1(1,0,2)，C1(

2、0，，1)． 因此＝(1，，2)，＝(1，，－2)，＝(0,2，－3)． 由·＝0，得AB1⊥A1B1. 由·＝0，得AB1⊥A1C1. 所以AB1⊥平面A1B1C1. (2)設直線AC1與平面ABB1所成的角為θ. 由(1)可知＝(0,2，1)，＝(1，，0)，＝(0,0,2)． 設平面ABB1的法向量為n＝(x，y，z)． 由得可取n＝(－，1,0)． 所以sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝. 因此，直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值是. 2. 如圖，在四棱錐P -ABCD中，底面ABCD是矩形，M為PD的中點，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.

3、(1)求證：AM⊥平面MCD； (2)求直線PC與平面MAC所成角的正弦值． 解析：(1)證明：因為PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD，又CD⊥AD，PA∩AD＝A， 所以CD⊥平面PAD，又AM?平面PAD， 所以CD⊥AM， 因為PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD， 所以PA⊥AD， 又PA＝AD＝4，且M為PD的中點， 所以AM⊥PD， 又CD∩PD＝D，所以AM⊥平面MCD. (2)因為PA⊥平面ABCD，AB⊥AD， 所以可建立如圖所示的空間直角坐標系， 則A(0,0,0)，P(0,0,4)，C(2,4,0)，M(0,2,2)．

4、設平面MAC的法向量為n＝(x，y，z)， 由n⊥，n⊥， 可得 令z＝1，則n＝(2，－1,1)． 設直線PC與平面MAC所成的角為α， 則sin α＝||＝， 所以直線PC與平面MAC所成角的正弦值為. 3．(2018·高考天津卷)如圖，AD∥BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG＝AD，CD∥FG且CD＝2FG，DG⊥平面ABCD，DA＝DC＝DG＝2. (1)若M為CF的中點，N為EG的中點，求證：MN∥平面CDE； (2)求二面角E -BC -F的正弦值； (3)若點P在線段DG上，且直線BP與平面ADGE所成的角為60°，求線段DP的長． 解析：

5、依題意，可以建立以D為原點，分別以、、的方向為x軸、y軸、z軸的正方向的空間直角坐標系(如圖)，可得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，E(2,0,2)，F(xiàn)(0,1,2)，G(0,0,2)，M(0，，1)，N(1,0,2)． (1)證明：依題意得＝(0,2,0)，＝(2,0,2)． 設n0＝(x，y，z)為平面CDE的法向量， 則即 不妨令z＝－1，可得n0＝(1,0，－1)． 又＝(1，－，1)，可得·n0＝0， 又因為直線MN?平面CDE，所以MN∥平面CDE. (2)依題意，可得＝(－1,0,0)，＝(1，－2,2)，＝(0，－1,2

6、)． 設n＝(x，y，z)為平面BCE的法向量，則 即不妨令z＝1，可得n＝(0,1,1)． 設m＝(x，y，z)為平面BCF的法向量，則 即不妨令z＝1，可得m＝(0,2,1)． 因此有cos〈m，n〉＝＝， 于是sin〈m，n〉＝. 所以，二面角E -BC -F的正弦值為. (3)設線段DP的長為h(h∈[0,2])，則點P的坐標為(0,0，h)，可得＝(－1，－2，h)．易知，＝(0,2,0)為平面ADGE的一個法向量，故 |cos〈，〉|＝＝， 由題意，可得＝sin 60°＝， 解得h＝∈[0,2]． 所以，線段DP的長為. 4. 如圖，底面為正方形的四棱錐E

7、 -ABCD中，BE⊥平面ABCD，點F，G分別在棱AB，EC上，且滿足AF＝2FB，CE＝3CG. (1)求證：FG∥平面ADE； (2)若BE＝AB，求二面角F -EG -B的正弦值． 解析：(1)證明：在棱BE上取點H，使得EH＝2HB，連接FH，GH(圖略)， 因為AF＝2FB，EH＝2HB， 所以FH∥AE. 同理可證GH∥BC. 又FH?平面ADE，AE?平面ADE， 所以FH∥平面ADE. 因為BC∥AD，所以GH∥AD. 又GH?平面ADE，AD?平面ADE， 所以GH∥平面ADE. 因為FH∩GH＝H， 所以平面FGH∥平面ADE. 因為FG?平面

8、FGH， 所以FG∥平面ADE. (2)依題意，以B為坐標原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系B -xyz，設AB＝3，則F(1,0,0)，E(0,3,0)，G(0,1,2)， 所以＝(－1,3,0)， ＝(－1,1,2)． 設平面EFG的法向量為n＝(x，y，z)， 則 即 取x＝3，則n＝(3,1,1)為平面EFG的一個法向量． 又平面EGB的法向量，即平面ECB的法向量，則＝(3,0,0)為平面EGB的一個法向量， 所以cos〈n，〉＝＝＝， 又二面角F -EG -B為銳角， 所以二面角F -EG -B的余弦值為， 所以二面角F -EG -B的正弦值為 ＝.