2022年高中數(shù)學(xué)蘇教版選修2-2教學(xué)案：第1章 1-4 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用

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1、2022年高中數(shù)學(xué)蘇教版選修2-2教學(xué)案：第1章 1-4 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用 面積、體積最大問(wèn)題 [例1]　用長(zhǎng)為18 cm的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架，要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之比為2∶1，問(wèn)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各為多少時(shí)，其體積最大？最大體積是多少？ [思路點(diǎn)撥]　不妨設(shè)長(zhǎng)方體的寬為x m，則長(zhǎng)為2x m，高為h＝＝(4.5－3x)m.建立長(zhǎng)方體的體積函數(shù)模型，再求最值． [精解詳析]　設(shè)長(zhǎng)方體的寬為x m， 則長(zhǎng)為2x m， 高為h＝＝(4.5－3x)m. 故長(zhǎng)方體的體積為 V(x)＝2x2(4.5－3x)＝(9x2－6x3)m3. 從而V′(x)＝18

2、x－18x2＝18x(1－x)． 令V′(x)＝0，解得x＝0(舍去)，或x＝1，因此x＝1. 當(dāng)00； 當(dāng)1

3、際問(wèn)題中的最大(小)值時(shí)，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么依據(jù)實(shí)際意義，該極值點(diǎn)也就是最值點(diǎn)． 1．要做一個(gè)圓錐形的漏斗，其母線長(zhǎng)為20 cm，要使其體積最大，則高為________cm. 解析：設(shè)該漏斗的高為x cm，則底面半徑為 cm，其體積為V＝πx(202－x2)＝π(400x－x3)(00； 當(dāng)

4、小正方形，然后把四邊翻折90°，再焊接而成．問(wèn)該容器的高為多少時(shí)，容器的容積最大？最大容積是多少？ 解：設(shè)容器的高為x cm，容積為V(x) cm3，則 V(x)＝x(90－2x)(48－2x) ＝4x3－276x2＋4 320x(00，即V(x)為增函數(shù)； 當(dāng)10

5、0)＝19 600(cm3)． 因此當(dāng)容器的高為10 cm時(shí)，容器的容積最大，最大容積為19 600 cm3. 成本最低(費(fèi)用最省)問(wèn)題 [例2]　如圖，某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200 m2的三級(jí)污水處理池，由于地形限制，長(zhǎng)、寬都不能超過(guò)16 m，如果池外周壁建造單價(jià)為每米400元，中間兩條隔墻建造單價(jià)為每米248元，池底建造單價(jià)為每平方米80元(池壁厚度忽略不計(jì)，且池?zé)o蓋)． (1)寫出總造價(jià)y(元)與污水處理池長(zhǎng)x(m)的函數(shù)關(guān)系式，并指出其定義域； (2)污水處理池的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，污水處理池的總造價(jià)最低？并求出最低總造價(jià)

6、． [思路點(diǎn)撥]　→→→→→ [精解詳析]　(1)污水處理池長(zhǎng)為x m，則寬為 m. 據(jù)題意 解得≤x≤16， y＝×400＋×248＋16 000 ＝800x＋＋16 000， (2)由(1)知y′＝800－＝0， 解得x＝18， 當(dāng)x∈(0,18)時(shí)，函數(shù)y為減函數(shù)； 當(dāng)x∈(18，＋∞)時(shí)，函數(shù)y為增函數(shù)． 又∵≤x≤16， ∴當(dāng)x＝16時(shí)，ymin＝45 000. ∴當(dāng)且僅當(dāng)長(zhǎng)為16 m、寬為12.5 m時(shí)， 總造價(jià)y最低為45 000元． [一點(diǎn)通]　(1)實(shí)際生活中用料最省、費(fèi)用最低、損耗最小、最節(jié)省時(shí)間等都需要利用導(dǎo)數(shù)求解相應(yīng)函數(shù)的最小值，此時(shí)根據(jù)f

7、′(x)＝0求出函數(shù)取極值的點(diǎn)(注意根據(jù)實(shí)際意義舍去不合適的函數(shù)取極值的點(diǎn))，若函數(shù)在該點(diǎn)附近滿足左減右增，則此時(shí)惟一的極小值就是所求函數(shù)的最小值． (2)在解題過(guò)程中很容易忽略關(guān)鍵詞“無(wú)蓋”，從而多求了一個(gè)底面積．實(shí)際問(wèn)題中的用料最省問(wèn)題一般都是要求幾何體的表面積，但要注意實(shí)物的表面積往往會(huì)缺少一個(gè)底面或側(cè)面等． 3．做一個(gè)容積為256升的方底無(wú)蓋水箱，它的高為________分米時(shí)最省材料． 解析：設(shè)水箱底面邊長(zhǎng)為x分米，則高為分米，用料總面積S＝x2＋4··x＝x2＋， S′＝2x－，令S′＝0得x＝8， 當(dāng)0＜x＜8時(shí)，S′＜0，當(dāng)x＞8時(shí)，S′＞0， 所以當(dāng)x＝8時(shí)，

8、S取得最小值，則高為4分米． 答案：4 4．某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩．經(jīng)測(cè)算，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬(wàn)元，距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2＋)x萬(wàn)元．假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素．記余下工程的費(fèi)用為y萬(wàn)元． (1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； (2)當(dāng)m＝640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使y最小？ 解：(1)設(shè)需新建n個(gè)橋墩， 則(n＋1)x＝m，即n＝－1. 所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x ＝256＋(2＋)x ＝＋m＋2m－256. (2)由(1)知

9、， f′(x)＝－＋mx－＝(x－512)． 令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64. 當(dāng)0＜x＜64時(shí)，f′(x)＜0，f(x)在區(qū)間(0,64)內(nèi)為減函數(shù)； 當(dāng)64＜x＜640時(shí)，f′(x)＞0，f(x)在區(qū)間(64,640)內(nèi)為增函數(shù)． 所以f(x)在x＝64處取得最小值． 此時(shí)n＝－1＝－1＝9. 故需新建9個(gè)橋墩才能使y最?。? 利潤(rùn)最大問(wèn)題 [例3]　某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量x(噸)與每噸產(chǎn)品的價(jià)格P(元/噸)之間的關(guān)系式為P＝24 200－x2，且生產(chǎn)x噸的成本為R＝50 000＋200x(元)．問(wèn)該工廠每月生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品才能使利潤(rùn)達(dá)到最

10、大？最大利潤(rùn)是多少？(利潤(rùn)＝收入－成本) [思路點(diǎn)撥]　根據(jù)利潤(rùn)與生產(chǎn)量以及價(jià)格之間的關(guān)系，建立滿足題意的函數(shù)關(guān)系式，然后利用導(dǎo)數(shù)求解． [精解詳析]　每月生產(chǎn)x噸時(shí)的利潤(rùn)為 f(x)＝x－(50 000＋200x) ＝－x3＋24 000x－50 000(x≥0)． 由f′(x)＝－x2＋24 000＝0， 解得x1＝200，x2＝－200(舍去)． 因?yàn)閒(x)在[0，＋∞)內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)x＝200使f′(x)＝0，且0＜x＜200時(shí)，f′(x)＞0；x＞200時(shí)，f′(x)＜0；故x＝200就是最大值點(diǎn)，且最大值為f(200)＝－×2003＋24 000×200－50 000

11、＝3 150 000(元)． 所以每月生產(chǎn)200噸產(chǎn)品時(shí)，利潤(rùn)達(dá)到最大，最大利潤(rùn)為315萬(wàn)元． [一點(diǎn)通]　利潤(rùn)最大問(wèn)題是生活中常見的一類問(wèn)題，一般根據(jù)“利潤(rùn)＝收入－成本”建立函數(shù)關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)求最大值．求解時(shí)要注意：①價(jià)格要大于成本，否則就會(huì)虧本；②銷量要大于0，否則不會(huì)獲利． 5．某商品一件的成本為30元，在某段時(shí)間內(nèi)，若以每件x元出售，可賣出(200－x)件，當(dāng)每件商品的定價(jià)為________元時(shí)，利潤(rùn)最大． 解析：利潤(rùn)為S(x)＝(x－30)(200－x) ＝－x2＋230x－6 000(30≤x≤200)， S′(x)＝－2x＋230，由S′(x)＝0得x＝115

12、， 當(dāng)30≤x<115時(shí)，S′(x)>0； 當(dāng)115

13、6)2. 所以商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn) f(x)＝(x－3) ＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6. 從而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)(x－6)． 于是，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (3,4) 4 (4,6) f′(x) ＋ 0 － f(x)  極大值42  由上表可得，x＝4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)． 所以，當(dāng)x＝4時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42. 答：當(dāng)銷售價(jià)格為4元/kg時(shí)，商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)

14、最大． 1．解決實(shí)際生活問(wèn)題的基本思路： 2．求實(shí)際問(wèn)題中的最大(小)值，主要步驟如下： (1)抽象出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，列出變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)； (2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和使f′(x)＝0的點(diǎn)處的取值大小，最大者為最大值，最小者為最小值． [對(duì)應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(九)]　 一、填空題 1．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)y(單元：萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(單位：萬(wàn)件)之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝－x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為________萬(wàn)件． 解析

15、：y′＝－x2＋81，令y′＝0，得x＝9(x＝－9舍)，且經(jīng)討論知x＝9是函數(shù)取極大值的點(diǎn)，所以廠家獲得最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量是9萬(wàn)件． 答案：9 2．用總長(zhǎng)為14.8 m的鋼條制作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，若所制作容器的底面的一邊比高長(zhǎng)0.5 m，則當(dāng)高為________m時(shí)，容器的容積最大． 解析：設(shè)高為x米，則V＝x(x＋0.5)，令V′＝－6x2＋4.4x＋1.6＝0， 解得x＝1. 答案：1 3.如圖，將直徑為d的圓木鋸成長(zhǎng)方體橫梁，橫截面為矩形，橫梁的強(qiáng)度同它的斷面高的平方與寬x的積成正比(強(qiáng)度系數(shù)為k，k>0)．要將直徑為d的圓木鋸成強(qiáng)度最大的橫梁，斷面的寬x應(yīng)為_____

16、___． 解析：設(shè)斷面高為h，則h2＝d2－x2.設(shè)橫梁的強(qiáng)度函數(shù)為f(x)，則f(x)＝kxh2＝kx(d2－x2)，00，f(x)單調(diào)遞增； 當(dāng)d

17、半徑為r，則表面積S＝2πrh＋2πr2，而V＝250＝πr2h，得h＝，則S＝2πr·＋2πr2＝＋2πr2，S′＝－＋4πr，令S′＝0得r＝，因?yàn)镾只有一個(gè)極值，所以當(dāng)r＝時(shí)，S取得最小值，即此時(shí)所用的材料最?。? 答案： 5.如圖，內(nèi)接于拋物線y＝1－x2的矩形ABCD，其中A、B在拋物線上運(yùn)動(dòng)，C、D在x軸上運(yùn)動(dòng)，則此矩形的面積的最大值是________． 解析：設(shè)CD＝x，則點(diǎn)C坐標(biāo)為. 點(diǎn)B坐標(biāo)為 所以矩形ABCD的面積 S＝f(x)＝x·＝－＋x(x∈(0,2))． 由f′(x)＝－x2＋1＝0， 得x1＝－(舍)，x2＝， 所以x∈時(shí)，f′(x)＞0，f(x)

18、是遞增的， x∈時(shí)，f′(x)＜0，f(x)是遞減的， 當(dāng)x＝時(shí)，f(x)取最大值. 答案： 二、解答題 6．某品牌電視生產(chǎn)廠家有A，B兩種型號(hào)的電視機(jī)參加了家電下鄉(xiāng)活動(dòng)，若廠家對(duì)A，B兩種型號(hào)的電視機(jī)的投放金額分別為p，q萬(wàn)元，農(nóng)民購(gòu)買電視機(jī)獲得的補(bǔ)貼分別為p，ln q萬(wàn)元，已知A，B兩種型號(hào)的電視機(jī)的投放總額為10萬(wàn)元，且A，B兩種型號(hào)的電視機(jī)的投放金額均不低于1萬(wàn)元，請(qǐng)你制定一個(gè)投放方案，使得在這次活動(dòng)中農(nóng)民得到的補(bǔ)貼最多，并求出最大值．(精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：ln 4≈1.4) 解：設(shè)B型號(hào)電視機(jī)的投放金額為x萬(wàn)元(1≤x≤9)，農(nóng)民得到的補(bǔ)貼為y萬(wàn)元，則A型號(hào)的電視機(jī)的

19、投放金額為(10－x)萬(wàn)元，由題意得 y＝(10－x)＋ln x＝ln x－ x＋1,1≤x≤9， ∴y′＝－. 令y′＝0得x＝4， 由y′>0得1≤x<4，由y′<0得4

20、，C，D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒．E，F(xiàn)在AB上，是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)．設(shè)AE＝FB＝x(cm)． (1)若廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？ (2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值． 解：設(shè)包裝盒的高為h(cm)，底面邊長(zhǎng)為a(cm)． 由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30. (1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800， 所以當(dāng)x＝15時(shí)，S取得最大值． (2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)， V

21、′＝6x(20－x)． 由V′＝0，得x＝0(舍)或x＝20. 當(dāng)x∈(0,20)時(shí)，V′＞0；當(dāng)x∈(20,30)時(shí)，V′＜0. 所以當(dāng)x＝20時(shí)，V取得極大值，也是最大值． 此時(shí)＝.即包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為. 8．統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量y(L)關(guān)于行駛速度x(km/h)的函數(shù)解析式可以表示為：y＝x3－x＋8(0＜x≤120)．已知甲、乙兩地相距100 km. (1)當(dāng)汽車以40 km/h的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少L? (2)當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少，最少為多少L? 解：(1)當(dāng)x＝40 km/h時(shí)，

22、 汽車從甲地到乙地行駛了＝2.5 h， 要耗油×2.5＝17.5(L)． ∴當(dāng)汽車以40 km/h的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油17.5 L. (2)設(shè)當(dāng)速度為x km/h時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了 h，耗油量為h(x)升，依題意得 h(x)＝· ＝x2＋－(0＜x≤120)， 則h′(x)＝－＝(0＜x≤120)． 令h′(x)＝0，得x＝80， 當(dāng)x∈(0,80)時(shí)，h′(x)＜0，h(x)是單調(diào)遞減函數(shù)； 當(dāng)x∈(80,120)時(shí)，h′(x)＞0，h(x)是單調(diào)遞增函數(shù)． ∴當(dāng)x＝80時(shí)，h(x)取到極小值，h(80)＝11.25. ∵h(yuǎn)(x)在(0,120]上只有一個(gè)極值， 且h(120)＝>h(80)． ∴當(dāng)x＝80時(shí)函數(shù)取得最小值． ∴當(dāng)汽車以80 km/h的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25 L.