5、導(dǎo)數(shù)判斷可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)的單調(diào)性，步驟是：①求f′(x)，②確定f′(x)在(a，b)內(nèi)的符號(hào)，③得出結(jié)論．
1．下列函數(shù)中，在區(qū)間(－1,1)上是減函數(shù)的有________．
①y＝2－3x2；②y＝ln x；③y＝；④y＝sin x.
解析：顯然，函數(shù)y＝2－3x2在區(qū)間(－1,1)上是不單調(diào)的；
函數(shù)y＝ln x的定義域?yàn)?0，＋∞)，不滿足題目要求；
對(duì)于函數(shù)y＝，其導(dǎo)數(shù)y′＝<0，且函數(shù)在區(qū)間(－1,1)上有意義，所以函數(shù)y＝在區(qū)間(－1,1)上是減函數(shù)；
函數(shù)y＝sin x在上是增函數(shù)，所以函數(shù)y＝sin x在區(qū)間(－1,1)上也是增函數(shù)．
答案：③
6、
2．證明：函數(shù)y＝ln x＋x在其定義域內(nèi)為增函數(shù)．
證明：顯然函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x>0}，
又f′(x)＝(ln x＋x)′＝＋1，
當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)>1>0，
故y＝ln x＋x在其定義域內(nèi)為增函數(shù)．
3．判斷y＝ax3－1(a∈R)在(－∞，＋∞)上的單調(diào)性．
解：因?yàn)閥′＝3ax2，又x2≥0.
(1)當(dāng)a>0時(shí)，y′≥0，函數(shù)在R上是增函數(shù)；
(2)當(dāng)a<0時(shí)，y′≤0，函數(shù)在R上是減函數(shù)；
(3)當(dāng)a＝0時(shí)，y′＝0，函數(shù)在R上不具備單調(diào)性．
求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
[例2] 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：
(1)y＝x3－2x2＋x；(2)f(x)＝
7、3x2－2ln x.
[思路點(diǎn)撥] 先確定函數(shù)的定義域，再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后求解不等式f′(x)>0，f′(x)<0，并與定義域求交集從而得到相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間．
[精解詳析] (1)y′＝3x2－4x＋1.
令3x2－4x＋1>0，解得x>1或x<，
因此，y＝x3－2x2＋x的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)，.
再令3x2－4x＋1<0，解得0，即2·>0，
解得－.
又∵x>0，∴x>.
令f′(x)<0，即2·<0，
解得
8、x<－或00，∴00或f′(x)<0，不等式的解集就是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
(2)如果函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個(gè)時(shí)，應(yīng)用“及”、“和”等連接，而不能寫成并集的形式．如本例(1)中的單調(diào)增區(qū)間不能寫成∪(1，＋∞)．
(3)要特別注意函數(shù)的定義域．
4．若函數(shù)f(x)＝x2－2x－4ln x，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為________．
解析：由已知f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，
f′(x)＝2x－2－＝，
由f′(x
9、)>0得x2－x－2>0，解得x<－1或x>2，
又x>0，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2，＋∞)．
答案：(2，＋∞)
5．函數(shù)f(x)＝xln x的單調(diào)遞增區(qū)間為________．
解析：∵f(x)＝xln x(x>0)，∴f′(x)＝ln x＋1，
令f′(x)>0，則ln x＋1>0，即ln x>－1.
∴x>，
即函數(shù)f(x)＝xln x的單調(diào)遞增區(qū)間為.
答案：
6．已知函數(shù)f(x)＝(k為常數(shù)，e＝2.718 28…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與x軸平行．
(1)求k的值；
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間．
解：(1)
10、由f(x)＝，
得f′(x)＝，x∈(0，＋∞)，
由于曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線與x軸平行，
所以f′(1)＝0，因此k＝1.
(2)由(1)得f′(x)＝(1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)，
令h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)，
當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，h(x)>0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h(x)<0.
又ex>0，所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)>0；
當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)<0.
因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，
單調(diào)遞減區(qū)間為(1，＋∞)．
已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
[例3] 已知函數(shù)f(x)＝x2＋(
11、x≠0，常數(shù)a∈R)．若函數(shù)f(x)在x∈[2，＋∞)上是增函數(shù)，求a的取值范圍．
[思路點(diǎn)撥] 解答本題可先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再將問題轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立問題求解．
[精解詳析] f′(x)＝2x－＝.
要使f(x)在[2，＋∞)上是增函數(shù)，
則f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立，
即≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立．
∵x2>0，∴2x3－a≥0，
∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立．
∴a≤(2x3)min.
∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3是增函數(shù)，
∴(2x3)min＝16，∴a≤16.
當(dāng)a＝16時(shí)，f′(x)＝≥0(x∈[2，＋∞)
12、)恒成立．
∴a的取值范圍是a≤16.
[一點(diǎn)通] (1)已知f(x)在區(qū)間(a，b)上的單調(diào)性，求參數(shù)范圍的方法：
①利用集合的包含關(guān)系處理：f(x)在(a，b)上單調(diào)，則區(qū)間(a，b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集；
②利用不等式的恒成立處理：f(x)在(a，b)上單調(diào)，則f′(x)≥0或f′(x)≤0在(a，b)內(nèi)恒成立，注意驗(yàn)證等號(hào)是否成立．
(2)兩個(gè)非常重要的轉(zhuǎn)化：
①m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max；
②m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.
7．函數(shù)f(x)＝x3－mx2＋m－2的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,3)，則m＝________.
解析：∵f(x)＝x3－m
13、x2＋m－2，
∴f′(x)＝3x2－2mx.
令f′(x)＝0，則x＝0或x＝m，
又∵函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,3)，
∴m＝3，即m＝.
答案：
8．若f(x)＝－(x－2)2＋bln x在(1，＋∞)上是減函數(shù)，則b的取值范圍是________．
解析：由題意可知f′(x)＝－(x－2)＋≤0在(1，＋∞)上恒成立，即b≤x(x－2)在x∈(1，＋∞)上恒成立，由于φ(x)＝x(x－2)＝x2－2x(x∈(1，＋∞))的值域是(－1，＋∞)，故只要b≤－1即可．
答案：(－∞，－1]
9．已知函數(shù)f(x)＝2ax－，x∈(0,1]．若f(x)在(0,1]上是增
14、函數(shù)，求a的取值范圍．
解：由已知得f′(x)＝2a＋，
∵f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增，
∴f′(x)≥0，即a≥－在x∈(0,1]上恒成立．
而g(x)＝－在(0,1]上單調(diào)遞增，
∴g(x)max＝g(1)＝－1，∴a≥－1.
當(dāng)a＝－1時(shí)，f′(x)＝－2＋.
對(duì)x∈(0,1]也有f′(x)≥0.
∴a＝－1時(shí)，f(x)在(0,1]上為增函數(shù)．
∴綜上，f(x)在(0,1]上為增函數(shù)，
a的取值范圍是[－1，＋∞)．
1．在利用導(dǎo)數(shù)來討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域，解決問題的過程中只能在定義域內(nèi)通過討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
2．一
15、般利用使導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)來對(duì)函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間．
3．如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)＝0，則f(x)為常數(shù)函數(shù)．
[對(duì)應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(六)]
一、填空題
1．函數(shù)y＝x3－x2－40x＋80的增區(qū)間為________，減區(qū)間為________．
解析：y′＝3x2－2x－40＝(3x＋10)(x－4)，
由y′>0，得x>4或x<－；由y′<0，得－
16、)∪(1，＋∞)，
所以函數(shù)f(x)＝的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)，(1，e)．
答案：(0,1)，(1，e)
3．函數(shù)y＝x2－ln x的單調(diào)減區(qū)間為________．
解析：y′＝x－，由y′<0，得x<－1或00，∴0
17、答案：②
5．已知函數(shù)f(x)為定義在(0，＋∞)上的可導(dǎo)函數(shù)，且f(x)>xf′(x)．則不等式x2f－f(x)<0的解集為________．
解析：令φ(x)＝，則φ′(x)＝<0.
∴φ(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，
又x2fx.又∵x>0，∴0
18、x－1)．
令f′(x)>0，則4x(x＋1)(x－1)>0，
解得－11，
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－1,0)和(1，＋∞)．
令f′(x)<0，則4x(x＋1)(x－1)<0.
得x<－1或00，
由f′(x)>0得0
19、.
7．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－2－ln x(a∈R)．
(1)若f(x)在點(diǎn)(e，f(e))處的切線為x－ey－2e＝0，求a的值；
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間．
解：(1)∵f(x)＝ax－2－ln x(x＞0)，
∴f′(x)＝a－＝.
又f(x)在點(diǎn)(e，f(e))處的切線為x－ey－2e＝0，
∴f′(e)＝a－＝，
故a＝.
(2)由(1)知：f′(x)＝a－＝(x＞0)，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，
∴f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)減函數(shù)．
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′(x)＝0解得：x＝，
當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)隨x的變化情況如下
20、表：
0
f′(x)
－
0
＋
f(x)
由表可知：f(x)在上是單調(diào)減函數(shù)，在上是單調(diào)增函數(shù)．
綜上所述：當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0，＋∞)；
當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.
8．若函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x在區(qū)間(1,4)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(6，＋∞)上單調(diào)遞增，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：f′(x)＝x2－ax＋(a－1)，因?yàn)閒(x)在(1,4)上單調(diào)遞減，所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立，即a(x－1)≥x2－1在(1,4)上恒成立，所以a≥x＋1.因?yàn)?7，所以a≤7.
綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是5≤a≤7.
2022年高中數(shù)學(xué)蘇教版選修2-2教學(xué)案：第1章 1-3 1-3-1 單 調(diào) 性
