(全國(guó)通用版)2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例、概率 第5節(jié) 古典概型學(xué)案 文 新人教A版
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1、 第5節(jié) 古典概型 最新考綱 1.理解古典概型及其概率計(jì)算公式;2.會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所包含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率. 知 識(shí) 梳 理 1.基本事件的特點(diǎn) (1)任何兩個(gè)基本事件是互斥的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 2.古典概型 具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型,簡(jiǎn)稱古典概型. (1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè). (2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等. 3.如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè),而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等,那么每一個(gè)基本事件的概率都是;如果某個(gè)事件A包括的結(jié)果有m個(gè),那么事件A的概率P(A)=.
2、 4.古典概型的概率公式 P(A)=. [常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒] 1.古典概型中的基本事件都是互斥的,確定基本事件的方法主要有列舉法、列表法與樹(shù)狀圖法. 2.概率的一般加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中,易忽視只有當(dāng)A∩B=?,即A,B互斥時(shí),P(A∪B)=P(A)+P(B),此時(shí)P(A∩B)=0. 診 斷 自 測(cè) 1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)“在適宜條件下,種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型,其基本事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”.( ) (2)擲一枚硬幣兩次,出現(xiàn)“兩個(gè)正面”、“一正一反”、“兩個(gè)反面”,這三個(gè)事件是等可能事件.(
3、) (3)從-3,-2,-1,0,1,2中任取一數(shù),取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同.( ) (4)利用古典概型可求:“從長(zhǎng)度為1的線段AB上任取一點(diǎn)C,求滿足|AC|≤的概率”是古典概型.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× 2.(必修3P133A1改編)袋中裝有6個(gè)白球,5個(gè)黃球,4個(gè)紅球,從中任取一球抽到白球的概率為( ) A. B. C. D.非以上答案 解析 從袋中任取一球,有15種取法,其中抽到白球的取法有6種,則所求概率為P==. 答案 A 3.(2016·全國(guó)Ⅲ卷)小敏打開(kāi)計(jì)算機(jī)時(shí),忘記了開(kāi)機(jī)密碼的前兩位,只記得第一位是M,
4、I,N中的一個(gè)字母,第二位是1,2,3,4,5中的一個(gè)數(shù)字,則小敏輸入一次密碼能夠成功開(kāi)機(jī)的概率是( ) A. B. C. D. 解析 ∵Ω={(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5)}, ∴事件總數(shù)有15種. ∵正確的開(kāi)機(jī)密碼只有1種,∴P=. 答案 C 4.(2018·長(zhǎng)沙模擬)在裝有相等數(shù)量的白球和黑球的口袋中放進(jìn)一個(gè)白球,此時(shí)由這個(gè)口袋中取出一個(gè)白球的概率比原來(lái)由此口袋中取出一個(gè)白球的概率大,則口袋中原有小球的個(gè)數(shù)為( )
5、 A.5 B.6 C.10 D.11 解析 設(shè)原來(lái)口袋中白球、黑球的個(gè)數(shù)分別為n個(gè),依題意-=,解得n=5.所以原來(lái)口袋中小球共有2n=10個(gè). 答案 C 5.(2018·茂名調(diào)研)在{1,3,5}和{2,4}兩個(gè)集合中各取一個(gè)數(shù)組成一個(gè)兩位數(shù),則這個(gè)數(shù)能被4整除的概率是________. 解析 符合條件的兩位數(shù)共有12個(gè),其中能被4整除的兩位數(shù)為12,32,52,共3個(gè).∴所求事件的概率P==. 答案 考點(diǎn)一 簡(jiǎn)單古典概型的概率 【例1】 (1)(2016·全國(guó)Ⅰ卷)為美化環(huán)境,從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中,余下的2種花種在另一個(gè)花
6、壇中,則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是( ) A. B. C. D. (2)(2017·全國(guó)Ⅱ卷)從分別寫(xiě)有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張,放回后再隨機(jī)抽取1張,則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為( ) A. B. C. D. 解析 (1)從4種顏色的花中任選2種顏色的花種在一個(gè)花壇中,余下2種顏色的花種在另一個(gè)花壇的種數(shù)有:紅黃—白紫、紅白—黃紫、紅紫—白黃、黃白—紅紫、黃紫—紅白、白紫—紅黃,共6種,其中紅色和紫色的花不在同一花壇的種數(shù)有:紅黃—白紫、紅白—黃紫、黃紫—紅白、白紫—紅黃,共4種.故所求概率為P==. (
7、2)從5張卡片中隨機(jī)抽取1張,放回后再隨機(jī)抽取1張的情況如圖: 基本事件總數(shù)為25,第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)為10,故所求概率P==. 答案 (1)C (2)D 規(guī)律方法 1.計(jì)算古典概型事件的概率可分三步:(1)計(jì)算基本事件總個(gè)數(shù)n;(2)計(jì)算事件A所包含的基本事件的個(gè)數(shù)m;(3)代入公式求出概率P. 2.用列舉法寫(xiě)出所有基本事件時(shí),可借助“樹(shù)狀圖”列舉,以便做到不重、不漏. 【訓(xùn)練1】 (1)(2017·天津卷)有5支彩筆(除顏色外無(wú)差別),顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫.從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆,則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為( )
8、 A. B. C. D. (2)(2018·衡水中學(xué)質(zhì)檢)將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個(gè)面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具)先后拋擲2次,則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的概率是________. 解析 (1)從5支彩筆中任取2支不同顏色彩筆的取法有紅黃、紅藍(lán)、紅綠、紅紫、黃藍(lán)、黃綠、黃紫、藍(lán)綠、藍(lán)紫、綠紫,共10種,其中取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的取法有紅黃、紅藍(lán)、紅綠、紅紫,共4種. 所以所求概率P==. (2)將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次,共有36種不同結(jié)果. 設(shè)事件A=“出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10”,其對(duì)立事件=“出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和大于或等于10
9、”, 包含的可能結(jié)果有(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6),共6種情況.由于P()==,因此P(A)=1-P()=. 答案 (1)C (2) 考點(diǎn)二 應(yīng)用古典概型計(jì)算較復(fù)雜事件的概率 【例2】 (2016·山東卷)某兒童樂(lè)園在“六一”兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活動(dòng).參加活動(dòng)的兒童需轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤(pán)兩次,每次轉(zhuǎn)動(dòng)后,待轉(zhuǎn)盤(pán)停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù).設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x,y.獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下: ①若xy≤3,則獎(jiǎng)勵(lì)玩具一個(gè); ②若xy≥8則獎(jiǎng)勵(lì)水杯一個(gè); ③其余情況獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶. 假設(shè)轉(zhuǎn)盤(pán)質(zhì)地均勻,四個(gè)區(qū)域劃分均勻,小亮準(zhǔn)備參加此項(xiàng)活動(dòng).
10、(1)求小亮獲得玩具的概率; (2)請(qǐng)比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小,并說(shuō)明理由. 解 用數(shù)對(duì)(x,y)表示兒童參加活動(dòng)先后記錄的數(shù),則基本事件空間Ω與點(diǎn)集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一對(duì)應(yīng).得基本事件總數(shù)n=16. (1)記“xy≤3”為事件A, 則事件A包含的基本事件數(shù)共5個(gè), 即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1), 所以P(A)=,即小亮獲得玩具的概率為. (2)記“xy≥8”為事件B,“3<xy<8”為事件C. 則事件B包含的基本事件數(shù)共6個(gè). 即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3)
11、,(4,4). 所以P(B)==. 事件C包含的基本事件數(shù)共5個(gè), 即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1). 所以P(C)=.因?yàn)椋荆? 所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率. 規(guī)律方法 1.求古典概型的概率的關(guān)鍵是正確列舉出基本事件的總數(shù)和待求事件包含的基本事件數(shù). 2.三點(diǎn)注意:(1)對(duì)于較復(fù)雜的題目,列出事件數(shù)時(shí)要正確分類,分類時(shí)應(yīng)不重不漏. (2)當(dāng)直接求解有困難時(shí),可考慮轉(zhuǎn)化為互斥事件、對(duì)立事件的概率,借助概率的加法公式計(jì)算. (3)本題中的基本事件(x,y)是有序的,(1,2)與(2,1)表示不同的基本事件. 【訓(xùn)練2】 設(shè)a∈{2,4}
12、,b∈{1,3},函數(shù)f(x)=ax2+bx+1. (1)求f(x)在區(qū)間(-∞,-1]上是減函數(shù)的概率; (2)從f(x)中隨機(jī)抽取兩個(gè),求它們?cè)?1,f(1))處的切線互相平行的概率. 解 (1)依題意,數(shù)對(duì)(a,b)所有取值為(2,1),(2,3),(4,1),(4,3)共4種情況. 記“f(x)在區(qū)間(-∞,-1]上是減函數(shù)”為事件A. 則A發(fā)生時(shí),x=-≥-1,即a≥b. ∴事件A發(fā)生時(shí),有(2,1),(4,1),(4,3)共3種情況. 故所求事件的概率P(A)=. (2)由(1)可知,函數(shù)f(x)共有4種可能,從中隨機(jī)抽取兩個(gè),有6種抽法. ∵函數(shù)f(x)在(1,
13、f(1))處的切線的斜率為f′(1)=a+b, ∴這兩個(gè)函數(shù)中的a與b之和應(yīng)該相等,則只有(2,3),(4,1)這1組滿足, 故所求事件的概率P=. 考點(diǎn)三 概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題 【例3】 (2018·合肥質(zhì)檢)一企業(yè)從某條生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品,測(cè)量這些產(chǎn)品的某項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)值x,得到如下的頻率分布表: x [11,13) [13,15) [15,17) [17,19) [19,21) [21,23] 頻數(shù) 2 12 34 38 10 4 (1)作出樣本的頻率分布直方圖,并估計(jì)該技術(shù)指標(biāo)值x的平均數(shù)和眾數(shù); (2)若x<13或x≥21,則該產(chǎn)品不合格
14、.現(xiàn)從不合格的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件,求抽取的2件產(chǎn)品中技術(shù)指標(biāo)值小于13的產(chǎn)品恰有1件的概率. 解 (1)頻率分布直方圖為 估計(jì)平均數(shù)為=12×0.02+14×0.12+16×0.34+18×0.38+20×0.10+22×0.04=17.08. 由頻率分布直方圖,x∈[17,19)時(shí),矩形面積最大,因此估計(jì)眾數(shù)為18. (2)記技術(shù)指標(biāo)值x<13的2件不合格產(chǎn)品為a1,a2,技術(shù)指標(biāo)值x≥21的4件不合格產(chǎn)品為b1,b2,b3,b4, 則從這6件不合格產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件包含如下基本事件(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,b4),(a2,b1),
15、(a2,b2),(a2,b3),(a2,b4),(b1,b2),(b1,b3),(b1,b4),(b2,b3),(b2,b4),(b3,b4),共15個(gè)基本事件. 記抽取的2件產(chǎn)品中技術(shù)指標(biāo)值小于13的產(chǎn)品恰有1件為事件M,則事件M包含如下基本事件(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,b4),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,b4),共8個(gè)基本事件. 故抽取2件產(chǎn)品中技術(shù)指標(biāo)值小于13的產(chǎn)品恰有1件的概率為P=. 規(guī)律方法 1.概率與統(tǒng)計(jì)的綜合題一般是先給出樣本數(shù)據(jù)或樣本數(shù)據(jù)的分布等,在解題中首先要處理好數(shù)據(jù),如數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)、數(shù)據(jù)的分布規(guī)律等,即把數(shù)
16、據(jù)分析清楚,然后再根據(jù)題目要求進(jìn)行相關(guān)計(jì)算. 2.在求解該類問(wèn)題要注意兩點(diǎn): (1)明確頻率與概率的關(guān)系,頻率可近似替代概率. (2)此類問(wèn)題中的概率模型多是古典概型,在求解時(shí),要明確基本事件的構(gòu)成. 【訓(xùn)練3】 海關(guān)對(duì)同時(shí)從A,B,C三個(gè)不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測(cè),從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量(單位:件)如表所示.工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測(cè). 地區(qū) A B C 數(shù)量 50 150 100 (1)求這6件樣品來(lái)自A,B,C各地區(qū)商品的數(shù)量; (2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測(cè),求這2件商品來(lái)自相同地區(qū)的概
17、率. 解 (1)因?yàn)闃颖救萘颗c總體中的個(gè)體數(shù)的比是=, 所以樣本中包含三個(gè)地區(qū)的個(gè)體數(shù)量分別是: 50×=1,150×=3,100×=2. 所以A,B,C三個(gè)地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別為1,3,2. (2)設(shè)6件來(lái)自A,B,C三個(gè)地區(qū)的樣品分別為A;B1,B2,B3;C1,C2. 則從6件樣品中抽取的這2件商品構(gòu)成的所有基本事件為: {A,B1},{A,B2},{A,B3},{A,C1},{A,C2},{B1,B2},{B1,B3},{B1,C1},{B1,C2},{B2,B3},{B2,C1},{B2,C2},{B3,C1},{B3,C2},{C1,C2},共15個(gè). 每個(gè)樣
18、品被抽到的機(jī)會(huì)均等,因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.記事件D:“抽取的這2件商品來(lái)自相同地區(qū)”,則事件D包含的基本事件有 {B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},{C1,C2},共4個(gè). 所以這2件商品來(lái)自相同地區(qū)的概率P(D)=. 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí):40分鐘) 一、選擇題 1.(2016·北京卷)從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人,則甲被選中的概率為( ) A. B. C. D. 解析 設(shè)另外三名學(xué)生分別為丙、丁、戊.從5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人,有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(甲,戊),(乙,丙),(乙,丁),(乙,戊),(丙,丁),(
19、丙,戊),(丁,戊),共10種情形,其中甲被選中的有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(甲,戊),共4種情形.故甲被選中的概率P==. 答案 B 2.(2015·全國(guó)Ⅰ卷)如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng),則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù).從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù),則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為( ) A. B. C. D. 解析 從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)共有如下10個(gè)不同的結(jié)果:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5
20、),其中勾股數(shù)只有(3,4,5),所求概率為.所以3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率P=. 答案 C 3.(2018·東北四市模擬)將一枚硬幣連續(xù)拋擲n次,若使得至少有一次正面向上的概率不小于,則n的最小值為( ) A.4 B.5 C.6 D.7 解析 依題意,得1-≥,解得n≥4. 答案 A 4.在集合A={2,3}中隨機(jī)取一個(gè)元素m,在集合B={1,2,3}中隨機(jī)取一個(gè)元素n,得到點(diǎn)P(m,n),則點(diǎn)P在圓x2+y2=9內(nèi)部的概率為( ) A. B. C. D. 解析 點(diǎn)P(m,n)共有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3
21、),6種情況,只有(2,1),(2,2)這2個(gè)點(diǎn)在圓x2+y2=9的內(nèi)部,所求概率為=. 答案 B 5.設(shè)m,n分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù),則在先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的條件下,方程x2+mx+n=0有實(shí)根的概率為( ) A. B. C. D. 解析 先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的情況有:(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共11種,其中使方程x2+mx+n=0有實(shí)根的情況有:(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共7種.故所求事
22、件的概率P=. 答案 C 二、填空題 6.(2014·全國(guó)Ⅱ卷)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇1種,則他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為_(kāi)_______. 解析 甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員選擇運(yùn)動(dòng)服顏色的情況為(紅,紅),(紅,白),(紅,藍(lán)),(白,白),(白,紅),(白,藍(lán)),(藍(lán),藍(lán)),(藍(lán),白),(藍(lán),紅),共9種. 而同色的有(紅,紅),(白,白),(藍(lán),藍(lán)),共3種. 所以所求概率P==. 答案 7.(2016·四川卷)從2,3,8,9中任取兩個(gè)不同的數(shù)字,分別記為a,b,則logab為整數(shù)的概率是________. 解析 從2,3,8,9中任
23、取兩個(gè)不同的數(shù)字,分別記為a,b,則有(2,3),(2,8),(2,9),(3,8),(3,9),(8,9),(3,2),(8,2),(9,2),(8,3),(9,3),(9,8), 共12種取法,其中l(wèi)ogab為整數(shù)的有(2,8),(3,9)兩種,故P==. 答案 8.將號(hào)碼分別為1,2,3,4的四個(gè)小球放入一個(gè)袋中,這些小球僅號(hào)碼不同,其余完全相同,甲從袋中摸出一個(gè)小球,其號(hào)碼為a,放回后,乙從此口袋中再摸出一個(gè)小球,其號(hào)碼為b,則使不等式a-2b+4<0成立的事件發(fā)生的概率為_(kāi)_______. 解析 由題意知(a,b)的所有可能結(jié)果有16種.其中滿足a-2b+4<0 有(1,3)
24、,(1,4),(2,4),(3,4)共4種結(jié)果. 故所求事件的概率P==. 答案 三、解答題 9.(2017·山東卷)某旅游愛(ài)好者計(jì)劃從3個(gè)亞洲國(guó)家A1,A2,A3和3個(gè)歐洲國(guó)家B1,B2,B3中選擇2個(gè)國(guó)家去旅游. (1)若從這6個(gè)國(guó)家中任選2個(gè) ,求這2個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的概率; (2)若從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選1個(gè),求這2個(gè)國(guó)家包括A1但不包括B1的概率. 解 (1)由題意知,從6個(gè)國(guó)家中任選兩個(gè)國(guó)家,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有: {A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2},{
25、A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},共15個(gè). 所選兩個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的事件所包含的基本事件有 {A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3個(gè). 則所求事件的概率為P==. (2)從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選一個(gè),其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有: {A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},共9個(gè). 包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有 {A1,B2},{A1,B3},共2個(gè),則所求事件的
26、概率為P=. 10.(2018·河南名校聯(lián)考)某校高一年級(jí)學(xué)生全部參加了體育科目的達(dá)標(biāo)測(cè)試,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的測(cè)試成績(jī),整理數(shù)據(jù)并按分?jǐn)?shù)段[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]進(jìn)行分組,假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替,則得到體育成績(jī)的折線圖(如下). (1)體育成績(jī)大于或等于70分的學(xué)生常被稱為“體育良好”.已知該校高一年級(jí)有 1 000名學(xué)生,試估計(jì)該校高一年級(jí)中“體育良好”的學(xué)生人數(shù); (2)為分析學(xué)生平時(shí)的體育活動(dòng)情況,現(xiàn)從體育成績(jī)?cè)赱60,70)和[80,90)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,求在抽
27、取的2名學(xué)生中,至少有1人體育成績(jī)?cè)赱60,70)的概率. 解 (1)由折線圖,知樣本中體育成績(jī)大于或等于70分的學(xué)生有14+3+13=30(人). 所以該校高一年級(jí)中,“體育良好”的學(xué)生人數(shù)大約有1 000×=750(人). (2)設(shè)“至少有1人體育成績(jī)?cè)赱60,70)”為事件M, 記體育成績(jī)?cè)赱60,70)的數(shù)據(jù)為A1,A2,體育成績(jī)?cè)赱80,90)的數(shù)據(jù)為B1,B2,B3,則從這兩組數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取2個(gè),所有可能的結(jié)果有10種,即(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B
28、3). 而事件M的結(jié)果有7種,即(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3). 因此事件M的概率P(M)=. 能力提升題組 (建議用時(shí):20分鐘) 11.(2017·衡水中學(xué)質(zhì)檢)從集合{2,3,4,5}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)a,從集合{1,3,5}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)b,則向量m=(a,b)與向量n=(1,-1)垂直的概率為( ) A. B. C. D. 解析 由題意知,向量m共有12個(gè), 由m⊥n,得m·n=0,即a=b,則滿足m⊥n的m有(3,3),(5,5),共2個(gè),故所求概率P==. 答案 A
29、 12.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+b2x+1,若a是從1,2,3三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的概率為_(kāi)_______. 解析 對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)可得f′(x)=x2+2ax+b2,要滿足題意需x2+2ax+b2=0有兩個(gè)不等實(shí)根, 即Δ=4(a2-b2)>0,即a>b. 又(a,b)的取法共有9種,其中滿足a>b的有(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),共6種, 故所求的概率P==. 答案 13.某單位N名員工參加“社區(qū)低碳你我他”活動(dòng).他們的年齡在25歲至50歲之間.按年齡分組:第1組[
30、25,30),第2組[30,35),第3組[35,40),第4組[40,45),第5組[45,50],得到的頻率分布直方圖如圖所示. 下表是年齡的頻數(shù)分布表. 區(qū)間 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50] 人數(shù) 25 a b (1)求正整數(shù)a,b,N的值. (2)現(xiàn)要從年齡較小的第1,2,3組中用分層抽樣的方法抽取6人,則年齡在第1,2,3組的人數(shù)分別是多少? (3)在(2)的條件下,從這6人中隨機(jī)抽取2人參加社區(qū)宣傳交流活動(dòng),求恰有1人在第3組的概率. 解 (1)由題干中的頻率分布直方圖可知,a=25,且b=2
31、5×=100,總?cè)藬?shù)N==250. (2)因?yàn)榈?,2,3組共有25+25+100=150(人),利用分層抽樣在150人中抽取6人,每組抽取的人數(shù)分別為: 第1組的人數(shù)為6×=1; 第2組的人數(shù)為6×=1; 第3組的人數(shù)為6×=4, 所以第1,2,3組分別抽取的人數(shù)為1,1,4. (3)由(2)可設(shè)第1組的1人為A,第2組的1人為B,第3組的4人分別為C1,C2,C3,C4,則從6人中抽取2人的所有可能結(jié)果為:(A,B),(A,C1),(A,C2),(A,C3),(A,C4),(B,C1),(B,C2),(B,C3),(B,C4),(C1,C2),(C1,C3),(C1,C4),(C2,C3),(C2,C4),(C3,C4),共15種. 其中恰有1人在第3組的所有結(jié)果為:(A,C1),(A,C2),(A,C3),(A,C4),(B,C1),(B,C2),(B,C3),(B,C4),共8種,所以恰有1人在第3組的概率為. 13
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