2022高中數(shù)學(xué) 第1章 立體幾何初步 第一節(jié) 空間幾何體2 圓柱、圓錐、圓臺和球?qū)W案 蘇教版必修2

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1、2022高中數(shù)學(xué) 第1章 立體幾何初步 第一節(jié) 空間幾何體2 圓柱、圓錐、圓臺和球?qū)W案 蘇教版必修2 一、考點突破 知識點 課標(biāo)要求 題型 說明 圓柱、圓錐、圓臺和球 1. 直觀了解柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征； 2. 了解復(fù)雜幾何體的組成情況，學(xué)會分析并掌握它們是由哪些簡單幾何體組合而成。 選擇題 填空題 引導(dǎo)學(xué)生從熟悉的物體入手，利用實物模型、計算機軟件觀察大量空間圖形，多角度、多層次地揭示空間圖形的本質(zhì)。按照從整體到局部、由具體到抽象的原則，讓學(xué)生認識棱柱、棱錐、棱臺的幾何結(jié)構(gòu)特征，進而通過空間圖形，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想象能力。 二、重難點提示

2、 圓柱、圓錐、圓臺及球的幾何結(jié)構(gòu)特征和簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征。 考點一：圓柱、圓錐、圓臺、球 （1）圓柱、圓錐、圓臺的定義及相關(guān)概念、表示 定義 圖形 表示 圓 柱 將矩形繞著它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做圓柱 記作：圓柱OO′ 圓 錐 將直角三角形繞著它的一直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做圓錐 記作：圓錐SO 圓 臺 將直角梯形繞著它垂直于底邊的腰所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做圓臺 記作：圓臺OO′ 球 將半圓面繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫球 記作：球O 【要點詮釋】 ① 幾何體與曲

3、面的區(qū)別：幾何體是“實心”的。例如圓柱的表面是指圓柱的上下底面及側(cè)面組成的曲面，它是“空心的”，不包括內(nèi)部。 ② 在圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面上不沿著母線是畫不出直線段的。 ③ 球體與球面是不同的，球體是幾何體，球面是曲線，但二者也有聯(lián)系，球面是球體的表面。 （2）圓柱、圓錐、圓臺和球的簡單畫法 畫圓柱、圓臺一般先畫一個底面，再畫兩條母線（過軸截面），最后畫另一個底面，如圖（1）、（3）；畫圓錐可以先畫母線（作為軸截面），再補上底面比較方便。如圖（2）；畫球一般先畫一個圓及其一條直徑（虛線），然后再以直徑為長軸作一個橢圓，如圖（4）。 （1） （2） （3） （4）

4、 （3）圓柱、圓錐、圓臺的性質(zhì) ① 平行與底面的截面是圓； ② 過軸的截面（簡稱軸截面），分別是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形； ③ 用平行于底面的平面去截圓錐，截面圓與底面圓半徑之比等于所截的小圓錐的母線與原圓錐的母線之比。 （4）圓柱、圓錐、圓臺、球的截面 ① 平行于底面的截面 A. 平行于圓柱底面的截面是與底面大小不同的圓面； B. 平行于圓錐底面的截面都是圓面； C. 平行于圓臺底面的截面都是圓面。 ② 軸截面 A. 圓柱中，過軸的截面（軸截面）是全等的矩形； B. 圓錐中，過軸的截面（軸截面）是全等的等腰三角形； C. 圓臺中，過軸的截面（軸截面）是全等的

5、等腰梯形。 ③ 球的截面 A. 用一個平面去截球，截面是圓面。其中，過球心的平面截得的叫大圓，被不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫小圓。 B. 截面的性質(zhì)：球心和截面圓心的連線垂直于截面。 考點二：旋轉(zhuǎn)面、旋轉(zhuǎn)體、組合體 （1）旋轉(zhuǎn)面與旋轉(zhuǎn)體 一條平面曲線繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面。封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體稱為旋轉(zhuǎn)體。 【要點詮釋】旋轉(zhuǎn)面與旋轉(zhuǎn)體的圖示 （2）組合體 由簡單幾何體組合而成的幾何體叫做簡單組合體。其構(gòu)成形式有兩種基本形式：一種是簡單幾何體拼接形成的；另一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而形成的。 【核心突破】 1. 圓柱、圓臺、圓錐

6、的關(guān)系如圖所示： 2. 處理臺體問題常采用還臺為錐的補體思想，處理組合體問題常采用分割思想。 3. 重視圓柱、圓臺、圓錐的軸截面在解決與旋轉(zhuǎn)體相關(guān)量（如母線長等）中的特殊作用，體會空間幾何問題平面化的思想。 【隨堂練習(xí)】（山東濟南模擬）一個圓錐的底面半徑為2，高為6，其內(nèi)部有一個內(nèi)接圓柱，則圓柱的軸截面的面積最大值為 。 答案：設(shè)內(nèi)接圓柱的高為，底面圓半徑為，由已知得 ∵ 當(dāng)時，最大值為6。 思路分析：畫出圓錐與圓柱的軸截面，利用軸截面尋找各量間的關(guān)系。 技巧點撥：與幾何體有關(guān)的最值問題，可列出其函數(shù)解析式，用函數(shù)思想求解。 例題1 （旋轉(zhuǎn)體的

7、概念）下列敘述錯誤的有__________。（填序號） ①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐； ②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是圓臺； ③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓； ④用一個平面去截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺。 思路分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的特征判斷各命題的對錯。 答案：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)才可得到圓錐，以直角三角形的斜邊為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的幾何體為兩個同底的圓錐連在一起的幾何體，如圖（1），故①錯；以直角梯形垂直于底邊的一腰為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)可得到圓臺，以直角梯形的不垂直于底的腰為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的幾何體為一個圓臺一側(cè)挖去一個同上底的圓錐，另一側(cè)補上一個同下

8、底的圓錐，如圖（2），故②錯；圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面，而不是圓，故③錯；用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，可得到一個圓錐和一個圓臺，用不平行于圓錐底面的平面不能得到，故④錯。 故應(yīng)填：①②③④。 技巧點撥： 1. 準確掌握圓柱、圓錐、圓臺、球的生成過程及其結(jié)構(gòu)特征是解決此類概念問題的關(guān)鍵。要注意定義中的關(guān)鍵字眼，對于似是而非的問題，可以通過動手操作來解決。 2. 旋轉(zhuǎn)體的形狀關(guān)鍵是看平面圖形繞哪條直線旋轉(zhuǎn)所得，同一個平面圖形繞不同的軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體不同。 例題2 （旋轉(zhuǎn)體的形成與分解） 如圖所示，畫出下列圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一周后所形成的幾何體，并說出這些幾何體是由哪些

9、旋轉(zhuǎn)體組合而成的。 思路分析：過圖（1）（2）中的頂點D、C分別向旋轉(zhuǎn)軸引垂線，即可得到旋轉(zhuǎn)后的圖形。 答案：如圖所示，（1）是由圓錐、圓柱組合而成的，（2）是由圓柱中間挖去一個圓錐組合而成的。 技巧點撥：對于不規(guī)則平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)問題，首先要對原平面圖形作適當(dāng)?shù)姆指?，一般分割成矩形、梯形、三角形或圓（半圓或四分之一圓周）等基本圖形，然后結(jié)合圓柱、圓錐、圓臺、球的形成過程進行分析。 例題3 （有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的計算） 一個圓臺的母線長為12 cm，兩底面面積分別為4π cm2和25π cm2。求： （1）圓臺的高；（2）截得此圓臺的圓錐的母線長。 思路分析：畫出軸截面，依

10、據(jù)相似三角形求解。 答案：（1）如圖所示，設(shè)圓臺的軸截面是等腰梯形ABCD，作AM⊥BC于M，延長BA、CD交于S。由已知得上底面半徑O1A＝2 cm，下底面半徑OB＝5 cm，且腰長AB＝12 cm， ∴圓臺的高AM＝（cm）。 （2）設(shè)截得此圓臺的圓錐的母線長為l cm，則由△SAO1∽△SBO，得， 解得l＝20。即截得此圓臺的圓錐的母線長為20 cm。 技巧點撥： 1. 本題在求解過程中，通過軸截面實現(xiàn)了空間運算平面幾何化的思想，其優(yōu)點是軸截面較直觀地反映了圓臺的母線長、高及上、下底面半徑間的關(guān)系。 2. 解有關(guān)圓柱、圓錐、圓臺的計算問題時常常利用它們的軸截面。

11、 有關(guān)組合體問題 觀察圖中的組合體，分析它們是由哪些簡單幾何體組成的，并說出主要結(jié)構(gòu)特征。（面數(shù)，頂點數(shù)，棱數(shù)） 思路分析：識圖→分割或填補→變成簡單幾何體的組合→下結(jié)論→回答相關(guān)問題 答案：圖（1）是由一個四棱柱在它的上、下底面上向內(nèi)挖去一個三棱柱組成的組合體，它有9個面，14個頂點，21條棱，具有四棱柱和三棱柱的結(jié)構(gòu)特征。 圖（2）是由一個四棱柱和一個底面與四棱柱上底面重合的四棱錐組合而成的組合體，它有9個面，9個頂點，16條棱，具有四棱柱和四棱錐的結(jié)構(gòu)特征。 圖（3）是由一個三棱柱和一個下底與三棱柱上底重合的三棱臺組成的組合體，它有9個頂點，8個面，15條棱，具有三棱柱和三棱臺的結(jié)構(gòu)特征。 技巧點撥：組合體是由簡單幾何體拼接或截去一部分構(gòu)成。要仔細觀察組合體的組成，結(jié)合柱、錐、臺、球的特征，先分割，后認證。