2、－1，－是一元二次方程ax2＋(a－1)x－1＝0的兩個根，所以－1×＝－，所以a＝－2，故選B.
3．設[x]表示不超過x的最大整數(例如：[5.5]＝5，[－5.5]＝－6)，則不等式[x]2－5[x]＋6≤0的解集為( )
A．(2，3) B．[2，4)
C．[2，3] D．(2，3]
解析：選B.不等式[x]2－5[x]＋6≤0可化為([x]－2)·([x]－3)≤0，解得2≤[x]≤3，即不等式[x]2－5[x]＋6≤0的解集為2≤[x]≤3.根據[x]表示不超過x的最大整數，得不等式的解集為2≤x＜4.故選B.
4．在關于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解
3、集中至多包含2個整數，則實數a的取值范圍是( )
A．(－3，5) B．(－2，4)
C．[－3，5] D．[－2，4]
解析：選D.由x2－(a＋1)x＋a<0得(x－1)(x－a)<0，當a＝1時，不等式的解集為?，符合題意；當a>1時，不等式的解集為(1，a)；當a<1時，不等式的解集為(a，1)．要使不等式的解集中至多包含2個整數，則a≤4且a≥－2，所以實數a的取值范圍是[－2，4]．故選D.
解不等式的策略
(1)一元二次不等式：先化為一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再結合相應二次方程的根及二次函數圖象確定一元二次不等式的解集．
(2)含指數、對數
4、的不等式：利用指數、對數函數的單調性將其轉化為整式不等式求解．
(3)有函數背景的不等式：靈活利用函數的性質(單調性、奇偶性、對稱性等)與圖象求解．
[注意] 求解含參數的不等式的易錯點是不清楚對參數分類討論的標準導致求解出錯．
基本不等式及其應用
[考法全練]
1．設x≥0，則函數y＝x＋－的最小值為________．
解析：y＝x＋－＝(x＋1)＋－≥2－＝－.當且僅當x＋1＝，即x＝0時等號成立．
答案：－
2．(2019·高考天津卷)設x>0，y>0，x＋2y＝5，則的最小值為________．
解析：＝＝＝2＋.由x＋2y＝5得5≥2，即≤，即xy≤，當且
5、僅當x＝2y＝時等號成立.2＋≥2＝4，當且僅當2＝，即xy＝3時取等號，結合xy≤可知，xy可以取到3，故的最小值為4.
答案：4
3．某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元．要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是________．
解析：一年購買次，則總運費與總存儲費用之和為×6＋4x＝4≥8＝240，當且僅當x＝30時取等號，故總運費與總存儲費用之和最小時x的值是30.
答案：30
4．設正數x，y滿足log2(x＋y＋3)＝log2x＋log2y，則x＋y的取值范圍是________．
解析：由題意可知x＋y＋3
6、＝xy(x>0，y>0)，所以x＋y＋3＝xy≤，即4(x＋y)＋12≤(x＋y)2，(x＋y－6)(x＋y＋2)≥0，所以x＋y≥6.
答案：[6，＋∞)
5．已知向量a＝(x－1，3)，b＝(1，y)，其中x，y都為正實數．若a⊥b，則＋的最小值為________．
解析：因為a⊥b，所以a·b＝x－1＋3y＝0，即x＋3y＝1.又x，y為正實數，所以＋＝(x＋3y)·＝2＋＋≥2＋2＝4，當且僅當x＝3y＝時取等號．所以＋的最小值為4.
答案：4
利用不等式求最值的4個解題技巧
(1)湊項：通過調整項的符號，配湊項的系數，使其積或和為定值．
(2)湊系數：若無法直接運用
7、基本不等式求解，可以通過湊系數后得到和或積為定值，從而可利用基本不等式求最值．
(3)換元：分式函數求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或將分母換元后將式子分開再利用基本不等式求最值．即化為y＝m＋＋Bg(x)(A>0，B>0)，g(x)恒正或恒負的形式，然后運用基本不等式來求最值．
(4)“1”的代換：先把已知條件中的等式變形為“1”的表達式，再把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘求積，通過變形構造和或積為定值的代數式求其最值．
[注意] 運用基本不等式時，一定要注意應用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所謂“一正”是指“正數”；“二定”指應用基本不等式求最值時，和或積為定值；“
8、三相等”是指滿足等號成立的條件．若連續(xù)兩次使用基本不等式求最值，必須使兩次等號成立的條件一致，否則最值取不到．
簡單的線性規(guī)劃問題
[考法全練]
1．(一題多解)(2019·高考天津卷)設變量x，y滿足約束條件則目標函數z＝－4x＋y的最大值為( )
A. 2 B. 3
C. 5 D. 6
解析：選C.法一：作出可行域如圖中陰影部分所示．
由z＝－4x＋y得y＝4x＋z，結合圖形可知當直線y＝4x＋z過點A時，z最大，
由
得A(－1，1)，
故zmax＝－4×(－1)＋1＝5.故選C.
法二：易知目標函數z＝－4x＋y的最大
9、值在可行域的頂點處取得，可行域的四個頂點分別是(－1，1)，(0，2)，(－1，－1)，(3，－1)．當直線y＝4x＋z經過點(－1，1)時，z＝5；當直線y＝4x＋z經過點(0，2)時，z＝2；當直線y＝4x＋z經過點(－1，－1)時，z＝3；當直線y＝4x＋z經過點(3，－1)時，z＝－13.所以zmax＝5，故選C.
2．(2019·洛陽市統(tǒng)考)如果點P(x，y)滿足，點Q在曲線x2＋(y＋2)2＝1上，則|PQ|的取值范圍是( )
A．[－1，－1] B．[－1，＋1]
C．[－1，5] D．[－1，5]
解析：選D.作出點P滿足的線性約束條件表示的平面區(qū)域(如圖中陰
10、影部分所示)，因為點Q所在圓的圓心為M(0，－2)，所以|PM|取得最小值的最優(yōu)解為(－1，0)，取得最大值的最優(yōu)解為(0，2)，所以|PM|的最小值為，最大值為4，又圓M的半徑為1，所以|PQ|的取值范圍是[－1，5]，故選D.
3．(2019·鄭州市第二次質量預測)設實數x，y滿足，則z＝的取值范圍為________．
解析：畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示．z＝表示平面區(qū)域內的點與坐標原點O的連線的斜率．
由，得，即A(－1，3)．
由，得，即B(－2，)．
所以zmax＝kOB＝＝－，zmin＝kOA＝＝－3，
所以z＝的取值范圍為.
答案：
4．
11、已知變量x，y滿足約束條件記z＝4x＋y的最大值是a，則a＝________．
解析：變量x，y滿足的約束條件的可行域如圖中陰影部分所示．作出直線4x＋y＝0，平移直線，知當直線經過點A時，z取得最大值，由解得所以A(1，－1)，此時z＝4×1－1＝3，故a＝3.
答案：3
簡單的線性規(guī)劃問題的解題策略
在給定約束條件的情況下，求線性目標函數的最優(yōu)解，其主要解題策略為：
(1)根據約束條件作出可行域．
(2)根據所要求的目標函數的最值，令目標函數z＝0，將所得直線平移，得到可行解，并確定最優(yōu)解．
(3)將取得最優(yōu)解時的點的坐標確定，并求出此時的最優(yōu)解．
合情推理
12、
[考法全練]
1．(2019·高考全國卷Ⅱ)在“一帶一路”知識測驗后，甲、乙、丙三人對成績進行預測．
甲：我的成績比乙高．
乙：丙的成績比我和甲的都高．
丙：我的成績比乙高．
成績公布后，三人成績互不相同且只有一個人預測正確，那么三人按成績由高到低的次序為( )
A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙
解析：選A.依題意，若甲預測正確，則乙、丙均預測錯誤，此時三人成績由高到低的次序為甲、乙、丙；若乙預測正確，此時丙預測也正確，這與題意相矛盾；若丙預測正確，則甲預測錯誤，此時乙預測正確，這與題意相矛盾．綜上所述，三人成績由高到低的
13、次序為甲、乙、丙，選A.
2．觀察下列等式：
12＝1
12－22＝－3
12－22＋32＝6
12－22＋32－42＝－10
…
照此規(guī)律，第n個等式為________________．
解析：觀察等式左邊的式子，每次增加一項，故第n個等式左邊有n項，指數都是2，且正、負相間，所以等式左邊的通項為(－1)n＋1n2.等式右邊的值的符號也是正、負相間，其絕對值分別為1，3，6，10，15，21，….設此數列為{an}，則a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，各式相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，即an＝1＋2＋3＋…＋n＝.
14、所以第n個等式為12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·.
答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·
3．祖暅(公元5～6世紀)是我國齊梁時代的數學家，是祖沖之的兒子．他提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異．”這里的“冪”指水平截面的面積，“勢”指高．這句話的意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體體積相等．設由橢圓＋＝1(a>b>0)所圍成的平面圖形繞y軸旋轉一周后，得一橄欖狀的幾何體(如圖)，稱為橢球體，課本中介紹了應用祖暅原理求球體體積公式的方法，請類比此法，求出橢球體體積，其體積等于_____
15、___．
解析：橢圓的長半軸長為a，短半軸長為b，現構造兩個底面半徑為b，高為a的圓柱，然后在圓柱內挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐，根據祖暅原理得出橢球的體積V＝2(V圓柱－V圓錐)＝2＝πb2a.
答案：πb2a
合情推理的解題思路
(1)在進行歸納推理時，要根據已知的部分個體，適當變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結論．
(2)在進行類比推理時，要充分考慮已知對象性質的推理過程，然后通過類比，推導出類比對象的性質．
(3)歸納推理關鍵是找規(guī)律，類比推理關鍵是看共性．
一、選擇題
1．用反證法證明命題：“設a，b為實數，則方程x3
16、＋ax＋b＝0至少有一個實根”時，要做的假設是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0沒有實根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個實根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個實根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個實根
解析：選A.依據反證法的要求，即至少有一個的反面是一個也沒有，直接寫出命題的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一個實根的反面是方程x3＋ax＋b＝0沒有實根，故應選A.
2．若a B.>
C．|a|>|b| D．a2>b2
解析：選B.因為a，故A對，
因為a
17、b，a，故B錯．
因為a－b>0，即|－a|>|－b|，
所以|a|>|b|，故C對．
因為a－b>0，
所以(－a)2>(－b)2，即a2>b2，故D對．
3．已知集合M＝{x|≤0}，N＝{x|y＝log3(－6x2＋11x－4)}，則M∩N＝( )
A. B.
C. D.
解析：選C.因為集合M＝{x|≤0}＝{x|10}＝.
所以M∩N＝∩{x|
18、小值與最大值的和為( )
A．7 B．8
C．13 D．14
解析：
選D.作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，作出直線2x＋y＝0，平移直線2x＋y＝0，當直線經過點A(1，2)時，z＝2x＋y取得最小值4，當直線經過點B(3，4)時，z＝2x＋y取得最大值10，故z的最小值與最大值的和為4＋10＝14.故選D.
5．某單位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．
甲說：我在1日和3日都有值班；
乙說：我在8日和9日都有值班；
丙說：我們三人各自值班的日期之和相等．據此可判斷丙必定值班的日期是( )
A．2日和5日 B．5日和6日
19、
C．6日和11日 D．2日和11日
解析：選C.由題意，1至12的和為78，
因為三人各自值班的日期之和相等，
所以三人各自值班的日期之和為26，
根據甲說：我在1日和3日都有值班；乙說：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，
據此可判斷丙必定值班的日期是6日和11日．
6．(2019·鄭州市第二次質量預測)設變量x，y滿足約束條件，則目標函數
z＝的最大值為( )
A. B.
C．3 D．4
解析：選C.可行域如圖中陰影部分所示，目標函數z＝，設u＝3x＋y，欲求z＝的最大值，等價于求u＝3x＋y的
20、最小值．u＝3x＋y可化為y＝－3x＋u，該直線的縱截距為u，作出直線y＝－3x并平移，當直線y＝－3x＋u經過點B(－1，2)時，縱截距u取得最小值umin＝3×(－1)＋2＝－1，所以z＝的最大值zmax＝＝3.故選C.
7．設f(x)是定義在[－2b，3＋b]上的偶函數，且在[－2b，0]上為增函數，則f(x－1)≥f(3)的解集為( )
A．[－3，3] B．[－2，4]
C．[－1，5] D．[0，6]
解析：選B.根據題意，－2b＋3＋b＝0；
所以b＝3；
所以f(x)的定義域為[－6，6]，在[－6，0]上為增函數；
所以f(x)在[0，6]上為減函
21、數；
所以由f(x－1)≥f(3)得，f(|x－1|)≥f(3)；
所以
解得－2≤x≤4；
所以原不等式的解集為[－2，4]．
8．已知x>1，y>1，且lg x，2，lg y成等差數列，則x＋y有( )
A．最小值，為20 B．最小值，為200
C．最大值，為20 D．最大值，為200
解析：選B.因為x>1，y>1，且lg x，2，lg y成等差數列，所以4＝lg x＋lg y，所以lg 104＝lg(xy)，所以xy＝10 000，所以x＋y≥2＝200，當且僅當x＝y(tǒng)＝100時取等號，所以x＋y有最小值，為200.故選B.
9．某企業(yè)生產甲、乙兩種產品，銷
22、售利潤分別為2千元/件、1千元/件．甲、乙兩種產品都需要在A，B兩種設備上加工，生產一件甲產品需用A設備2小時，B設備6小時，生產一件乙產品需用A設備3小時，B設備1小時．A，B兩種設備每月可使用時間數分別為480小時、960小時，若生產的產品都能及時售出，則該企業(yè)每月利潤的最大值為( )
A．320千元 B．360千元
C．400千元 D．440千元
解析：選B.設生產甲產品x件，生產乙產品y件，利潤為z千元，則z＝2x＋y，作出的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線2x＋y＝0，平移該直線，當直線經過直線2x＋3y＝480與直線6x＋y＝960的交點(150，60)時，z取得
23、最大值，為360.
10．設函數f(x)＝mx2－mx－1，若對于x∈[1，3]，f(x)<－m＋4恒成立，則實數m的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
解析：選A.由題意，f(x)<－m＋4，
可得m(x2－x＋1)<5.
因為當x∈[1，3]時，x2－x＋1∈[1，7]，
所以m<.
因為當x＝3時，的最小值為，
所以若要不等式m<恒成立，則必須m<，
因此，實數m的取值范圍為.
11．已知實數x，y滿足約束條件若z＝的最小值為－，則正數a的值為( )
A. B．1
C. D.
解析：選D.實數x，y滿足的約束條件的可行域如圖：
24、
因為z＝表示過點(x，y)與(－1，－1)連線的斜率，
易知a>0，所以可作出可行域，可知可行域的點A與(－1，－1)連線的斜率最小，
由解得A.
z＝的最小值為－，
即＝＝＝－?a＝.
12．已知an＝，把數列{an}的各項排列成如下的三角形狀：
記A(m，n)表示第m行的第n個數，則A(11，2)＝( )
A. B.
C. D.
解析：選D.由A(m，n)表示第m行的第n個數可知，A(11，2)表示第11行的第2個數，根據圖形可知：每一行的最后一項的項數為行數的平方，所以第10行的最后一項的項數為102＝100，即為a100，所以第11行第2項的項數為1
25、00＋2＝102，所以A(11，2)＝a102＝，故選D.
二、填空題
13．不等式|x－3|<2的解集為________．
解析：不等式|x－3|<2，即－22)的最小值為6，則正數m的值為________．
解析：因為x>2，m>0，所以y＝x－2＋＋2≥2＋2＝2＋2，當x＝2＋時取等號，又函數y＝x＋(x>2)的最小值為6，所以2＋2＝6，解得m＝4.
答案：4
15．(2019·洛陽尖子生第二次聯(lián)考)已知x，y滿足.若目標函數z＝3x＋y的最大值為10，則z的最小值為________．
解
26、析：
作出可行域，如圖中陰影部分所示．作出直線3x＋y＝0，并平移可知當直線過點A時，z取得最大值，為10，當直線過點B時，z取得最小值．由得，即A，所以3×＋＝10，解得m＝5，可得點B的坐標為(2，－1)，所以zmin＝3×2－1＝5.
答案：5
16．已知整數對的序列如下：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，…，則第57個數對是________．
解析：(1，1)兩數的和為2，共1個，
(1，2)，(2，1)，兩數的和為3，共2個，
(1，3)，(2，2)，(3，1)，兩數的和為4，共3個，
(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，兩數的和為5，共4個，
…
因為1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝55，
所以第57個數對在第11組之中的第2個數，從而兩數之和為12，應為(2，10)．
答案：(2，10)
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（新課標）2020版高考數學二輪復習 第一部分 基礎考點 自主練透 第4講 不等式與合情推理學案 文 新人教A版
