2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 數(shù)列學(xué)案 理

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1、2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 數(shù)列學(xué)案 理, 第一講 小題考法等差數(shù)列與等比數(shù)列考點(diǎn)(一)數(shù)列的遞推關(guān)系式主要考查方式有兩種：一是利用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)an或前n項(xiàng)和Sn；二是利用an與an1的關(guān)系求通項(xiàng)an或前n項(xiàng)和Sn.典例感悟典例(1)(2018合肥一模)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若3Sn2an3n，則a2 018()A22 0181B.32 0186C.2 018 D.2 018(2)(2018惠州模擬)已知數(shù)列an滿足a11，an12an2n(nN*)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an_.(3)(2018昆明模擬)在數(shù)列an中，a15，(an12)(an2)3(nN*)，則該數(shù)列

2、的前2 018項(xiàng)的和是_解析(1)3Sn2an3n，當(dāng)n1時(shí)，3S13a12a13，a13.當(dāng)n2時(shí)，3an3Sn3Sn1(2an3n)(2an13n3)，an2an13，an12(an11)，數(shù)列an1是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，an12(2)n1(2)n，an(2)n1，a2 018(2)2 018122 0181.故選A.(2)an12an2n兩邊同除以2n1，可得，又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，(n1)，ann2n1.(3)依題意得(an12)(an2)3，(an22)(an12)3，因此an22an2，即an2an，所以數(shù)列an是以2為周期的數(shù)列又a15，因此(a22)

3、(a12)3(a22)3，故a23，a1a28.又因?yàn)? 01821 009，所以該數(shù)列的前2 018項(xiàng)的和等于1 009(a1a2)8 072.答案(1)A(2)n2n1(3)8 072方法技巧由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式的注意點(diǎn)(1)應(yīng)重視分類討論思想的應(yīng)用，分n1和n2兩種情況討論，特別注意anSnSn1成立的前提是n2.(2)由SnSn1an推得an，當(dāng)n1時(shí)，a1也適合，則需統(tǒng)一表示(“合寫(xiě)”)(3)由SnSn1an推得an，當(dāng)n1時(shí)，a1不適合，則數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)分段表示(“分寫(xiě)”)，即an演練沖關(guān)1(2019屆高三洛陽(yáng)四校聯(lián)考)已知數(shù)列滿足條件a1a2a3an2n5，則數(shù)列的通項(xiàng)

4、公式為()Aan2n1 BanCan2n D.an2n2解析：選B由題意可知，數(shù)列滿足條件a1a2a3an2n5，則n2時(shí)，有a1a2a3an12(n1)5，n2，兩式相減可得，2n52(n1)52，an2n1，n2，nN*.當(dāng)n1時(shí)，7，a114，綜上可知，數(shù)列的通項(xiàng)公式為an2已知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y滿足f(x)f(y)f(xy)，若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snf(n)(nN*)且a11，那么a2 018()A1 B1C2 018 D.2 018解析：選B法一：Snf(n)，S22S1a1a2，a21，S3S1S23，a31，S4S1S34，a41，a2 0181.法二：令x1，yn，則

5、SnS1Sn1.當(dāng)n2時(shí)，Sn1S1Sn，Sn1SnSnSn1，故an1an，a11，可求出a21，a2 0181.3(2018全國(guó)卷)記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和若Sn2an1，則S6_.解析：Sn2an1，當(dāng)n2時(shí)，Sn12an11，anSnSn12an2an1，即an2an1.當(dāng)n1時(shí)，a1S12a11，得a11.數(shù)列an是首項(xiàng)a1為1，公比q為2的等比數(shù)列，Sn12n，S612663.答案：634已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn32n，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_(kāi)解析：當(dāng)n1時(shí)，a1S1325；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn132n(32n1)2n2n12n1.因?yàn)楫?dāng)n1時(shí)，不符合an2n1，所以數(shù)列a

6、n的通項(xiàng)公式為an答案：an考點(diǎn)(二)等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算主要考查與等差(比)數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式有關(guān)的五個(gè)基本量間的“知三求二”運(yùn)算.典例感悟典例(1)(2017全國(guó)卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和若a4a524，S648，則an的公差為()A1B.2C4 D.8(2)(2018全國(guó)卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若3S3S2S4，a12，則a5()A12 B10C10 D.12(3)(2017全國(guó)卷)設(shè)等比數(shù)列an滿足a1a21，a1a33，則 a4_.(4)(2019屆高三河南十校聯(lián)考)已知an是公差為1的等差數(shù)列，Sn為an的前n項(xiàng)和，若S84S4，則a10_.解析(

7、1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則由得即解得d4.(2)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由3S3S2S4，得3(3a13d)2a1d4a16d，即3a12d0.將a12代入上式，解得d3，故a5a1(51)d24(3)10.(3)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則a1a2a1(1q)1，a1a3a1(1q2)3，兩式相除，得，解得q2，a11，所以a4a1q38.(4)an是公差為1的等差數(shù)列，S88a128，S44a16.S84S4，8a1284(4a16)，解得a1，a10a19d9.答案(1)C(2)B(3)8(4)方法技巧等差(比)數(shù)列基本運(yùn)算的解題思路(1)設(shè)基本量：首項(xiàng)a1和公差d(公比q)(2

8、)列、解方程(組)：把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d(或q)的方程(組)，然后求解，注意整體計(jì)算，以減少運(yùn)算量演練沖關(guān)1(2018廣西模擬)在等差數(shù)列an中，已知a22，前7項(xiàng)和S756，則公差d()A2 B3C2 D.3解析：選B由題意可得即解得選B.2已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a2a52a3,2a44a75，則S5()A29 B31C33 D.36解析：選B法一：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由題意知解得所以S531，故選B.法二：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由a2a52a3，得a42，又2a44a75，所以a7，所以q，所以a116，所以S531，故選B.3(2018開(kāi)封模擬)已知數(shù)列an滿足

9、log2an11log2an(nN*)，且a1a2a3a101，則log2(a101a102a110)_.解析：由log2an11log2an，可得log2an1log22an，所以an12an，所以數(shù)列an是以a1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，又a1a2a101，所以a101a102a110(a1a2a10)21002100，所以log2(a101a102a110)log22100100.答案：100考點(diǎn)(三)等差、等比數(shù)列的性質(zhì)主要考查利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)求解基本量及與數(shù)列單調(diào)性有關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題.典例感悟典例(1)(2018宜昌模擬)已知9，a1，a2，1成等差數(shù)列，9，b1，b2，b

10、3，1成等比數(shù)列，則b2(a1a2)等于()A30B.30C30 D.15(2)(2018四川遂寧一診)已知數(shù)列an滿足an若對(duì)于任意的nN*都有anan1，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.解析(1)依題意a1a29(1)10，b(9)(1)9，又b2與9，1符號(hào)相同，即b23，b2(a1a2)30.(2)因?yàn)閍nan1，所以數(shù)列an是遞減數(shù)列，所以解得，故選B.答案(1)A(2)B方法技巧等差、等比數(shù)列性質(zhì)問(wèn)題的求解策略解題關(guān)鍵抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系，從這些特點(diǎn)入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，具有函數(shù)的一些性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性等，可利

11、用函數(shù)的性質(zhì)解題演練沖關(guān)1(2019屆高三西安八校聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a2a7a1224，則S13()A52 B78C104 D.208解析：選C依題意得3a724，a78，S1313a7104.2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snan2bn(a，bR)，且S25100，則a12a14()A16 B8C4 D.不確定解析：選B由數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snan2bn(a，bR)，可得數(shù)列an是等差數(shù)列，S25100，解得a1a258，所以a12a14a1a258.3(2018合肥質(zhì)檢)已知數(shù)列an是首項(xiàng)為a，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列bn滿足bn.若對(duì)任意的nN*，都有bnb8成立，則實(shí)數(shù)

12、a的取值范圍是()A(8，7) B8，7)C(8，7 D.8，7解析：選A因?yàn)閍n是首項(xiàng)為a，公差為1的等差數(shù)列，所以anna1，因?yàn)閎n1，又對(duì)任意的nN*都有bnb8成立，所以11，即對(duì)任意的nN*恒成立，因?yàn)閿?shù)列an是公差為1的等差數(shù)列，所以an是單調(diào)遞增的數(shù)列，所以即解得8a0且q1，因?yàn)镾1，S3，S4成等差數(shù)列，所以2S3S1S4，即a1，解得q.答案：3在等差數(shù)列an中，a17，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)且僅當(dāng)n8時(shí)Sn取得最大值，則d的取值范圍為_(kāi)解析：由題意，得a80，a90，且78d0，即1d0，因?yàn)閍2，a3，a1成等差數(shù)列，所以a1a22a3a3，即a1a1qa1q2

13、，因?yàn)閍10，所以q2q10，解得q或q0(舍去)，所以q2，故選C.4(2018遼寧五校聯(lián)考)各項(xiàng)為正的等比數(shù)列an中，a4與a14的等比中項(xiàng)為2，則log2a7log2a11的值為()A1 B2C3 D.4解析：選C由題意得a4a14(2)28，由等比數(shù)列的性質(zhì)，得a4a14a7a118，log2a7log2a11log2(a7a11)log283，故選C. 5.(2018陜西模擬)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若2a86a11，則S9()A27 B36C45 D.54解析：選D在等差數(shù)列an中，2a8a5a116a11，a56，故S99a554.故選D.6等差數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分

14、別為Sn，Tn，且，則()A. B.C. D.解析：選A由題知，.7已知數(shù)列是等差數(shù)列，且a32，a912，則a15()A10 B30C40 D.20解析：選B法一：設(shè)數(shù)列的公差為d.a32，a912，6d，d，12d2.故a1530.法二：由于數(shù)列是等差數(shù)列，故2，即22，故a1530.8已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正整數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn.若an1且S329，則a1()A4 B5C6 D.7解析：選B法一：若a14k，則a22k，a3k，此時(shí)S37k29，由于k為整數(shù)，此時(shí)無(wú)解；若a14k1，則a212k4，a36k2，此時(shí)S322k729，解得k1，即a15；若a14k2，則a22k1，a36

15、k4，此時(shí)S312k729，由于k為整數(shù)，此時(shí)無(wú)解；若a14k3，則a212k10，a36k5，此時(shí)S322k1829，由于k為整數(shù)，此時(shí)無(wú)解綜上可知a15.法二：當(dāng)a14時(shí)，a22，a31，S37，排除A；當(dāng)a15時(shí)，a216，a38，S329，B符合題意，故選B.9(2019屆高三湖南十校聯(lián)考)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1m時(shí)，Sn與an的大小關(guān)系是()ASnan D.大小不能確定解析：選C若a10，否則若d0，數(shù)列是遞減數(shù)列或常數(shù)列，則恒有Smam，不存在amSm.由于a10，當(dāng)m3時(shí)，有amSm，因此am0，Sm0，又SnSmam1an，顯然Snan.故選C.10(2018西安

16、八校聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S6S7S5，則滿足SnSn1S7S5，得S7S6a7S5，所以a70，所以an為遞減數(shù)列，又S1313a70，所以S12S130，即滿足SnSn10)，由題意知a10，且anqn1，又S3a3，S5a5，S4a4成等差數(shù)列，所以2(S5a5)S3a3S4a4，即2(a1a2a3a42a5)a1a22a3a1a2a32a4，化簡(jiǎn)得4a5a3，從而4q21，解得q，又q0，故q，an，選擇A.二、填空題13(2018重慶模擬)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若a55，則log5a1log5a2log5a9_.解析：因?yàn)閿?shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，

17、所以由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a1a9a2a8a3a7a4a6a52，則log5a1log5a2log5a9log5(a1a2a9)log5(a1a9)(a2a8)(a3a7)(a4a6)a5log5alog5599.答案：914(2018天津模擬)數(shù)列an滿足a12a24a32n1an2n1，且數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若對(duì)任意的nN*，都有2Sn4，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_解析：由a12a24a32n1an2n1，可得a12a24a32n2an12(n1)12n3(n2)，兩式相減得2n1an2(n2)，所以an22n(n2)又n1時(shí)，a11，所以an所以Sn1202122n13n2，由Sn在n1時(shí)

18、單調(diào)遞增，可得1Sn3，所以解得0，2SnSnan1，即Snan1.當(dāng)n2時(shí)，Sn1an，兩式作差得anan1an，即2.又由S12,3S2a2S1a，求得a22.當(dāng)n2時(shí)，an22n22n1.驗(yàn)證當(dāng)n1時(shí)不成立，an答案：16(2018西安八校聯(lián)考)數(shù)列an中，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a11，an(n2)，則Sn_.解析：當(dāng)n2時(shí)，將anSnSn1代入an，得SnSn1，化簡(jiǎn)整理，得SnSn12Sn1Sn，兩邊同除以Sn1Sn，得2(n2)，又1，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以12(n1)2n1，所以Sn.答案：B級(jí)難度小題強(qiáng)化練1已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列an不是遞減數(shù)列，其前

19、n項(xiàng)和為Sn(nN*)，4a5a3.設(shè)TnSn，則數(shù)列Tn中最大項(xiàng)的值為()A. B.C. D.解析：選C設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則q2.又an不是遞減數(shù)列且a1，所以q，故等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann1(1)n1，Sn1n當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn隨n的增大而減小，所以1SnS1，故0SnS1.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn隨n的增大而增大，所以S2SnSnS2.綜上，對(duì)任意的nN*，總有Sn0或0Sn，即數(shù)列Tn中最大項(xiàng)的值為.故選C.2(2018洛陽(yáng)尖子生模擬)已知數(shù)列an滿足nan2(n2)an(n22n)，其中a11，a22，若anan1對(duì)任意的nN*恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A0，) B(1，

20、)C. D.0,1)解析：選A由nan2(n2)an(n22n)n(n2)得，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)均是以為公差的等差數(shù)列，因?yàn)閍11，a22，所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，11，所以ann.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，11，所以ann.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，由anan1得n2，若n1，則R，若n1，則，所以0; 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由anan1得n2，所以，即0.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為0，)選A.3(2018武漢模擬)設(shè)等差數(shù)列an滿足a3a736，a4a6275，且anan1有最小值，則這個(gè)最小值為()A10 B12C9 D.13解析：選B設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，a3a736，a4a636，又a4a6275，聯(lián)立，解得或當(dāng)時(shí)

21、，可得此時(shí)an7n17，a23，a34，易知當(dāng)n2時(shí)，an0，a2a312為anan1的最小值；當(dāng)時(shí)，可得此時(shí)an7n53，a74，a83，易知當(dāng)n7時(shí)，an0，當(dāng)n8時(shí)，an0，a12.當(dāng)n2時(shí)，4Sna2an,4Sn1a2an1，兩式相減得4anaa2an2an1，(anan1)(anan12)0，an0，anan12，故an2n.答案：2n6已知數(shù)列an滿足a1a22，an22(1)nana2(nN*)，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_(kāi)解析：當(dāng)n2k(kN*)時(shí)，a2k23a2k2，即a2k213(a2k1)，所以數(shù)列a2k1(kN*)是以a21為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以a2k1(a21)

22、3k13k，即當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an31；當(dāng)n2k1(kN*)時(shí)，a2k1a2k12，所以a2k1a2k12，所以數(shù)列a2k1(kN*)是以a1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以a2k122(k1)2k，即當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，ann1.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式an答案：an第二講 大題考法數(shù)列題型(一)等差、等比數(shù)列基本量的計(jì)算主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的求解，且常結(jié)合數(shù)列的遞推公式命題. 典例感悟典例1(2018全國(guó)卷)等比數(shù)列an中，a11，a54a3.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)記Sn為an的前n項(xiàng)和若Sm63，求m.審題定向(一)定知識(shí)主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和.(二

23、)定能力1.考查數(shù)學(xué)運(yùn)算：指數(shù)式的運(yùn)算.2.考查邏輯推理：欲求通項(xiàng)公式，需求公比q；欲求參數(shù)m，需列出參數(shù)m的方程.(三)定思路第(1)問(wèn)應(yīng)用方程思想、等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解：列關(guān)于公比q的方程求q，并寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；第(2)問(wèn)應(yīng)用方程思想、等比數(shù)列求和公式求解：據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，結(jié)合(1)中結(jié)論列關(guān)于m的方程并求解.解(1)設(shè)an的公比為q，由題設(shè)得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)或q2或q2.故an(2)n1或an2n1.(2)若an(2)n1，則Sn.由Sm63，得(2)m188，此方程沒(méi)有正整數(shù)解若an2n1，則Sn2n1.由Sm63，得2m64，解得m6.

24、綜上，m6.典例2(2017全國(guó)卷)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，a11，b11，a2b22.(1)若a3b35，求bn的通項(xiàng)公式；(2)若T321，求S3.審題定向(一)定知識(shí)主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和.(二)定能力1.考查數(shù)學(xué)運(yùn)算：二元方程組的求解和一元二次方程的求解2.考查邏輯推理：由求通項(xiàng)公式想到求數(shù)列的公比；要求等差數(shù)列的和需先求公差.(三)定思路第(1)問(wèn)應(yīng)用方程思想、等比和等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解：根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合條件建立公差d、公比q的方程求解；第(2)問(wèn)應(yīng)用方程思想、等差數(shù)列求和公式求解：由已知條件列出q的方程

25、，求出q，進(jìn)而求出d，再由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解.解設(shè)an的公差為d，bn的公比為q，則an1(n1)d，bnqn1.由a2b22得dq3.(1)由a3b35得2dq26.聯(lián)立解得(舍去)或因此bn的通項(xiàng)公式為bn2n1.(2)由b11，T321，得q2q200，解得q5或q4.當(dāng)q5時(shí)，由得d8，則S321.當(dāng)q4時(shí)，由得d1，則S36.類題通法等差、等比數(shù)列的基本量的求解策略(1)分析已知條件和求解目標(biāo)，確定為最終解決問(wèn)題需要先求解的中間問(wèn)題如為求和需要先求出通項(xiàng)、為求出通項(xiàng)需要先求出首項(xiàng)和公差(公比)等，即確定解題的邏輯次序(2)注意細(xì)節(jié)例如：在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問(wèn)題中，若等比數(shù)

26、列的公比不能確定，則要看其是否有等于1的可能；在數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題中，第一項(xiàng)和后面的項(xiàng)能否用同一個(gè)公式表示等對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練已知數(shù)列an是等差數(shù)列，滿足a12，a48，數(shù)列bn是等比數(shù)列，滿足b24，b532.(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由題意得d2，所以ana1(n1)d2(n1)22n.設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，由題意得q38，解得q2.因?yàn)閎12，所以bnb1qn122n12n.(2)因?yàn)閍n2n，bn2n，所以anbn2n2n，所以Snn2n2n12.題型(二)數(shù)列求和問(wèn)題主要考查錯(cuò)位相減法求和、裂項(xiàng)相消法求和以及公式法

27、求和，且常結(jié)合數(shù)列的遞推公式命題. 典例感悟典例1(2018全國(guó)卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a17，S315.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值.審題定向(一)定知識(shí)主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的公式法求和及數(shù)列和的最值(二)定能力1.考查邏輯推理：欲求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，已知a1，需求公差d；欲求Sn的最小值，需列出Sn的關(guān)系式.2.考查數(shù)學(xué)運(yùn)算：一元二次函數(shù)的最值求解(三)定思路第(1)問(wèn)應(yīng)用方程思想、等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解：由題意列出關(guān)于數(shù)列公差d的方程，求出d，進(jìn)而得出an的通項(xiàng)公式；第(2)問(wèn)應(yīng)用函數(shù)思想、二次函數(shù)的最值求解：由(1)得出Sn是關(guān)于n

28、的二次函數(shù)，進(jìn)而由二次函數(shù)的性質(zhì)求出Sn的最小值.解(1)設(shè)an的公差為d，由題意得3a13d15.又a17，所以d2.所以an的通項(xiàng)公式為an2n9.(2)由(1)得Snn28n(n4)216，所以當(dāng)n4時(shí)，Sn取得最小值，最小值為16.典例2(2017全國(guó)卷)設(shè)數(shù)列an滿足a13a2(2n1)an2n.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.審題定向(一)定知識(shí)主要考查已知an的關(guān)系式求通項(xiàng)公式及裂項(xiàng)求和法求數(shù)列的和(二)定能力1.考查邏輯推理：由an的關(guān)系式與an1關(guān)系式得出an的式子，即通項(xiàng)公式.2.考查數(shù)學(xué)運(yùn)算：分式形式的裂項(xiàng)及裂項(xiàng)相消求和.(三)定思路第(1)問(wèn)應(yīng)用遞推關(guān)系

29、式，把和的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為項(xiàng)的問(wèn)題：利用an滿足的關(guān)系式寫(xiě)出n2時(shí)an1的關(guān)系式，通過(guò)消項(xiàng)求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；第(2)問(wèn)根據(jù)通項(xiàng)公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)裂項(xiàng)求和：化簡(jiǎn)通項(xiàng)，觀察數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，利用裂項(xiàng)相消法求和.解(1)因?yàn)閍13a2(2n1)an2n，故當(dāng)n2時(shí)，a13a2(2n3)an12(n1)兩式相減得(2n1)an2，所以an(n2)又由題設(shè)可得a12，滿足上式，從而an的通項(xiàng)公式為an.(2)記的前n項(xiàng)和為Sn.由(1)知.則Sn.類題通法1公式法求和要過(guò)“3關(guān)”定義關(guān)會(huì)利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義，判斷所給的數(shù)列是等差數(shù)列，還是等比數(shù)列應(yīng)用關(guān)會(huì)應(yīng)用等差(比)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式來(lái)求解，需掌握等差數(shù)列

30、的前n項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式運(yùn)算關(guān)認(rèn)真運(yùn)算，等差數(shù)列求和要根據(jù)不同的已知條件靈活運(yùn)用兩個(gè)求和公式，同時(shí)注意與性質(zhì)的結(jié)合使用；等比數(shù)列求和注意q1和q1兩種情況2.裂項(xiàng)相消的規(guī)律(1)裂項(xiàng)系數(shù)取決于前后兩項(xiàng)分母的差(2)裂項(xiàng)相消后前、后保留的項(xiàng)數(shù)一樣多3錯(cuò)位相減法的關(guān)注點(diǎn)(1)適用題型：等差數(shù)列an與等比數(shù)列bn對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘(anbn)型數(shù)列求和(2)步驟：求和時(shí)先乘以數(shù)列bn的公比；將兩個(gè)和式錯(cuò)位相減；整理結(jié)果形式對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2018石家莊模擬)已知數(shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，若a11，a2a416.(1)設(shè)bnlog2an，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和Sn

31、.解：(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q(q0)，由得q416，q2，an2n1.又bnlog2an，bnn1.(2)由(1)可知anbn(n1)2n1，則Sn020121222(n1)2n1，2Sn021122223(n1)2n，得，Sn222232n1(n1)2n(n1)2n2n(2n)2，Sn2n(n2)2.題型(三)等差、等比數(shù)列的判定與證明主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、等差中項(xiàng)及等比中項(xiàng)，且常與數(shù)列的遞推公式相結(jié)合命題.典例感悟典例1(2018全國(guó)卷)已知數(shù)列an滿足a11，nan12(n1)an.設(shè)bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；(3)求a

32、n的通項(xiàng)公式.審題定向(一)定知識(shí)主要考查數(shù)列的遞推公式、等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式(二)定能力1.考查邏輯推理：欲求b1，b2，b3 ，需求a1，a2，a3；由an1與an的關(guān)系判斷bn1與bn的關(guān)系，由bn的通項(xiàng)公式得出an的通項(xiàng)公式.2.考查數(shù)學(xué)抽象：由等比數(shù)列定義判斷.(三)定思路第(1)問(wèn)應(yīng)用遞推關(guān)系式及an與bn的關(guān)系式求解：將遞推關(guān)系式變形為an1an，結(jié)合a1求出a2，a3，進(jìn)而求得b1，b2，b3；第(2)問(wèn)應(yīng)用遞推關(guān)系式及等比數(shù)列定義求解：由條件得，即bn12bn，利用等比數(shù)列定義可判定；第(3)問(wèn)應(yīng)用(2)的結(jié)論，結(jié)合an與bn關(guān)系式求解：由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式先得出bn，進(jìn)

33、而求得an.解(1)由條件可得an1an.將n1代入得，a24a1，而a11，所以a24.將n2代入得，a33a2，所以a312.從而b11，b22，b34.(2)數(shù)列bn是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列由條件可得，即bn12bn，又b11，所以數(shù)列bn是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列(3)由(2)可得2n1，所以ann2n1.典例2(2017全國(guó)卷)記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和已知S22，S36.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求Sn，并判斷Sn1，Sn，Sn2是否成等差數(shù)列.審題定向(一)定知識(shí)主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，等差數(shù)列性質(zhì)及等差數(shù)列的判斷.(二)定能力1.考查邏輯推

34、理：欲求通項(xiàng)公式，需求首項(xiàng)及公比，解關(guān)于首項(xiàng)及公比的方程組.2.考查數(shù)學(xué)抽象：由等差中項(xiàng)判斷三項(xiàng)成等差數(shù)列.(三)定思路第(1)問(wèn)應(yīng)用方程思想、等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解：設(shè)出公比，利用通項(xiàng)公式及已知條件列出方程組求出首項(xiàng)和公比，再求通項(xiàng)公式；第(2)問(wèn)應(yīng)用方程思想，等比數(shù)列求和公式求解；應(yīng)用等差數(shù)列性質(zhì)判斷：由(1)及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求Sn；根據(jù)等差數(shù)列中項(xiàng)公式，判斷Sn1Sn22Sn.解(1)設(shè)an的公比為q.由題設(shè)可得解得故an的通項(xiàng)公式為an(2)n.(2)由(1)可得Sn(1)n.由于Sn2Sn1(1)n22Sn，故Sn1，Sn，Sn2成等差數(shù)列類題通法判定和證明數(shù)列是等差(比)數(shù)列的

35、方法定義法對(duì)于n1的任意自然數(shù)，驗(yàn)證an1an為與正整數(shù)n無(wú)關(guān)的某一常數(shù)中項(xiàng)公式法若2an1anan2(nN*)，則an為等差數(shù)列；若aanan20(nN*)，則an為等比數(shù)列對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2018成都模擬)已知數(shù)列an滿足a12，an12an4.(1)證明：數(shù)列an4是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)證明：a12，a142.an12an4，an142an82(an4)，2，an4是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列(2)由(1)可知an42n，an2n4.當(dāng)n1時(shí)，a120，S1|a1|2；當(dāng)n2時(shí)，an0.Sna1a2an2(224)(2n4)2222n4(n1)4(n1)

36、2n14n2.又當(dāng)n1時(shí)，上式也滿足當(dāng)nN*時(shí)，Sn2n14n2. 數(shù)列問(wèn)題重在 “歸”化歸循流程思維入題快等差數(shù)列與等比數(shù)列是我們最熟悉的兩個(gè)基本數(shù)列，在高中階段它們是一切數(shù)列問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)與落腳點(diǎn)首項(xiàng)與公差(比)稱為等差(比)數(shù)列的基本量，大凡涉及這兩個(gè)數(shù)列的問(wèn)題，我們總希望把已知條件化歸為等差或等比數(shù)列的基本量間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的這種化歸為基本量處理的方法是解決等差或等比數(shù)列問(wèn)題特有的方法，對(duì)于不是等差或等比的數(shù)列，可通過(guò)轉(zhuǎn)化化歸，轉(zhuǎn)化為等差(比)數(shù)列問(wèn)題或相關(guān)問(wèn)題求解由于數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，也可根據(jù)題目特點(diǎn)，將數(shù)列問(wèn)題化歸為函數(shù)問(wèn)題來(lái)解決按流程解題快又準(zhǔn)典例(2017天津高

37、考)已知an為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn(nN*)，bn是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2b312，b3a42a1，S1111b4.(1)求an和bn的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列a2nb2n1的前n項(xiàng)和(nN*)解題示范(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q.由已知b2b312，得b1(qq2)12，而b12，所以q2q60.又因?yàn)閝0，解得q2.所以bn2n.由b3a42a1，可得3da18.由S1111b4，可得a15d16.由，解得a11，d3，由此可得an3n2.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n2，數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn2n.(2)設(shè)數(shù)列a2nb2n1的前n項(xiàng)和為Tn

38、，由a2n6n2，b2n124n1，得a2nb2n1(3n1)4n，故Tn24542843(3n1)4n，4Tn242543844(3n4)4n(3n1)4n1，上述兩式相減，得3Tn2434234334n(3n1)4n14(3n1)4n1(3n2)4n18.故Tn4n1.所以數(shù)列a2nb2n1的前n項(xiàng)和為4n1.思維升華對(duì)于數(shù)列的備考應(yīng)掌握的4個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1)準(zhǔn)確掌握數(shù)列中an與Sn之間的關(guān)系，這是解決數(shù)列問(wèn)題的基礎(chǔ)；(2)重視等差與等比數(shù)列的復(fù)習(xí)，熟悉其基本概念、公式和性質(zhì)，這是解決數(shù)列問(wèn)題的根本；(3)注意數(shù)列與函數(shù)、不等式等的綜合問(wèn)題，掌握解決此類問(wèn)題的通法；(4)在知識(shí)的復(fù)習(xí)和解題過(guò)

39、程中體會(huì)其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，如分類討論、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程思想等應(yīng)用體驗(yàn)(2018開(kāi)封模擬)已知數(shù)列an滿足a11，且2nan12(n1)ann(n1)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)2nan12(n1)ann(n1)，兩邊同時(shí)除以2n(n1)得，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，an.(2)bn，bn2，Sn22.A卷大題保分練1(2018陜西模擬)已知在遞增等差數(shù)列an中，a12，a3是a1和a9的等比中項(xiàng)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bn，Sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，求S100的值解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則

40、ana1(n1)d.a3是a1和a9的等比中項(xiàng)，aa1a9，即(22d)22(28d)，解得d0(舍)或d2.ana1(n1)d2n.(2)bn.S100b1b2b100.2(2018蘭州診斷性測(cè)試)在公差不為零的等差數(shù)列an中，a11，a2，a4，a8成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn2an，Tnb1b2bn，求Tn.解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則依題意有解得d1或d0(舍去)，an1(n1)n.(2)由(1)得ann，bn2n，bn是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，Tn2n12.3(2018北京調(diào)研)已知數(shù)列an滿足a11，且an12an，設(shè)bn23log2an(nN*)(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列|anbn|的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)因?yàn)閍n12an，a11，所以數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列所以an2n1.又因?yàn)閎n23log2an(nN*)，所以bn3log22n123(n1)23n1.(2)因?yàn)閿?shù)列an中的項(xiàng)為1,2,4,8,16，