（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)考點 自主練透 第4講 不等式與合情推理學(xué)案 文 新人教A版

第4講不等式與合情推理不等式的解法考法全練1設(shè)a>b，a，b，cR，則下列結(jié)論正確的是()Aac2>bc2B.>1Cac>bc Da2>b2解析：選C.當(dāng)c0時，ac2bc2，所以選項A錯誤；當(dāng)b0時，無意義，所以選項B錯誤；因為a>b，所以ac>bc恒成立，所以選項C正確；當(dāng)a0時，a2<b2，所以選項D錯誤故選C.2已知關(guān)于x的不等式(ax1)(x1)<0的解集是(，1)，則a()A2 B2C D.解析：選B.根據(jù)一元二次不等式與其對應(yīng)方程的關(guān)系知1，是一元二次方程ax2(a1)x10的兩個根，所以1×，所以a2，故選B.3設(shè)x表示不超過x的最大整數(shù)(例如：5.55，5.56)，則不等式x25x60的解集為()A(2，3) B2，4)C2，3 D(2，3解析：選B.不等式x25x60可化為(x2)·(x3)0，解得2x3，即不等式x25x60的解集為2x3.根據(jù)x表示不超過x的最大整數(shù)，得不等式的解集為2x4.故選B.4在關(guān)于x的不等式x2(a1)xa<0的解集中至多包含2個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()A(3，5) B(2，4)C3，5 D2，4解析：選D.由x2(a1)xa<0得(x1)(xa)<0，當(dāng)a1時，不等式的解集為，符合題意；當(dāng)a>1時，不等式的解集為(1，a)；當(dāng)a<1時，不等式的解集為(a，1)要使不等式的解集中至多包含2個整數(shù)，則a4且a2，所以實數(shù)a的取值范圍是2，4故選D.解不等式的策略(1)一元二次不等式：先化為一般形式ax2bxc>0(a>0)，再結(jié)合相應(yīng)二次方程的根及二次函數(shù)圖象確定一元二次不等式的解集(2)含指數(shù)、對數(shù)的不等式：利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將其轉(zhuǎn)化為整式不等式求解(3)有函數(shù)背景的不等式：靈活利用函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、對稱性等)與圖象求解注意求解含參數(shù)的不等式的易錯點是不清楚對參數(shù)分類討論的標(biāo)準(zhǔn)導(dǎo)致求解出錯 基本不等式及其應(yīng)用 考法全練1設(shè)x0，則函數(shù)yx的最小值為_解析：yx(x1)2.當(dāng)且僅當(dāng)x1，即x0時等號成立答案：2(2019·高考天津卷)設(shè)x>0，y>0，x2y5，則的最小值為_解析：2.由x2y5得52，即，即xy，當(dāng)且僅當(dāng)x2y時等號成立.224，當(dāng)且僅當(dāng)2，即xy3時取等號，結(jié)合xy可知，xy可以取到3，故的最小值為4.答案：43某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是_解析：一年購買次，則總運費與總存儲費用之和為×64x48240，當(dāng)且僅當(dāng)x30時取等號，故總運費與總存儲費用之和最小時x的值是30.答案：304設(shè)正數(shù)x，y滿足log2(xy3)log2xlog2y，則xy的取值范圍是_解析：由題意可知xy3xy(x>0，y>0)，所以xy3xy，即4(xy)12(xy)2，(xy6)(xy2)0，所以xy6.答案：6，)5已知向量a(x1，3)，b(1，y)，其中x，y都為正實數(shù)若ab，則的最小值為_解析：因為ab，所以a·bx13y0，即x3y1.又x，y為正實數(shù)，所以(x3y)·2224，當(dāng)且僅當(dāng)x3y時取等號所以的最小值為4.答案：4利用不等式求最值的4個解題技巧(1)湊項：通過調(diào)整項的符號，配湊項的系數(shù)，使其積或和為定值(2)湊系數(shù)：若無法直接運用基本不等式求解，可以通過湊系數(shù)后得到和或積為定值，從而可利用基本不等式求最值(3)換元：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用基本不等式求最值即化為ymBg(x)(A>0，B>0)，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運用基本不等式來求最值(4)“1”的代換：先把已知條件中的等式變形為“1”的表達式，再把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘求積，通過變形構(gòu)造和或積為定值的代數(shù)式求其最值注意運用基本不等式時，一定要注意應(yīng)用的前提：“一正”“二定”“三相等”所謂“一正”是指“正數(shù)”；“二定”指應(yīng)用基本不等式求最值時，和或積為定值；“三相等”是指滿足等號成立的條件若連續(xù)兩次使用基本不等式求最值，必須使兩次等號成立的條件一致，否則最值取不到 簡單的線性規(guī)劃問題 考法全練1(一題多解)(2019·高考天津卷)設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z4xy的最大值為()A. 2B. 3C. 5 D. 6解析：選C.法一：作出可行域如圖中陰影部分所示由z4xy得y4xz，結(jié)合圖形可知當(dāng)直線y4xz過點A時，z最大，由得A(1，1)，故zmax4×(1)15.故選C.法二：易知目標(biāo)函數(shù)z4xy的最大值在可行域的頂點處取得，可行域的四個頂點分別是(1，1)，(0，2)，(1，1)，(3，1)當(dāng)直線y4xz經(jīng)過點(1，1)時，z5；當(dāng)直線y4xz經(jīng)過點(0，2)時，z2；當(dāng)直線y4xz經(jīng)過點(1，1)時，z3；當(dāng)直線y4xz經(jīng)過點(3，1)時，z13.所以zmax5，故選C.2(2019·洛陽市統(tǒng)考)如果點P(x，y)滿足，點Q在曲線x2(y2)21上，則|PQ|的取值范圍是()A1，1 B1，1C1，5 D1，5解析：選D.作出點P滿足的線性約束條件表示的平面區(qū)域(如圖中陰影部分所示)，因為點Q所在圓的圓心為M(0，2)，所以|PM|取得最小值的最優(yōu)解為(1，0)，取得最大值的最優(yōu)解為(0，2)，所以|PM|的最小值為，最大值為4，又圓M的半徑為1，所以|PQ|的取值范圍是1，5，故選D.3(2019·鄭州市第二次質(zhì)量預(yù)測)設(shè)實數(shù)x，y滿足，則z的取值范圍為_解析：畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示z表示平面區(qū)域內(nèi)的點與坐標(biāo)原點O的連線的斜率由，得，即A(1，3)由，得，即B(2，)所以zmaxkOB，zminkOA3，所以z的取值范圍為.答案：4已知變量x，y滿足約束條件記z4xy的最大值是a，則a_解析：變量x，y滿足的約束條件的可行域如圖中陰影部分所示作出直線4xy0，平移直線，知當(dāng)直線經(jīng)過點A時，z取得最大值，由解得所以A(1，1)，此時z4×113，故a3.答案：3簡單的線性規(guī)劃問題的解題策略在給定約束條件的情況下，求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，其主要解題策略為：(1)根據(jù)約束條件作出可行域(2)根據(jù)所要求的目標(biāo)函數(shù)的最值，令目標(biāo)函數(shù)z0，將所得直線平移，得到可行解，并確定最優(yōu)解(3)將取得最優(yōu)解時的點的坐標(biāo)確定，并求出此時的最優(yōu)解 合情推理 考法全練1(2019·高考全國卷)在“一帶一路”知識測驗后，甲、乙、丙三人對成績進行預(yù)測甲：我的成績比乙高乙：丙的成績比我和甲的都高丙：我的成績比乙高成績公布后，三人成績互不相同且只有一個人預(yù)測正確，那么三人按成績由高到低的次序為()A甲、乙、丙B乙、甲、丙C丙、乙、甲 D甲、丙、乙解析：選A.依題意，若甲預(yù)測正確，則乙、丙均預(yù)測錯誤，此時三人成績由高到低的次序為甲、乙、丙；若乙預(yù)測正確，此時丙預(yù)測也正確，這與題意相矛盾；若丙預(yù)測正確，則甲預(yù)測錯誤，此時乙預(yù)測正確，這與題意相矛盾綜上所述，三人成績由高到低的次序為甲、乙、丙，選A.2觀察下列等式：1211222312223261222324210照此規(guī)律，第n個等式為_解析：觀察等式左邊的式子，每次增加一項，故第n個等式左邊有n項，指數(shù)都是2，且正、負(fù)相間，所以等式左邊的通項為(1)n1n2.等式右邊的值的符號也是正、負(fù)相間，其絕對值分別為1，3，6，10，15，21，.設(shè)此數(shù)列為an，則a2a12，a3a23，a4a34，a5a45，anan1n，各式相加得ana1234n，即an123n.所以第n個等式為12223242(1)n1n2(1)n1·.答案：12223242(1)n1n2(1)n1·3祖暅(公元56世紀(jì))是我國齊梁時代的數(shù)學(xué)家，是祖沖之的兒子他提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異”這里的“冪”指水平截面的面積，“勢”指高這句話的意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體體積相等設(shè)由橢圓1(a>b>0)所圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后，得一橄欖狀的幾何體(如圖)，稱為橢球體，課本中介紹了應(yīng)用祖暅原理求球體體積公式的方法，請類比此法，求出橢球體體積，其體積等于_解析：橢圓的長半軸長為a，短半軸長為b，現(xiàn)構(gòu)造兩個底面半徑為b，高為a的圓柱，然后在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐，根據(jù)祖暅原理得出橢球的體積V2(V圓柱V圓錐)2b2a.答案：b2a合情推理的解題思路(1)在進行歸納推理時，要根據(jù)已知的部分個體，適當(dāng)變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結(jié)論(2)在進行類比推理時，要充分考慮已知對象性質(zhì)的推理過程，然后通過類比，推導(dǎo)出類比對象的性質(zhì)(3)歸納推理關(guān)鍵是找規(guī)律，類比推理關(guān)鍵是看共性 一、選擇題1用反證法證明命題：“設(shè)a，b為實數(shù)，則方程x3axb0至少有一個實根”時，要做的假設(shè)是()A方程x3axb0沒有實根B方程x3axb0至多有一個實根C方程x3axb0至多有兩個實根D方程x3axb0恰好有兩個實根解析：選A.依據(jù)反證法的要求，即至少有一個的反面是一個也沒有，直接寫出命題的否定方程x3axb0至少有一個實根的反面是方程x3axb0沒有實根，故應(yīng)選A.2若a<b<0，則下列不等式錯誤的是()A.>B.>C|a|>|b| Da2>b2解析：選B.因為a<b<0，所以>，故A對，因為a<b<0，所以0<b，a<ab<0，所以>，故B錯因為a<b<0，所以a>b>0，即|a|>|b|，所以|a|>|b|，故C對因為a<b<0，所以a>b>0，所以(a)2>(b)2，即a2>b2，故D對3已知集合Mx|0，Nx|ylog3(6x211x4)，則MN()A. B.C. D.解析：選C.因為集合Mx|0x|1<x3，Nx|ylog3(6x211x4)x|6x211x4>0.所以MNx|<x<.4設(shè)x，y滿足約束條件則z2xy的最小值與最大值的和為()A7 B8C13 D14解析：選D.作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，作出直線2xy0，平移直線2xy0，當(dāng)直線經(jīng)過點A(1，2)時，z2xy取得最小值4，當(dāng)直線經(jīng)過點B(3，4)時，z2xy取得最大值10，故z的最小值與最大值的和為41014.故選D.5某單位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天甲說：我在1日和3日都有值班；乙說：我在8日和9日都有值班；丙說：我們?nèi)烁髯灾蛋嗟娜掌谥拖嗟葥?jù)此可判斷丙必定值班的日期是()A2日和5日 B5日和6日C6日和11日 D2日和11日解析：選C.由題意，1至12的和為78，因為三人各自值班的日期之和相等，所以三人各自值班的日期之和為26，根據(jù)甲說：我在1日和3日都有值班；乙說：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，據(jù)此可判斷丙必定值班的日期是6日和11日6(2019·鄭州市第二次質(zhì)量預(yù)測)設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z的最大值為()A. B.C3 D4解析：選C.可行域如圖中陰影部分所示，目標(biāo)函數(shù)z，設(shè)u3xy，欲求z的最大值，等價于求u3xy的最小值u3xy可化為y3xu，該直線的縱截距為u，作出直線y3x并平移，當(dāng)直線y3xu經(jīng)過點B(1，2)時，縱截距u取得最小值umin3×(1)21，所以z的最大值zmax3.故選C.7設(shè)f(x)是定義在2b，3b上的偶函數(shù)，且在2b，0上為增函數(shù)，則f(x1)f(3)的解集為()A3，3 B2，4C1，5 D0，6解析：選B.根據(jù)題意，2b3b0；所以b3；所以f(x)的定義域為6，6，在6，0上為增函數(shù)；所以f(x)在0，6上為減函數(shù)；所以由f(x1)f(3)得，f(|x1|)f(3)；所以解得2x4；所以原不等式的解集為2，48已知x>1，y>1，且lg x，2，lg y成等差數(shù)列，則xy有()A最小值，為20 B最小值，為200C最大值，為20 D最大值，為200解析：選B.因為x>1，y>1，且lg x，2，lg y成等差數(shù)列，所以4lg xlg y，所以lg 104lg(xy)，所以xy10 000，所以xy2200，當(dāng)且僅當(dāng)xy100時取等號，所以xy有最小值，為200.故選B.9某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，銷售利潤分別為2千元/件、1千元/件甲、乙兩種產(chǎn)品都需要在A，B兩種設(shè)備上加工，生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品需用A設(shè)備2小時，B設(shè)備6小時，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品需用A設(shè)備3小時，B設(shè)備1小時A，B兩種設(shè)備每月可使用時間數(shù)分別為480小時、960小時，若生產(chǎn)的產(chǎn)品都能及時售出，則該企業(yè)每月利潤的最大值為()A320千元 B360千元C400千元 D440千元解析：選B.設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，生產(chǎn)乙產(chǎn)品y件，利潤為z千元，則z2xy，作出的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線2xy0，平移該直線，當(dāng)直線經(jīng)過直線2x3y480與直線6xy960的交點(150，60)時，z取得最大值，為360.10設(shè)函數(shù)f(x)mx2mx1，若對于x1，3，f(x)<m4恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為()A. B.C. D.解析：選A.由題意，f(x)<m4，可得m(x2x1)<5.因為當(dāng)x1，3時，x2x11，7，所以m<.因為當(dāng)x3時，的最小值為，所以若要不等式m<恒成立，則必須m<，因此，實數(shù)m的取值范圍為.11已知實數(shù)x，y滿足約束條件若z的最小值為，則正數(shù)a的值為()A. B1C. D.解析：選D.實數(shù)x，y滿足的約束條件的可行域如圖：因為z表示過點(x，y)與(1，1)連線的斜率，易知a>0，所以可作出可行域，可知可行域的點A與(1，1)連線的斜率最小，由解得A.z的最小值為，即a.12已知an，把數(shù)列an的各項排列成如下的三角形狀：記A(m，n)表示第m行的第n個數(shù)，則A(11，2)()A. B.C. D.解析：選D.由A(m，n)表示第m行的第n個數(shù)可知，A(11，2)表示第11行的第2個數(shù)，根據(jù)圖形可知：每一行的最后一項的項數(shù)為行數(shù)的平方，所以第10行的最后一項的項數(shù)為102100，即為a100，所以第11行第2項的項數(shù)為1002102，所以A(11，2)a102，故選D.二、填空題13不等式|x3|<2的解集為_解析：不等式|x3|<2，即2<x3<2，解得1<x<5.答案：(1，5)14已知函數(shù)yx(x>2)的最小值為6，則正數(shù)m的值為_解析：因為x>2，m>0，所以yx222222，當(dāng)x2時取等號，又函數(shù)yx(x>2)的最小值為6，所以226，解得m4.答案：415(2019·洛陽尖子生第二次聯(lián)考)已知x，y滿足.若目標(biāo)函數(shù)z3xy的最大值為10，則z的最小值為_解析：作出可行域，如圖中陰影部分所示作出直線3xy0，并平移可知當(dāng)直線過點A時，z取得最大值，為10，當(dāng)直線過點B時，z取得最小值由得，即A，所以3×10，解得m5，可得點B的坐標(biāo)為(2，1)，所以zmin3×215.答案：516已知整數(shù)對的序列如下：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，則第57個數(shù)對是_解析：(1，1)兩數(shù)的和為2，共1個，(1，2)，(2，1)，兩數(shù)的和為3，共2個，(1，3)，(2，2)，(3，1)，兩數(shù)的和為4，共3個，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，兩數(shù)的和為5，共4個，因為1234567891055，所以第57個數(shù)對在第11組之中的第2個數(shù)，從而兩數(shù)之和為12，應(yīng)為(2，10)答案：(2，10)- 15 -