高考數(shù)學(xué)新一輪復(fù)習(xí) 詳細分類題庫 考點24 等比數(shù)列及其前n項和（文、理）（含詳解13高考題）

高考數(shù)學(xué)新一輪復(fù)習(xí) 詳細分類題庫 考點24 等比數(shù)列及其前n項和（文、理）（含詳解，13高考題） 一、選擇題1. （xx·新課標高考文科·6）設(shè)首項為1，公比為的等比數(shù)列an的前n項和為Sn，則（ ）A. B. C. D. 【解題指南】利用等比數(shù)列的前n項和公式求解.【解析】選D.方法一：因為等比數(shù)列的首項為1，公比為，所以.方法二：，觀察四個選項可知選D.2. （xx·大綱版全國卷高考文科·7）與（xx·大綱版全國卷高考理科·6）相同已知數(shù)列滿足（ ）A. B. C. D.【解題指南】由求出數(shù)列的公比，再利用等比數(shù)列的求和公式確定數(shù)列的前項的和.【解析】選C.因為，則，又，所以數(shù)列是首項為，公比的等比數(shù)列.故3.（xx·福建高考理科·9）已知等比數(shù)列的公比為，記，cn=am(n-1)+1·am(n-1)+2··am(n-1)+m，則以下結(jié)論一定正確的是（）A. 數(shù)列為等差數(shù)列，公差為 B. 數(shù)列為等比數(shù)列，公比為 C. 數(shù)列為等比數(shù)列，公比為 D. 數(shù)列為等比數(shù)列，公比為 【解題指南】如何判定一個數(shù)列是等差或等比數(shù)列，注意一定是作差，或作比，看看是不是常數(shù).【解析】選C. 4.（xx·江西高考理科·3）等比數(shù)列x，3x+3，6x+6，的第四項等于A.-24B.0C.12D.24【解題指南】先根據(jù)前三項求出x的值，再求第四項.【解析】選A.因為等比數(shù)列的前三項為x，3x+3，6x+6，所以，即，解得或.當時，不合題意，舍去.故.此時等比數(shù)列的前三項為-3，-6，-12.所以等比數(shù)列的首項為-3，公比為2，所以等比數(shù)列的第四項為.5.(xx·新課標全國高考理科·T3)等比數(shù)列an的前n項和為Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,則a1=() A. B. C. D.【解析】選C.由S3=a2+10a1,得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,即a1q2=9a1,解得q2=9,又因為a5=9,所以a1q4=9,解得a1=二、填空題6.(xx·江蘇高考數(shù)學(xué)科·T14) 在正項等比數(shù)列中，則滿足的最大正整數(shù)的值為 【解題指南】確定首項與公比,對式子a1+a2+an>a1a2an化簡,利用單調(diào)性進行驗證求出最值.【解析】設(shè)正項等比數(shù)列的首項為，公比為(q>0)，則由得，即，解得，代入，式子變?yōu)椋?，化簡得，當，即時，當時經(jīng)驗證時當時，故所求最大正整數(shù)的值為12.【答案】127.（xx·江西高考文科·12）某住宅小區(qū)計劃植樹不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵樹是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n（nN*）等于 .【解題指南】轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列前n項和的問題.【解析】記第n天植樹的棵樹為，則數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，解得n=6.【答案】68.（xx·北京高考文科·11）與（xx·北京高考理科·10）相同若等比數(shù)列an滿足a2a4=20，a3a5=40，則公比q= ；前n項和Sn= .【解題指南】把a2a4=20，a3a5=40作比可求出公比，再代回求出首項，最后求前n項和?！窘馕觥?，?！敬鸢浮? 9. （xx·廣東高考文科·11）設(shè)數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，則 【解析】由題意知，得.【答案】15.10. （xx·遼寧高考文科·14）與（xx·遼寧高考理科·14）相同已知等比數(shù)列an是遞增數(shù)列,Sn是an的前n項和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的兩個根,則S6=.【解題指南】利用方程求得a1,a3的值,結(jié)合等比數(shù)列,求出基本量(首項和公比),進而解決求和問題.【解析】因為方程x2-5x+4=0的根為1,4,而等比數(shù)列an是遞增數(shù)列,所以a1=1,a3=4.由等比數(shù)列的通項公式得,a3=a1q2=q2=4q=±2.又因為等比數(shù)列an是遞增數(shù)列,故q=2.從而【答案】三、解答題11. （xx·四川高考理科·16）在等差數(shù)列中，且為和的等比中項，求數(shù)列的首項、公差及前項和【解題指南】本題在求解過程中，首先要分析清楚數(shù)列中有特點的項，即等差數(shù)列中為和的等比中項，設(shè)出公差，利用方程的思想求解.【解析】設(shè)該數(shù)列公差為d,前n項和為Sn,由已知,可得2a1+2d=8,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d).所以a1+d=4,d(d-3a1)=0,解得a1=4,d=0,或a1=1,d=3,即數(shù)列an的首項為4,公差為0,或首項為1,公差為3.所以,數(shù)列的前n項和Sn=4n或Sn=.12. （xx·四川高考文科·16）在等比數(shù)列中，且為和的等差中項，求數(shù)列的首項、公比及前項和?！窘忸}指南】本題在求解過程中，首先需要明確等比數(shù)列中為和的等差中項，然后設(shè)出公比，利用方程的思想進行求解.【解析】設(shè)該數(shù)列的公比為，由已知可得，所以，解得或，由于，因此不合題意，應(yīng)舍去.故公比，首項，所以數(shù)列的前項和.13. （xx·天津高考文科·19）已知首項為的等比數(shù)列的前n項和為, 且成等差數(shù)列. () 求數(shù)列的通項公式; () 證明. 【解題指南】() 由成等差數(shù)列求等比數(shù)列的公比，然后寫出其通項公式；() 寫出等比數(shù)列的前n項和為，表示，分n為奇數(shù)或偶數(shù)討論起最大值，進而得出證明.【解析】() 設(shè)等比數(shù)列的公比為，由成等差數(shù)列，所以，可得于是又所以等比數(shù)列的通項公式為()當n為奇數(shù)時，隨n的增大而減小，所以當n為偶數(shù)時，隨n的增大而減小，所以故對于，有14.(xx·天津高考理科·T19)已知首項為的等比數(shù)列an不是遞減數(shù)列,其前n項和為Sn(nN*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項公式.(2)設(shè),求數(shù)列Tn的最大項的值與最小項的值.【解題指南】(1)由S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差數(shù)列求等比數(shù)列an的公比,然后寫出其通項公式.(2)寫出等比數(shù)列an的前n項和為Sn,表示,分n為奇數(shù)或偶數(shù)討論其最值.【解析】(1) 設(shè)等比數(shù)列的公比為，由S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差數(shù)列，所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即4a5=a3,于是又an不是遞減數(shù)列且所以故等比數(shù)列的通項公式為(2)由(1) 得當n為奇數(shù)時，隨n的增大而減小，所以故當n為偶數(shù)時，隨n的增大而增大，所以故綜上，對于，總有所以數(shù)列的最大項的值為與最小項的值為15. （xx·陜西高考理科·17）設(shè)是公比為q的等比數(shù)列. () 推導(dǎo)的前n項和公式; () 設(shè)q1, 證明數(shù)列不是等比數(shù)列. 【解題指南】推導(dǎo)數(shù)列的前n項和公式要注意分情況討論；證明數(shù)列不是等比數(shù)列，一般要用反證法.【解析】() 分兩種情況討論。.上面兩式錯位相減: 。綜上，() 使用反證法。設(shè)是公比q1的等比數(shù)列, 假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列.則整理得均與題設(shè)矛盾，故數(shù)列不是等比數(shù)列.16. （xx·湖北高考理科·T18）已知等比數(shù)列滿足： （）求數(shù)列的通項公式；（）是否存在正整數(shù)m，使得？若存在，求m的最小值；若不存在，說明理由.【解題指南】（）用a1和公比q表示,解方程組.（）求和?！窘馕觥浚ǎ┰O(shè)等比數(shù)列的公比為q，則由已知可得 解得 或，故，或. （）若，則，故是首項為，公比為的等比數(shù)列，從而. 若，則，故是首項為，公比為的等比數(shù)列，從而 故. 綜上，對任何正整數(shù)m，總有.故不存在正整數(shù)，使得成立.