高考數(shù)學(xué)新一輪復(fù)習(xí) 詳細(xì)分類題庫 考點24 等比數(shù)列及其前n項和（文、理）（含詳解13高考題）

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1、高考數(shù)學(xué)新一輪復(fù)習(xí) 詳細(xì)分類題庫 考點24 等比數(shù)列及其前n項和（文、理）（含詳解，13高考題） 一、選擇題 1. （xx·新課標(biāo)Ⅰ高考文科·Ｔ6）設(shè)首項為1，公比為的等比數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，則（ ） A. B. C. D. 【解題指南】利用等比數(shù)列的前n項和公式求解. 【解析】選D.方法一：因為等比數(shù)列的首項為1，公比為，，所以. 方法二：，，觀察四個選項可知選D. 2. （xx·大綱版全國卷高考文科·Ｔ7）與（xx·大綱版全國卷高考理科·Ｔ6）相同 已知數(shù)列滿足（ ） A. B. C. D. 【解

2、題指南】由求出數(shù)列的公比，再利用等比數(shù)列的求和公式確定數(shù)列的前項的和. 【解析】選C.因為，則，又，所以數(shù)列是首項為，公比的等比數(shù)列.故 3.（xx·福建高考理科·Ｔ9）已知等比數(shù)列的公比為，記，cn=am(n-1)+1·am(n-1)+2·…·am(n-1)+m，，則以下結(jié)論一定正確的是（　?。? A. 數(shù)列為等差數(shù)列，公差為 　B. 數(shù)列為等比數(shù)列，公比為 C. 數(shù)列為等比數(shù)列，公比為 　D. 數(shù)列為等比數(shù)列，公比為 【解題指南】如何判定一個數(shù)列是等差或等比數(shù)列，注意一定是作差，或作比，看看是不是常數(shù). 【解析】選C. 4.（xx·江西高考理科

3、·Ｔ3）等比數(shù)列x，3x+3，6x+6，…的第四項等于 A.-24 B.0 C.12 D.24 【解題指南】先根據(jù)前三項求出x的值，再求第四項. 【解析】選A.因為等比數(shù)列的前三項為x，3x+3，6x+6，所以，即，解得或.當(dāng)時，不合題意，舍去.故.此時等比數(shù)列的前三項為-3，-6，-12.所以等比數(shù)列的首項為-3，公比為2，所以等比數(shù)列的第四項為. 5.(xx·新課標(biāo)全國Ⅱ高考理科·T3)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,則a1=　(　　) A. B. C. D. 【解析】選C.由S3=a2+10a1

4、,得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,即a1q2=9a1,解得q2=9,又因為a5=9,所以a1q4=9,解得a1= 二、填空題 6.(xx·江蘇高考數(shù)學(xué)科·T14) 在正項等比數(shù)列中，，，則滿足的最大正整數(shù)的值為 【解題指南】確定首項與公比,對式子a1+a2+…+an>a1a2…an化簡,利用單調(diào)性進(jìn)行驗證求出最值. 【解析】設(shè)正項等比數(shù)列的首項為，公比為(q>0)，則由得，即，解得，代入，式子變?yōu)?，即，化簡得，?dāng)，即時，當(dāng)時經(jīng)驗證時當(dāng)時，故所求最大正整數(shù)的值為12. 【答案】12 7.（xx·江西高考文科·Ｔ12）某住宅小區(qū)計劃植樹不少于100棵

5、，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵樹是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n（n∈N*）等于 . 【解題指南】轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列前n項和的問題. 【解析】記第n天植樹的棵樹為，則數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，解得n=6. 【答案】6 8.（xx·北京高考文科·Ｔ11）與（xx·北京高考理科·Ｔ10）相同 若等比數(shù)列{an}滿足a2＋a4=20，a3＋a5=40，則公比q= ；前n項和Sn= . 【解題指南】把a2＋a4=20，a3＋a5=40作比可求出公比，再代回求出首項，最后求前n項和。 【解析】，， 。 【答案】2

6、 9. （xx·廣東高考文科·Ｔ11）設(shè)數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，則 【解析】由題意知，得 . 【答案】15. 10. （xx·遼寧高考文科·Ｔ14）與（xx·遼寧高考理科·Ｔ14）相同已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,Sn是{an}的前n項和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的兩個根,則S6=　　　　　. 【解題指南】利用方程求得a1,a3的值,結(jié)合等比數(shù)列,求出基本量(首項和公比),進(jìn)而解決求和問題. 【解析】因為方程x2-5x+4=0的根為1,4,而等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,所以a1=1,a3=4.由等比數(shù)列的通項公式得, a3=a1q2=q2

7、=4?q=±2.又因為等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,故q=2.從而 【答案】 三、解答題 11. （xx·四川高考理科·Ｔ16）在等差數(shù)列中，，且為和的等比中項，求數(shù)列的首項、公差及前項和． 【解題指南】本題在求解過程中，首先要分析清楚數(shù)列中有特點的項，即等差數(shù)列中為和的等比中項，設(shè)出公差，利用方程的思想求解. 【解析】設(shè)該數(shù)列公差為d,前n項和為Sn,由已知,可得2a1+2d=8,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d). 所以a1+d=4,d(d-3a1)=0, 解得a1=4,d=0,或a1=1,d=3,即數(shù)列{an}的首項為4,公差為0,或首項為1,公差為3.所以,數(shù)列的

8、前n項和Sn=4n或Sn=. 12. （xx·四川高考文科·Ｔ16）在等比數(shù)列中，，且為和的等差中項，求數(shù)列的首項、公比及前項和。 【解題指南】本題在求解過程中，首先需要明確等比數(shù)列中為和的等差中項，然后設(shè)出公比，利用方程的思想進(jìn)行求解. 【解析】設(shè)該數(shù)列的公比為，由已知可得 ， 所以，，解得或， 由于，因此不合題意，應(yīng)舍去. 故公比，首項， 所以數(shù)列的前項和. 13. （xx·天津高考文科·Ｔ19）已知首項為的等比數(shù)列的前n項和為, 且成等差數(shù)列. (Ⅰ) 求數(shù)列的通項公式; (Ⅱ) 證明. 【解題指南】(Ⅰ) 由成等差數(shù)列求等比數(shù)列的公比，然后寫出其通項公式；

9、 (Ⅱ) 寫出等比數(shù)列的前n項和為，表示，分n為奇數(shù)或偶數(shù)討論起最大值，進(jìn)而得出證明. 【解析】(Ⅰ) 設(shè)等比數(shù)列的公比為，由成等差數(shù)列，所以，，可得于是又所以等比數(shù)列的通項公式為 (Ⅱ) 當(dāng)n為奇數(shù)時，隨n的增大而減小，所以 當(dāng)n為偶數(shù)時，隨n的增大而減小，所以 故對于，有 14.(xx·天津高考理科·T19)已知首項為的等比數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列,其前n項和為Sn(n∈N*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項公式. (2)設(shè),求數(shù)列{Tn}的最大項的值與最小項的值. 【解題指南】(1)由S3+a3,S5+a5,S4+a4成等

10、差數(shù)列求等比數(shù)列{an}的公比,然后寫出其通項公式. (2)寫出等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,表示,分n為奇數(shù)或偶數(shù)討論其最值. 【解析】(1) 設(shè)等比數(shù)列的公比為，由S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差數(shù)列，所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即4a5=a3,于是又{an}不是遞減數(shù)列且所以 故等比數(shù)列的通項公式為 (2)由(1) 得 當(dāng)n為奇數(shù)時，隨n的增大而減小，所以故 當(dāng)n為偶數(shù)時，隨n的增大而增大，所以故 綜上，對于，總有所以數(shù)列的最大項的值為與最小項的值為 15. （xx·陜西高考理科·Ｔ17）設(shè)是公比為q的等比數(shù)列.

11、(Ⅰ) 推導(dǎo)的前n項和公式; (Ⅱ) 設(shè)q≠1, 證明數(shù)列不是等比數(shù)列. 【解題指南】推導(dǎo)數(shù)列的前n項和公式要注意分情況討論；證明數(shù)列不是等比數(shù)列，一般要用反證法. 【解析】(Ⅰ) 分兩種情況討論。 ① ②. 上面兩式錯位相減: 。 ③綜上， (Ⅱ) 使用反證法。 設(shè)是公比q≠1的等比數(shù)列, 假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列.則 整理得均與題設(shè)矛盾，故數(shù)列不是等比數(shù)列. 16. （xx·湖北高考理科·T18）已知等比數(shù)列滿足： （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）是否存在正整數(shù)m，使得？若存在，求m的最小值；若不存在，說明理由. 【解題指南】（Ⅰ）用a1和公比q表示,解方程組.（Ⅱ）求和。 【解析】（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則由已知可得 解得 或，故，或. （Ⅱ）若，則，故是首項為，公比為的等比數(shù)列， 從而. 若，則，故是首項為，公比為的等比數(shù)列， 從而 故. 綜上，對任何正整數(shù)m，總有.故不存在正整數(shù)，使得成立.