2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 數(shù)列學(xué)案 理

2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 數(shù)列學(xué)案 理, 第一講 小題考法等差數(shù)列與等比數(shù)列考點(diǎn)(一)數(shù)列的遞推關(guān)系式主要考查方式有兩種：一是利用an與Sn的關(guān)系求通項an或前n項和Sn；二是利用an與an1的關(guān)系求通項an或前n項和Sn.典例感悟典例(1)(2018·合肥一模)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，若3Sn2an3n，則a2 018()A22 0181B.32 0186C.2 018 D.2 018(2)(2018·惠州模擬)已知數(shù)列an滿足a11，an12an2n(nN*)，則數(shù)列an的通項公式an_.(3)(2018·昆明模擬)在數(shù)列an中，a15，(an12)(an2)3(nN*)，則該數(shù)列的前2 018項的和是_解析(1)3Sn2an3n，當(dāng)n1時，3S13a12a13，a13.當(dāng)n2時，3an3Sn3Sn1(2an3n)(2an13n3)，an2an13，an12(an11)，數(shù)列an1是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，an12×(2)n1(2)n，an(2)n1，a2 018(2)2 018122 0181.故選A.(2)an12an2n兩邊同除以2n1，可得，又，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，(n1)×，ann·2n1.(3)依題意得(an12)(an2)3，(an22)·(an12)3，因此an22an2，即an2an，所以數(shù)列an是以2為周期的數(shù)列又a15，因此(a22)(a12)3(a22)3，故a23，a1a28.又因為2 0182×1 009，所以該數(shù)列的前2 018項的和等于1 009(a1a2)8 072.答案(1)A(2)n·2n1(3)8 072方法技巧由an與Sn的關(guān)系求通項公式的注意點(diǎn)(1)應(yīng)重視分類討論思想的應(yīng)用，分n1和n2兩種情況討論，特別注意anSnSn1成立的前提是n2.(2)由SnSn1an推得an，當(dāng)n1時，a1也適合，則需統(tǒng)一表示(“合寫”)(3)由SnSn1an推得an，當(dāng)n1時，a1不適合，則數(shù)列的通項公式應(yīng)分段表示(“分寫”)，即an演練沖關(guān)1(2019屆高三·洛陽四校聯(lián)考)已知數(shù)列滿足條件a1a2a3an2n5，則數(shù)列的通項公式為()Aan2n1 BanCan2n D.an2n2解析：選B由題意可知，數(shù)列滿足條件a1a2a3an2n5，則n2時，有a1a2a3an12(n1)5，n2，兩式相減可得，2n52(n1)52，an2n1，n2，nN*.當(dāng)n1時，7，a114，綜上可知，數(shù)列的通項公式為an2已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x，y滿足f(x)f(y)f(xy)，若數(shù)列an的前n項和Snf(n)(nN*)且a11，那么a2 018()A1 B1C2 018 D.2 018解析：選B法一：Snf(n)，S22S1a1a2，a21，S3S1S23，a31，S4S1S34，a41，a2 0181.法二：令x1，yn，則SnS1Sn1.當(dāng)n2時，Sn1S1Sn，Sn1SnSnSn1，故an1an，a11，可求出a21，a2 0181.3(2018·全國卷)記Sn為數(shù)列an的前n項和若Sn2an1，則S6_.解析：Sn2an1，當(dāng)n2時，Sn12an11，anSnSn12an2an1，即an2an1.當(dāng)n1時，a1S12a11，得a11.數(shù)列an是首項a1為1，公比q為2的等比數(shù)列，Sn12n，S612663.答案：634已知數(shù)列an的前n項和為Sn32n，則數(shù)列an的通項公式為_解析：當(dāng)n1時，a1S1325；當(dāng)n2時，anSnSn132n(32n1)2n2n12n1.因為當(dāng)n1時，不符合an2n1，所以數(shù)列an的通項公式為an答案：an考點(diǎn)(二)等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算主要考查與等差(比)數(shù)列的通項公式、前n項和公式有關(guān)的五個基本量間的“知三求二”運(yùn)算.典例感悟典例(1)(2017·全國卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和若a4a524，S648，則an的公差為()A1B.2C4 D.8(2)(2018·全國卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，若3S3S2S4，a12，則a5()A12 B10C10 D.12(3)(2017·全國卷)設(shè)等比數(shù)列an滿足a1a21，a1a33，則 a4_.(4)(2019屆高三·河南十校聯(lián)考)已知an是公差為1的等差數(shù)列，Sn為an的前n項和，若S84S4，則a10_.解析(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則由得即解得d4.(2)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由3S3S2S4，得3(3a13d)2a1d4a16d，即3a12d0.將a12代入上式，解得d3，故a5a1(51)d24×(3)10.(3)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則a1a2a1(1q)1，a1a3a1(1q2)3，兩式相除，得，解得q2，a11，所以a4a1q38.(4)an是公差為1的等差數(shù)列，S88a128，S44a16.S84S4，8a1284(4a16)，解得a1，a10a19d9.答案(1)C(2)B(3)8(4)方法技巧等差(比)數(shù)列基本運(yùn)算的解題思路(1)設(shè)基本量：首項a1和公差d(公比q)(2)列、解方程(組)：把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d(或q)的方程(組)，然后求解，注意整體計算，以減少運(yùn)算量演練沖關(guān)1(2018·廣西模擬)在等差數(shù)列an中，已知a22，前7項和S756，則公差d()A2 B3C2 D.3解析：選B由題意可得即解得選B.2已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，a2a52a3,2a44a75，則S5()A29 B31C33 D.36解析：選B法一：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由題意知解得所以S531，故選B.法二：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由a2a52a3，得a42，又2a44a75，所以a7，所以q，所以a116，所以S531，故選B.3(2018·開封模擬)已知數(shù)列an滿足log2an11log2an(nN*)，且a1a2a3a101，則log2(a101a102a110)_.解析：由log2an11log2an，可得log2an1log22an，所以an12an，所以數(shù)列an是以a1為首項，2為公比的等比數(shù)列，又a1a2a101，所以a101a102a110(a1a2a10)×21002100，所以log2(a101a102a110)log22100100.答案：100考點(diǎn)(三)等差、等比數(shù)列的性質(zhì)主要考查利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)求解基本量及與數(shù)列單調(diào)性有關(guān)的參數(shù)范圍問題.典例感悟典例(1)(2018·宜昌模擬)已知9，a1，a2，1成等差數(shù)列，9，b1，b2，b3，1成等比數(shù)列，則b2(a1a2)等于()A30B.30C±30 D.15(2)(2018·四川遂寧一診)已知數(shù)列an滿足an若對于任意的nN*都有an>an1，則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.解析(1)依題意a1a29(1)10，b(9)×(1)9，又b2與9，1符號相同，即b23，b2(a1a2)30.(2)因為an>an1，所以數(shù)列an是遞減數(shù)列，所以解得<<，故選B.答案(1)A(2)B方法技巧等差、等比數(shù)列性質(zhì)問題的求解策略解題關(guān)鍵抓住項與項之間的關(guān)系及項的序號之間的關(guān)系，從這些特點(diǎn)入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，具有函數(shù)的一些性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性等，可利用函數(shù)的性質(zhì)解題演練沖關(guān)1(2019屆高三·西安八校聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且a2a7a1224，則S13()A52 B78C104 D.208解析：選C依題意得3a724，a78，S1313a7104.2已知數(shù)列an的前n項和Snan2bn(a，bR)，且S25100，則a12a14()A16 B8C4 D.不確定解析：選B由數(shù)列an的前n項和Snan2bn(a，bR)，可得數(shù)列an是等差數(shù)列，S25100，解得a1a258，所以a12a14a1a258.3(2018·合肥質(zhì)檢)已知數(shù)列an是首項為a，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列bn滿足bn.若對任意的nN*，都有bnb8成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A(8，7) B8，7)C(8，7 D.8，7解析：選A因為an是首項為a，公差為1的等差數(shù)列，所以anna1，因為bn1，又對任意的nN*都有bnb8成立，所以11，即對任意的nN*恒成立，因為數(shù)列an是公差為1的等差數(shù)列，所以an是單調(diào)遞增的數(shù)列，所以即解得8<a<7.考點(diǎn)(四)數(shù)列的綜合問題主要考查等差、等比數(shù)列相結(jié)合的基本量的計算以及數(shù)列有關(guān)最值問題的求解.典例感悟典例(1)(2019屆高三·西安八校聯(lián)考)已知數(shù)列an是等比數(shù)列，數(shù)列bn是等差數(shù)列，若a1·a6·a113，b1b6b117，則tan的值為()A B1 C D.(2)(2017·全國卷)等差數(shù)列an的首項為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則an前6項的和為()A24 B3 C3 D.8(3)在等差數(shù)列an中，已知a113,3a211a6，則數(shù)列an的前n項和Sn的最大值為_解析(1)依題意得，a()3，a6，3b67，b6，所以，故tan tan tan tan .(2)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，因為a2，a3，a6成等比數(shù)列，所以a2a6a，即(a1d)(a15d)(a12d)2.又a11，所以d22d0.又d0，則d2，所以an前6項的和S66×1×(2)24.(3)設(shè)an的公差為d.由3a211a6，得3×(13d)11×(135d)，解得d2，所以an13(n1)×(2)2n15.法一：由得解得6.5n7.5.因為nN*，所以當(dāng)n7時，數(shù)列an的前n項和Sn最大，最大值為S749.法二：Snn214n(n7)249，所以當(dāng)n7時，數(shù)列an的前n項和Sn最大，最大值為S749.答案(1)A(2)A(3)49方法技巧等差、等比數(shù)列綜合問題的求解策略(1)對于等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯的問題，要從兩個數(shù)列的特征入手，理清它們的關(guān)系，常用“基本量法”求解，但有時靈活地運(yùn)用等差中項、等比中項等性質(zhì)，可使運(yùn)算簡便(2)數(shù)列的通項或前n項和可以看作關(guān)于n的函數(shù)，然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解數(shù)列的有關(guān)最值問題演練沖關(guān)1(2018·昆明七校調(diào)研)在等比數(shù)列an中，Sn是它的前n項和，若q2，且a2與2a4的等差中項為18，則S5()A62 B62C32 D.32解析：選A依題意得a22a436，q2，則2a116a136，解得a12，因此S562，選A.2(2018·江西師大附中檢測)已知正項等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且S1，S3，S4成等差數(shù)列，則數(shù)列an的公比為_解析：設(shè)an的公比為q，由題意易知q>0且q1，因為S1，S3，S4成等差數(shù)列，所以2S3S1S4，即a1，解得q.答案：3在等差數(shù)列an中，a17，公差為d，前n項和為Sn，當(dāng)且僅當(dāng)n8時Sn取得最大值，則d的取值范圍為_解析：由題意，得a8>0，a9<0，所以77d>0，且78d<0，即1<d<.答案： 必備知能·自主補(bǔ)缺依據(jù)學(xué)情課下看，針對自身補(bǔ)缺漏；臨近高考再瀏覽，考前溫故熟主干主干知識要記牢1等差數(shù)列、等比數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列通項公式ana1(n1)dana1qn1(q0)前n項和公式Snna1d(1)q1，Sn；(2)q1，Snna12判斷等差數(shù)列的常用方法(1)定義法：an1and(常數(shù))(nN*)an是等差數(shù)列(2)通項公式法：anpnq(p，q為常數(shù)，nN*)an是等差數(shù)列(3)中項公式法：2an1anan2(nN*)an是等差數(shù)列(4)前n項和公式法：SnAn2Bn(A，B為常數(shù)，nN*)an是等差數(shù)列3判斷等比數(shù)列的常用方法(1)定義法：q(q是不為0的常數(shù)，nN*)an是等比數(shù)列(2)通項公式法：ancqn(c，q均是不為0的常數(shù)，nN*)an是等比數(shù)列(3)中項公式法：aan·an2(an·an1·an20，nN*)an是等比數(shù)列二級結(jié)論要用好1等差數(shù)列的重要規(guī)律與推論(1)ana1(n1)dam(nm)d；pqmnapaqaman.(2)apq，aqp(pq)apq0；SmnSmSnmnd.(3)連續(xù)k項的和(如Sk，S2kSk，S3kS2k，)構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列(4)若等差數(shù)列an的項數(shù)為偶數(shù)2m，公差為d，所有奇數(shù)項之和為S奇，所有偶數(shù)項之和為S偶，則所有項之和S2mm(amam1)，S偶S奇md，.(5)若等差數(shù)列an的項數(shù)為奇數(shù)2m1，所有奇數(shù)項之和為S奇，所有偶數(shù)項之和為S偶，則所有項之和S2m1(2m1)am，S奇mam，S偶(m1)am，S奇S偶am，.針對練1一個等差數(shù)列的前12項和為354，前12項中偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和之比為3227，則該數(shù)列的公差d_.解析：設(shè)等差數(shù)列的前12項中奇數(shù)項的和為S奇，偶數(shù)項的和為S偶，等差數(shù)列的公差為d.由已知條件，得解得又S偶S奇6d，所以d5.答案：52等比數(shù)列的重要規(guī)律與推論(1)ana1qn1amqnm；pqmnap·aqam·an.(2)an，bn成等比數(shù)列anbn成等比數(shù)列(3)連續(xù)m項的和(如Sm，S2mSm，S3mS2m，)構(gòu)成的數(shù)列是等比數(shù)列(注意：這連續(xù)m項的和必須非零才能成立)(4)若等比數(shù)列有2n項，公比為q，奇數(shù)項之和為S奇，偶數(shù)項之和為S偶，則q.(5)對于等比數(shù)列前n項和Sn，有：SmnSmqmSn；(q±1)易錯易混要明了已知數(shù)列的前n項和求an，易忽視n1的情形，直接用SnSn1表示事實上，當(dāng)n1時，a1S1；當(dāng)n2時，anSnSn1.針對練2已知數(shù)列an的前n項和Snn21，則該數(shù)列的通項公式為_解析：當(dāng)n1時，a1S12.當(dāng)n2時，anSnSn1(n21)(n1)21n2(n1)22n1，又當(dāng)n1時，2×1112.an答案：anA級124提速練一、選擇題1(2019屆高三·合肥模擬)若等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足a2S34，a3S512，則a4S7的值是()A20B.36C24 D.72解析：選C由a2S34及a3S512得解得a4S78a124d24.故選C.2設(shè)等比數(shù)列的前n項和為Sn，若S1a2，S2a3，則公比q()A1 B4 C4或0 D.8解析：選BS1a2，S2a3，解得或(舍去)，故所求的公比q4.3(2018·云南師大附中適應(yīng)性考試)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a2，a3，a1成等差數(shù)列，則的值為()A. B.C. D.解析：選C設(shè)an的公比為q且q>0，因為a2，a3，a1成等差數(shù)列，所以a1a22×a3a3，即a1a1qa1q2，因為a10，所以q2q10，解得q或q<0(舍去)，所以q2，故選C.4(2018·遼寧五校聯(lián)考)各項為正的等比數(shù)列an中，a4與a14的等比中項為2，則log2a7log2a11的值為()A1 B2C3 D.4解析：選C由題意得a4a14(2)28，由等比數(shù)列的性質(zhì)，得a4a14a7a118，log2a7log2a11log2(a7a11)log283，故選C. 5.(2018·陜西模擬)設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若2a86a11，則S9()A27 B36C45 D.54解析：選D在等差數(shù)列an中，2a8a5a116a11，a56，故S99a554.故選D.6等差數(shù)列an和bn的前n項和分別為Sn，Tn，且，則()A. B.C. D.解析：選A由題知，.7已知數(shù)列是等差數(shù)列，且a32，a912，則a15()A10 B30C40 D.20解析：選B法一：設(shè)數(shù)列的公差為d.a32，a912，6d，d，12d2.故a1530.法二：由于數(shù)列是等差數(shù)列，故2×，即2×2，故a1530.8已知數(shù)列an的各項均為正整數(shù)，其前n項和為Sn.若an1且S329，則a1()A4 B5C6 D.7解析：選B法一：若a14k，則a22k，a3k，此時S37k29，由于k為整數(shù)，此時無解；若a14k1，則a212k4，a36k2，此時S322k729，解得k1，即a15；若a14k2，則a22k1，a36k4，此時S312k729，由于k為整數(shù)，此時無解；若a14k3，則a212k10，a36k5，此時S322k1829，由于k為整數(shù)，此時無解綜上可知a15.法二：當(dāng)a14時，a22，a31，S37，排除A；當(dāng)a15時，a216，a38，S329，B符合題意，故選B.9(2019屆高三·湖南十校聯(lián)考)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且a1<0，若存在自然數(shù)m3，使得amSm，則當(dāng)n>m時，Sn與an的大小關(guān)系是()ASn<an BSnanCSn>an D.大小不能確定解析：選C若a1<0，存在自然數(shù)m3，使得amSm，則d>0，否則若d0，數(shù)列是遞減數(shù)列或常數(shù)列，則恒有Sm<am，不存在amSm.由于a1<0，d>0，當(dāng)m3時，有amSm，因此am>0，Sm>0，又SnSmam1an，顯然Sn>an.故選C.10(2018·西安八校聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若S6>S7>S5，則滿足SnSn1<0的正整數(shù)n的值為()A10 B11C12 D.13解析：選C由S6>S7>S5，得S7S6a7<S6，S7S5a6a7>S5，所以a7<0，a6a7>0，所以an為遞減數(shù)列，又S1313a7<0，S126(a6a7)>0，所以S12S13<0，即滿足SnSn1<0的正整數(shù)n的值為12，故選C.11(2018·沈陽二模)已知數(shù)列an滿足a11，an13an(n2，nN*)，其前n項和為Sn，則滿足Sn的n的最小值為()A6 B5C8 D.7解析：選B由an13an(n2)可得(n2)，可得數(shù)列an是首項為a11，公比為q的等比數(shù)列，所以Sn.由Sn可得，即1n，得n5(nN*)，故選B.12已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an的首項a1，前n項和為Sn，且S3a3，S5a5，S4a4成等差數(shù)列，則數(shù)列an的通項公式an()A. B.C.×n1 D.×n解析：選A設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q>0)，由題意知a1>0，且an·qn1，又S3a3，S5a5，S4a4成等差數(shù)列，所以2(S5a5)S3a3S4a4，即2(a1a2a3a42a5)a1a22a3a1a2a32a4，化簡得4a5a3，從而4q21，解得q±，又q>0，故q，an，選擇A.二、填空題13(2018·重慶模擬)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若a55，則log5a1log5a2log5a9_.解析：因為數(shù)列an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，所以由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a1·a9a2·a8a3·a7a4·a6a52，則log5a1log5a2log5a9log5(a1·a2··a9)log5(a1·a9)·(a2·a8)·(a3·a7)·(a4·a6)·a5log5alog5599.答案：914(2018·天津模擬)數(shù)列an滿足a12a24a32n1an2n1，且數(shù)列an的前n項和為Sn，若對任意的nN*，都有2<Sn<4，則實數(shù)的取值范圍是_解析：由a12a24a32n1an2n1，可得a12a24a32n2an12(n1)12n3(n2)，兩式相減得2n1an2(n2)，所以an22n(n2)又n1時，a11，所以an所以Sn1202122n13n2，由Sn在n1時單調(diào)遞增，可得1Sn<3，所以解得<1，所以實數(shù)的取值范圍是.答案：15(2018·安徽合肥二模)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn，若S12,3S2an1Sna，則an_.解析：由S12，得a1S12.由3S2an1Sna，得4S(Snan1)2.又an>0，2SnSnan1，即Snan1.當(dāng)n2時，Sn1an，兩式作差得anan1an，即2.又由S12,3S2a2S1a，求得a22.當(dāng)n2時，an2×2n22n1.驗證當(dāng)n1時不成立，an答案：16(2018·西安八校聯(lián)考)數(shù)列an中，Sn為數(shù)列an的前n項和，且a11，an(n2)，則Sn_.解析：當(dāng)n2時，將anSnSn1代入an，得SnSn1，化簡整理，得SnSn12Sn1·Sn，兩邊同除以Sn1·Sn，得2(n2)，又1，所以數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以12(n1)2n1，所以Sn.答案：B級難度小題強(qiáng)化練1已知首項為的等比數(shù)列an不是遞減數(shù)列，其前n項和為Sn(nN*)，4a5a3.設(shè)TnSn，則數(shù)列Tn中最大項的值為()A. B.C. D.解析：選C設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則q2.又an不是遞減數(shù)列且a1，所以q，故等比數(shù)列an的通項公式為an×n1(1)n1×，Sn1n當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn隨n的增大而減小，所以1<SnS1，故0<SnS1.當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn隨n的增大而增大，所以S2Sn<1，故0>SnS2.綜上，對任意的nN*，總有Sn<0或0<Sn，即數(shù)列Tn中最大項的值為.故選C.2(2018·洛陽尖子生模擬)已知數(shù)列an滿足nan2(n2)an(n22n)，其中a11，a22，若an<an1對任意的nN*恒成立，則實數(shù)的取值范圍是()A0，) B(1，)C. D.0,1)解析：選A由nan2(n2)an(n22n)n(n2)得，所以數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項均是以為公差的等差數(shù)列，因為a11，a22，所以當(dāng)n為奇數(shù)時，11，所以ann.當(dāng)n為偶數(shù)時，11，所以ann.當(dāng)n為奇數(shù)時，由an<an1得n<n1，即(n1)>2，若n1，則R，若n>1，則>，所以0; 當(dāng)n為偶數(shù)時，由an<an1得n<n1，即3n>2，所以>，即0.綜上，實數(shù)的取值范圍為0，)選A.3(2018·武漢模擬)設(shè)等差數(shù)列an滿足a3a736，a4a6275，且anan1有最小值，則這個最小值為()A10 B12C9 D.13解析：選B設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，a3a736，a4a636，又a4a6275，聯(lián)立，解得或當(dāng)時，可得此時an7n17，a23，a34，易知當(dāng)n2時，an<0，當(dāng)n3時，an>0，a2a312為anan1的最小值；當(dāng)時，可得此時an7n53，a74，a83，易知當(dāng)n7時，an>0，當(dāng)n8時，an<0，a7a812為anan1的最小值綜上，anan1的最小值為12.4已知等差數(shù)列an的公差d0，且a1，a3，a13成等比數(shù)列，若a11，Sn是數(shù)列an的前n項和，則(nN*)的最小值為()A4 B3C22 D.解析：選Aa11，a1，a3，a13成等比數(shù)列，(12d)2112d，解得d2或d0(舍去)，an2n1，Snn2，.令tn1，則t2624，當(dāng)且僅當(dāng)t3，即n2時等號成立5(2018·廣東模擬)設(shè)數(shù)列an的各項都是正數(shù)，且對任意nN*，都有4Sna2an，其中Sn為數(shù)列an的前n項和，則數(shù)列an的通項公式an_.解析：當(dāng)n1時，4a1a2a1，a1(a12)0，an>0，a12.當(dāng)n2時，4Sna2an,4Sn1a2an1，兩式相減得4anaa2an2an1，(anan1)(anan12)0，an>0，anan12，故an2n.答案：2n6已知數(shù)列an滿足a1a22，an22(1)nana2(nN*)，則數(shù)列an的通項公式為_解析：當(dāng)n2k(kN*)時，a2k23a2k2，即a2k213(a2k1)，所以數(shù)列a2k1(kN*)是以a21為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以a2k1(a21)·3k13k，即當(dāng)n為偶數(shù)時，an31；當(dāng)n2k1(kN*)時，a2k1a2k12，所以a2k1a2k12，所以數(shù)列a2k1(kN*)是以a1為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以a2k122(k1)2k，即當(dāng)n為奇數(shù)時，ann1.所以數(shù)列an的通項公式an答案：an第二講 大題考法數(shù)列題型(一)等差、等比數(shù)列基本量的計算主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及前n項和的求解，且常結(jié)合數(shù)列的遞推公式命題. 典例感悟典例1(2018·全國卷)等比數(shù)列an中，a11，a54a3.(1)求an的通項公式；(2)記Sn為an的前n項和若Sm63，求m.審題定向(一)定知識主要考查等比數(shù)列的通項公式及前n項和.(二)定能力1.考查數(shù)學(xué)運(yùn)算：指數(shù)式的運(yùn)算.2.考查邏輯推理：欲求通項公式，需求公比q；欲求參數(shù)m，需列出參數(shù)m的方程.(三)定思路第(1)問應(yīng)用方程思想、等比數(shù)列通項公式求解：列關(guān)于公比q的方程求q，并寫出等比數(shù)列的通項公式；第(2)問應(yīng)用方程思想、等比數(shù)列求和公式求解：據(jù)等比數(shù)列前n項和公式，結(jié)合(1)中結(jié)論列關(guān)于m的方程并求解.解(1)設(shè)an的公比為q，由題設(shè)得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)或q2或q2.故an(2)n1或an2n1.(2)若an(2)n1，則Sn.由Sm63，得(2)m188，此方程沒有正整數(shù)解若an2n1，則Sn2n1.由Sm63，得2m64，解得m6.綜上，m6.典例2(2017·全國卷)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，等比數(shù)列bn的前n項和為Tn，a11，b11，a2b22.(1)若a3b35，求bn的通項公式；(2)若T321，求S3.審題定向(一)定知識主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列通項公式及前n項和.(二)定能力1.考查數(shù)學(xué)運(yùn)算：二元方程組的求解和一元二次方程的求解2.考查邏輯推理：由求通項公式想到求數(shù)列的公比；要求等差數(shù)列的和需先求公差.(三)定思路第(1)問應(yīng)用方程思想、等比和等差數(shù)列通項公式求解：根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項公式，結(jié)合條件建立公差d、公比q的方程求解；第(2)問應(yīng)用方程思想、等差數(shù)列求和公式求解：由已知條件列出q的方程，求出q，進(jìn)而求出d，再由等差數(shù)列的前n項和公式求解.解設(shè)an的公差為d，bn的公比為q，則an1(n1)d，bnqn1.由a2b22得dq3.(1)由a3b35得2dq26.聯(lián)立解得(舍去)或因此bn的通項公式為bn2n1.(2)由b11，T321，得q2q200，解得q5或q4.當(dāng)q5時，由得d8，則S321.當(dāng)q4時，由得d1，則S36.類題通法等差、等比數(shù)列的基本量的求解策略(1)分析已知條件和求解目標(biāo)，確定為最終解決問題需要先求解的中間問題如為求和需要先求出通項、為求出通項需要先求出首項和公差(公比)等，即確定解題的邏輯次序(2)注意細(xì)節(jié)例如：在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中，若等比數(shù)列的公比不能確定，則要看其是否有等于1的可能；在數(shù)列的通項問題中，第一項和后面的項能否用同一個公式表示等對點(diǎn)訓(xùn)練已知數(shù)列an是等差數(shù)列，滿足a12，a48，數(shù)列bn是等比數(shù)列，滿足b24，b532.(1)求數(shù)列an和bn的通項公式；(2)求數(shù)列anbn的前n項和Sn.解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由題意得d2，所以ana1(n1)·d2(n1)×22n.設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，由題意得q38，解得q2.因為b12，所以bnb1·qn12×2n12n.(2)因為an2n，bn2n，所以anbn2n2n，所以Snn2n2n12.題型(二)數(shù)列求和問題主要考查錯位相減法求和、裂項相消法求和以及公式法求和，且常結(jié)合數(shù)列的遞推公式命題. 典例感悟典例1(2018·全國卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，已知a17，S315.(1)求an的通項公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值.審題定向(一)定知識主要考查等差數(shù)列的通項公式、數(shù)列的公式法求和及數(shù)列和的最值(二)定能力1.考查邏輯推理：欲求等差數(shù)列的通項公式，已知a1，需求公差d；欲求Sn的最小值，需列出Sn的關(guān)系式.2.考查數(shù)學(xué)運(yùn)算：一元二次函數(shù)的最值求解(三)定思路第(1)問應(yīng)用方程思想、等差數(shù)列通項公式求解：由題意列出關(guān)于數(shù)列公差d的方程，求出d，進(jìn)而得出an的通項公式；第(2)問應(yīng)用函數(shù)思想、二次函數(shù)的最值求解：由(1)得出Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，進(jìn)而由二次函數(shù)的性質(zhì)求出Sn的最小值.解(1)設(shè)an的公差為d，由題意得3a13d15.又a17，所以d2.所以an的通項公式為an2n9.(2)由(1)得Snn28n(n4)216，所以當(dāng)n4時，Sn取得最小值，最小值為16.典例2(2017·全國卷)設(shè)數(shù)列an滿足a13a2(2n1)an2n.(1)求an的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和.審題定向(一)定知識主要考查已知an的關(guān)系式求通項公式及裂項求和法求數(shù)列的和(二)定能力1.考查邏輯推理：由an的關(guān)系式與an1關(guān)系式得出an的式子，即通項公式.2.考查數(shù)學(xué)運(yùn)算：分式形式的裂項及裂項相消求和.(三)定思路第(1)問應(yīng)用遞推關(guān)系式，把和的問題轉(zhuǎn)化為項的問題：利用an滿足的關(guān)系式寫出n2時an1的關(guān)系式，通過消項求得數(shù)列的通項公式；第(2)問根據(jù)通項公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)裂項求和：化簡通項，觀察數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，利用裂項相消法求和.解(1)因為a13a2(2n1)an2n，故當(dāng)n2時，a13a2(2n3)an12(n1)兩式相減得(2n1)an2，所以an(n2)又由題設(shè)可得a12，滿足上式，從而an的通項公式為an.(2)記的前n項和為Sn.由(1)知.則Sn.類題通法1公式法求和要過“3關(guān)”定義關(guān)會利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義，判斷所給的數(shù)列是等差數(shù)列，還是等比數(shù)列應(yīng)用關(guān)會應(yīng)用等差(比)數(shù)列的前n項和公式來求解，需掌握等差數(shù)列的前n項和公式、等比數(shù)列的前n項和公式運(yùn)算關(guān)認(rèn)真運(yùn)算，等差數(shù)列求和要根據(jù)不同的已知條件靈活運(yùn)用兩個求和公式，同時注意與性質(zhì)的結(jié)合使用；等比數(shù)列求和注意q1和q1兩種情況2.裂項相消的規(guī)律(1)裂項系數(shù)取決于前后兩項分母的差(2)裂項相消后前、后保留的項數(shù)一樣多3錯位相減法的關(guān)注點(diǎn)(1)適用題型：等差數(shù)列an與等比數(shù)列bn對應(yīng)項相乘(an·bn)型數(shù)列求和(2)步驟：求和時先乘以數(shù)列bn的公比；將兩個和式錯位相減；整理結(jié)果形式對點(diǎn)訓(xùn)練(2018·石家莊模擬)已知數(shù)列an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，若a11，a2·a416.(1)設(shè)bnlog2an，求數(shù)列bn的通項公式；(2)求數(shù)列an·bn的前n項和Sn.解：(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q(q>0)，由得q416，q2，an2n1.又bnlog2an，bnn1.(2)由(1)可知an·bn(n1)·2n1，則Sn0×201×212×22(n1)·2n1，2Sn0×211×222×23(n1)·2n，得，Sn222232n1(n1)·2n(n1)·2n2n(2n)2，Sn2n(n2)2.題型(三)等差、等比數(shù)列的判定與證明主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、等差中項及等比中項，且常與數(shù)列的遞推公式相結(jié)合命題.典例感悟典例1(2018·全國卷)已知數(shù)列an滿足a11，nan12(n1)an.設(shè)bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并說明理由；(3)求an的通項公式.審題定向(一)定知識主要考查數(shù)列的遞推公式、等比數(shù)列的定義及通項公式(二)定能力1.考查邏輯推理：欲求b1，b2，b3 ，需求a1，a2，a3；由an1與an的關(guān)系判斷bn1與bn的關(guān)系，由bn的通項公式得出an的通項公式.2.考查數(shù)學(xué)抽象：由等比數(shù)列定義判斷.(三)定思路第(1)問應(yīng)用遞推關(guān)系式及an與bn的關(guān)系式求解：將遞推關(guān)系式變形為an1an，結(jié)合a1求出a2，a3，進(jìn)而求得b1，b2，b3；第(2)問應(yīng)用遞推關(guān)系式及等比數(shù)列定義求解：由條件得，即bn12bn，利用等比數(shù)列定義可判定；第(3)問應(yīng)用(2)的結(jié)論，結(jié)合an與bn關(guān)系式求解：由等比數(shù)列的通項公式先得出bn，進(jìn)而求得an.解(1)由條件可得an1an.將n1代入得，a24a1，而a11，所以a24.將n2代入得，a33a2，所以a312.從而b11，b22，b34.(2)數(shù)列bn是首項為1，公比為2的等比數(shù)列由條件可得，即bn12bn，又b11，所以數(shù)列bn是首項為1，公比為2的等比數(shù)列(3)由(2)可得2n1，所以ann·2n1.典例2(2017·全國卷)記Sn為等比數(shù)列an的前n項和已知S22，S36.(1)求an的通項公式；(2)求Sn，并判斷Sn1，Sn，Sn2是否成等差數(shù)列.審題定向(一)定知識主要考查等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，等差數(shù)列性質(zhì)及等差數(shù)列的判斷.(二)定能力1.考查邏輯推理：欲求通項公式，需求首項及公比，解關(guān)于首項及公比的方程組.2.考查數(shù)學(xué)抽象：由等差中項判斷三項成等差數(shù)列.(三)定思路第(1)問應(yīng)用方程思想、等比數(shù)列通項公式求解：設(shè)出公比，利用通項公式及已知條件列出方程組求出首項和公比，再求通項公式；第(2)問應(yīng)用方程思想，等比數(shù)列求和公式求解；應(yīng)用等差數(shù)列性質(zhì)判斷：由(1)及等比數(shù)列前n項和公式求Sn；根據(jù)等差數(shù)列中項公式，判斷Sn1Sn22Sn.解(1)設(shè)an的公比為q.由題設(shè)可得解得故an的通項公式為an(2)n.(2)由(1)可得Sn(1)n.由于Sn2Sn1(1)n22Sn，故Sn1，Sn，Sn2成等差數(shù)列類題通法判定和證明數(shù)列是等差(比)數(shù)列的方法定義法對于n1的任意自然數(shù)，驗證an1an為與正整數(shù)n無關(guān)的某一常數(shù)中項公式法若2an1anan2(nN*)，則an為等差數(shù)列；若aan·an20(nN*)，則an為等比數(shù)列對點(diǎn)訓(xùn)練(2018·成都模擬)已知數(shù)列an滿足a12，an12an4.(1)證明：數(shù)列an4是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列|an|的前n項和Sn.解：(1)證明：a12，a142.an12an4，an142an82(an4)，2，an4是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列(2)由(1)可知an42n，an2n4.當(dāng)n1時，a120，S1|a1|2；當(dāng)n2時，an0.Sna1a2an2(224)(2n4)2222n4(n1)4(n1)2n14n2.又當(dāng)n1時，上式也滿足當(dāng)nN*時，Sn2n14n2. 數(shù)列問題重在 “歸”化歸循流程思維入題快等差數(shù)列與等比數(shù)列是我們最熟悉的兩個基本數(shù)列，在高中階段它們是一切數(shù)列問題的出發(fā)點(diǎn)與落腳點(diǎn)首項與公差(比)稱為等差(比)數(shù)列的基本量，大凡涉及這兩個數(shù)列的問題，我們總希望把已知條件化歸為等差或等比數(shù)列的基本量間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的這種化歸為基本量處理的方法是解決等差或等比數(shù)列問題特有的方法，對于不是等差或等比的數(shù)列，可通過轉(zhuǎn)化化歸，轉(zhuǎn)化為等差(比)數(shù)列問題或相關(guān)問題求解由于數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，也可根據(jù)題目特點(diǎn)，將數(shù)列問題化歸為函數(shù)問題來解決按流程解題快又準(zhǔn)典例(2017·天津高考)已知an為等差數(shù)列，前n項和為Sn(nN*)，bn是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2b312，b3a42a1，S1111b4.(1)求an和bn的通項公式；(2)求數(shù)列a2nb2n1的前n項和(nN*)解題示范(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q.由已知b2b312，得b1(qq2)12，而b12，所以q2q60.又因為q0，解得q2.所以bn2n.由b3a42a1，可得3da18.由S1111b4，可得a15d16.由，解得a11，d3，由此可得an3n2.所以數(shù)列an的通項公式為an3n2，數(shù)列bn的通項公式為bn2n.(2)設(shè)數(shù)列a2nb2n1的前n項和為Tn，由a2n6n2，b2n12×4n1，得a2nb2n1(3n1)×4n，故Tn2×45×428×43(3n1)×4n，4Tn2×425×438×44(3n4)×4n(3n1)×4n1，上述兩式相減，得3Tn2×43×423×433×4n(3n1)×4n14(3n1)×4n1(3n2)×4n18.故Tn×4n1.所以數(shù)列a2nb2n1的前n項和為×4n1.思維升華對于數(shù)列的備考應(yīng)掌握的4個關(guān)鍵點(diǎn)：(1)準(zhǔn)確掌握數(shù)列中an與Sn之間的關(guān)系，這是解決數(shù)列問題的基礎(chǔ)；(2)重視等差與等比數(shù)列的復(fù)習(xí)，熟悉其基本概念、公式和性質(zhì)，這是解決數(shù)列問題的根本；(3)注意數(shù)列與函數(shù)、不等式等的綜合問題，掌握解決此類問題的通法；(4)在知識的復(fù)習(xí)和解題過程中體會其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，如分類討論、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程思想等應(yīng)用體驗(2018·開封模擬)已知數(shù)列an滿足a11，且2nan12(n1)ann(n1)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若bn，求數(shù)列bn的前n項和Sn.解：(1)2nan12(n1)ann(n1)，兩邊同時除以2n(n1)得，數(shù)列是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，an.(2)bn，bn2×，Sn2×2×.A卷大題保分練1(2018·陜西模擬)已知在遞增等差數(shù)列an中，a12，a3是a1和a9的等比中項(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若bn，Sn為數(shù)列bn的前n項和，求S100的值解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則ana1(n1)d.a3是a1和a9的等比中項，aa1a9，即(22d)22(28d)，解得d0(舍)或d2.ana1(n1)d2n.(2)bn.S100b1b2b100××.2(2018·蘭州診斷性測試)在公差不為零的等差數(shù)列an中，a11，a2，a4，a8成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bn2an，Tnb1b2bn，求Tn.解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則依題意有解得d1或d0(舍去)，an1(n1)n.(2)由(1)得ann，bn2n，bn是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，Tn2n12.3(2018·北京調(diào)研)已知數(shù)列an滿足a11，且an12an，設(shè)bn23log2an(nN*)(1)求數(shù)列bn的通項公式；(2)求數(shù)列|anbn|的前n項和Sn.解：(1)因為an12an，a11，所以數(shù)列an是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列所以an2n1.又因為bn23log2an(nN*)，所以bn3log22n123(n1)23n1.(2)因為數(shù)列an中的項為1,2,4,8,16，