（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 選考部分 第1講 坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案 文 新人教A版

《（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 選考部分 第1講 坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案 文 新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 選考部分 第1講 坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案 文 新人教A版（16頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第1講　坐標(biāo)系與參數(shù)方程 [做真題] 1．(2019·高考全國(guó)卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為2ρcos θ＋ρsin θ＋11＝0. (1)求C和l的直角坐標(biāo)方程； (2)求C上的點(diǎn)到l距離的最小值． 解：(1)因?yàn)椋?＜≤1，且x2＋＝＋＝1，所以C的直角坐標(biāo)方程為x2＋＝1(x≠－1)． l的直角坐標(biāo)方程為2x＋y＋11＝0. (2)由(1)可設(shè)C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)，－π＜α＜π)． C上的點(diǎn)到l的距離為 ＝. 當(dāng)α＝－時(shí)，4cos＋11取得最小值7，故C上的

2、點(diǎn)到l距離的最小值為. 2．(2019·高考全國(guó)卷Ⅱ)在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，點(diǎn)M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲線C：ρ＝4sin θ上，直線l過(guò)點(diǎn)A(4，0)且與OM垂直，垂足為P. (1)當(dāng)θ0＝時(shí)，求ρ0及l(fā)的極坐標(biāo)方程； (2)當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段OM上時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程． 解：(1)因?yàn)镸(ρ0，θ0)在曲線C上，當(dāng)θ0＝時(shí)，ρ0＝4sin ＝2. 由已知得|OP|＝|OA|cos ＝2. 設(shè)Q(ρ，θ)為l上除P的任意一點(diǎn)．連接OQ， 在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2. 經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P在曲線ρcos＝2上． 所以，l的極坐標(biāo)方程為ρcos＝2.

3、 (2)設(shè)P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ. 因?yàn)镻在線段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范圍是. 所以，P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ，θ∈. [明考情] 1．坐標(biāo)系與參數(shù)方程是高考的選考內(nèi)容之一，高考考查的重點(diǎn)主要有兩個(gè)方面：一是簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；二是參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與曲線的綜合應(yīng)用． 2．全國(guó)卷對(duì)此部分內(nèi)容的考查以解答題形式出現(xiàn)，難度中等，備考此部分內(nèi)容時(shí)應(yīng)注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用． 　　　極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用(綜合型) [知識(shí)整合] 1．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化方法 點(diǎn)M

4、 直角坐標(biāo)(x，y) 極坐標(biāo)(ρ，θ) 互化 公式 2.圓的極坐標(biāo)方程 若圓心為M(ρ0，θ0)，半徑為r，則圓的方程為： ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0. 幾個(gè)特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程： (1)當(dāng)圓心位于極點(diǎn)，半徑為r：ρ＝r. (2)當(dāng)圓心位于M(a，0)，半徑為a：ρ＝2acos θ. (3)當(dāng)圓心位于M(a，)，半徑為a：ρ＝2asin θ. 3．直線的極坐標(biāo)方程 若直線過(guò)點(diǎn)M(ρ0，θ0)，且極軸到此直線的角為α，則它的方程為：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 幾個(gè)特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程： (1)直線過(guò)極點(diǎn)：θ＝θ

5、0和θ＝π＋θ0. (2)直線過(guò)點(diǎn)M(a，0)且垂直于極軸：ρcos θ＝a. (3)直線過(guò)點(diǎn)M(b，)且平行于極軸：ρsin θ＝b. [典型例題] (2019·高考全國(guó)卷Ⅲ)如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，A(2，0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圓的圓心分別是(1，0)，，(1，π)，曲線M1是弧，曲線M2是弧，曲線M3是弧. (1)分別寫(xiě)出M1，M2，M3的極坐標(biāo)方程； (2)曲線M由M1，M2，M3構(gòu)成，若點(diǎn)P在M上，且|OP|＝，求P的極坐標(biāo)． 【解】　(1)由題設(shè)可得，弧，，所在圓的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ. 所以

6、M1的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ，M2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ，M3的極坐標(biāo)方程為ρ＝－2cos θ. (2)設(shè)P(ρ，θ)，由題設(shè)及(1)知： 若0≤θ≤，則2cos θ＝，解得θ＝； 若≤θ≤，則2sin θ＝，解得θ＝或θ＝； 若≤θ≤π，則－2cos θ＝，解得θ＝. 綜上，P的極坐標(biāo)為或或或. (1)求曲線的極坐標(biāo)方程的一般思路 曲線的極坐標(biāo)方程問(wèn)題通?？衫没Q公式轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系中的問(wèn)題求解，然后再次利用互換公式即可轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程．熟練掌握互換公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． (2)解決極坐標(biāo)問(wèn)題的一般思路 一是將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，求出交點(diǎn)的直角坐

7、標(biāo)，再將其化為極坐標(biāo)；二是將曲線的極坐標(biāo)方程聯(lián)立，根據(jù)限制條件求出極坐標(biāo)．　 [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1．在極坐標(biāo)系中，已知圓O：ρ＝cos θ＋sin θ和直線l：ρsin＝(ρ≥0，0≤θ<2π)． (1)求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程； (2)當(dāng)θ∈(0，π)時(shí)，求直線l與圓O的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)． 解：(1)圓O：ρ＝cos θ＋sin θ， 即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 故圓O的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－x－y＝0， 直線l：ρsin＝， 即ρsin θ－ρcos θ＝1， 則直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y＋1＝0. (2)由(1)知圓O與直線l的直角坐標(biāo)方程，將兩方程

8、聯(lián)立得解得 即圓O與直線l在直角坐標(biāo)系下的公共點(diǎn)為(0，1)，將(0，1)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)為，即為所求． 2．(2019·安徽五校聯(lián)盟第二次質(zhì)檢)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1：x＝0，圓C：(x－1)2＋(y－1－)2＝1，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求直線l1和圓C的極坐標(biāo)方程； (2)若直線l2的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)，設(shè)l1，l2與圓C的公共點(diǎn)分別為A，B，求△OAB的面積． 解：(1)因?yàn)閤＝ρcos θ，y＝ρsin θ，x2＋y2＝ρ2， 所以直線l1的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝0， 即θ＝(ρ∈R)， 圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρc

9、os θ－2(1＋)ρsin θ＋3＋2＝0. (2)設(shè)A(ρ1，)、B(ρ2，)，將θ＝代入ρ2－2ρcos θ－2(1＋)ρsin θ＋3＋2＝0， 得ρ2－2(1＋)ρ＋3＋2＝0，解得ρ1＝1＋. 將θ＝代入ρ2－2ρcos θ－2(1＋)ρsin θ＋3＋2＝0， 得ρ2－2(1＋)ρ＋3＋2＝0，解得ρ2＝1＋. 故△OAB的面積為×(1＋)2×sin＝1＋. 　　　參數(shù)方程及其應(yīng)用(綜合型) [知識(shí)整合] 直線和圓錐曲線的普通方程和參數(shù)方程 點(diǎn)的軌跡 普通方程 參數(shù)方程 直線 y－y0＝tan α(x－x0) (t為參數(shù)) 圓 (x－x0

10、)2＋(y－y0)2＝r2 (θ為參數(shù)) 橢圓 ＋＝1(a>b>0) (φ為參數(shù)) [典型例題] (2019·鄭州市第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2cos2 θ＋3ρ2sin2 θ＝12，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)． (1)若點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(2，π)，求|PM|·|PN|的值； (2)求曲線C的內(nèi)接矩形周長(zhǎng)的最大值． 【解】　(1)由ρ2cos2 θ＋3ρ2sin2 θ＝12得x2＋3y2＝12，故曲線C的直角坐標(biāo)方程為＋＝1，點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(－2，0)，

11、將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程＋＝1中， 得t2－t－4＝0，設(shè)點(diǎn)M，N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2， 則|PM|·|PN|＝|t1t2|＝4. (2)由曲線C的直角坐標(biāo)方程為＋＝1，可設(shè)曲線C上的動(dòng)點(diǎn)A(2cos α， 2sin α)，0<α<. 則以A為頂點(diǎn)的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)為4(2cos α＋2sin α)＝16sin，0<α<. 因此該內(nèi)接矩形周長(zhǎng)的最大值為16，當(dāng)且僅當(dāng)α＝時(shí)取得最大值． (1)有關(guān)參數(shù)方程問(wèn)題的2個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) ①參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是消參數(shù)，要根據(jù)參數(shù)的特點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化． ②利用參數(shù)方程解決問(wèn)題，關(guān)鍵是選準(zhǔn)參數(shù)，理解參數(shù)的幾何意義． (2

12、)利用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求解問(wèn)題 經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．若A，B為直線l上兩點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，線段AB的中點(diǎn)為M，點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t0，則以下結(jié)論在解題中經(jīng)常用到： ①t0＝. ②|PM|＝|t0|＝. ③|AB|＝|t2－t1|. ④|PA|·|PB|＝|t1·t2|.　 [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1．(2018·高考全國(guó)卷Ⅲ)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，過(guò)點(diǎn)(0，－)且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點(diǎn)． (1)求α的取值范圍； (2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程． 解：(

13、1)⊙O的普通方程為x2＋y2＝1. 當(dāng)α＝時(shí)，l與⊙O交于兩點(diǎn)． 當(dāng)α≠時(shí)，記tan α＝k，則l的方程為y＝kx－.l與⊙O交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)<1，解得k<－1或k>1，即α∈或α∈. 綜上，α的取值范圍是. (2)l的參數(shù)方程為 . 設(shè)A，B，P對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB，tP，則tP＝，且tA，tB滿足t2－2tsin α＋1＝0. 于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α. 又點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足 所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是 . 2．(2019·成都第一次診斷性檢測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸

14、的正半軸為極軸，且與直角坐標(biāo)系長(zhǎng)度單位相同的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ＝2sin. (1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)點(diǎn)P(0，－1)，若直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|＋|PB|的值． 解：(1)將直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t并化簡(jiǎn)， 得直線l的普通方程為x－y－1＝0. 曲線C的極坐標(biāo)方程可化為ρ2＝2ρ， 即ρ2＝2ρsin θ＋2ρcos θ，所以x2＋y2＝2y＋2x， 故曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2. (2)將直線l的參數(shù)方程代入(x－1)2＋(y－1)2＝2中， 得＋＝2， 化簡(jiǎn)，得t2－(1＋2

15、)t＋3＝0. 因?yàn)棣?0，所以此方程的兩根為直線l與曲線C的交點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)t1，t2. 由根與系數(shù)的關(guān)系，得t1＋t2＝2＋1，t1t2＝3，故t1，t2同正． 由直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，知|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝2＋1. 　　　極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用(綜合型) [典型例題] (2019·廣東六校第一次聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，取相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2＝2ρsin－1. (1)求直線l的普通方程和曲線C的直

16、角坐標(biāo)方程，并指明曲線C的形狀； (2)設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且|OA|<|OB|，求－. 【解】　(1)由消去參數(shù)t，得y＝2x. 由ρ2＝2ρsin－1，得ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0， x2＋y2－2x－2y＋1＝0， 即(x－1)2＋(y－1)2＝1. 所以直線l的普通方程為y＝2x，曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1， 曲線C表示以(1，1)為圓心，1為半徑的圓． (2)將x＝t，y＝t代入x2＋y2－2x－2y＋1＝0，得t2－t＋1＝0， 設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2.則t1＋t2＝>0，t1t2＝1>0，

17、所以t1>0，t2>0. 因?yàn)閨OA|<|OB|，所以－>0， 所以－＝－＝＝ ＝＝. 解決極坐標(biāo)、參數(shù)方程的綜合問(wèn)題應(yīng)關(guān)注的三點(diǎn) (1)對(duì)于參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程應(yīng)用不夠熟練的情況下，我們可以先化成直角坐標(biāo)的普通方程，這樣思路可能更加清晰． (2)對(duì)于一些運(yùn)算比較復(fù)雜的問(wèn)題，用參數(shù)方程計(jì)算會(huì)比較簡(jiǎn)潔． (3)利用極坐標(biāo)方程解決問(wèn)題時(shí)，要注意題目所給的限制條件及隱含條件．　 [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1．已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ＝4cos θ，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是(t是參數(shù))． (1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角

18、坐標(biāo)方程． (2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝， 求直線l的傾斜角α的值． 解：(1)因?yàn)棣裞os θ＝x，ρsin θ＝y(tǒng)，ρ2＝x2＋y2， 所以曲線C的極坐標(biāo)方程ρ＝4cos θ可化為ρ2＝4ρcos θ， 所以x2＋y2＝4x，所以(x－2)2＋y2＝4. (2)將代入圓的方程(x－2)2＋y2＝4得：(tcos α－1)2＋(tsin α)2＝4， 化簡(jiǎn)得t2－2tcos α－3＝0. 設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2， 則 所以|AB|＝|t1－t2| ＝＝， 因?yàn)閨AB|＝， 所以＝. 所以cos α＝±. 因?yàn)棣痢剩驭粒?/p>

19、或α＝π. 所以直線的傾斜角α＝或α＝π. 2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，傾斜角為α的直線l過(guò)點(diǎn)M(－2，－4)．以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，且在兩坐標(biāo)系中長(zhǎng)度單位相同，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2 θ＝2cos θ. (1)寫(xiě)出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)若直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且|MA|·|MB|＝40，求傾斜角α的值． 解：(1)因?yàn)閮A斜角為α的直線過(guò)點(diǎn)M(－2，－4)， 所以直線l的參數(shù)方程是(t是參數(shù))． 因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為ρsin2 θ＝2cos θ， 所以ρ2sin2θ＝2ρcos θ，所以曲線C的直角坐標(biāo)方

20、程是y2＝2x. (2)把直線l的參數(shù)方程代入y2＝2x，得t2sin2 α－(2cos α＋8sin α)t＋20＝0，由題意知，Δ>0，設(shè)t1，t2為方程t2sin2α－(2cos α＋8sin α)t＋20＝0的兩根， 則t1＋t2＝，t1t2＝， 根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義知|MA|·|MB|＝|t1t2|＝＝40， 故α＝或α＝， 又Δ＝(2cos α＋8sin α)2－80sin2 α>0，所以α＝. 1．已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ＝2，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (1)寫(xiě)出直線l的普通方程與曲線C的直角坐

21、標(biāo)方程； (2)設(shè)曲線C經(jīng)過(guò)伸縮變換得到曲線C′，過(guò)點(diǎn)F(，0)作傾斜角為60°的直線交曲線C′于A，B兩點(diǎn)，求|FA|·|FB|.　 解：(1)直線l的普通方程為2x－y＋2＝0， 曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝4. (2)因?yàn)? 所以C′的直角坐標(biāo)方程為＋y2＝1. 易知直線AB的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 將直線AB的參數(shù)方程代入曲線C′：＋y2＝1， 得t2＋t－1＝0， 設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2， 則t1·t2＝－， 所以|FA|·|FB|＝|t1·t2|＝. 2．(2019·鄭州市第一次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知曲線C1：x2＋(y－3)2＝9，A是曲線C1上

22、的動(dòng)點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，以極點(diǎn)O為中心，將點(diǎn)A繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)B，設(shè)點(diǎn)B的軌跡為曲線C2. (1)求曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程； (2)射線θ＝(ρ>0)與曲線C1，C2分別交于P，Q兩點(diǎn)， 定點(diǎn)M(－4，0)，求△MPQ的面積． 解：(1)曲線C1：x2＋(y－3)2＝9，把代入可得，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝6sin θ. 設(shè)B(ρ，θ)，則A， 則ρ＝6sin(θ－)＝－6cos θ. 所以曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝－6cos θ. (2)M到直線θ＝的距離為d＝4sin＝2， 射線θ＝與曲線C1的交點(diǎn)P， 射線θ＝與曲

23、線C2的交點(diǎn)Q， 所以|PQ|＝3－3， 故△MPQ的面積S＝×|PQ|×d＝3－3. 3．(2019·河北省九校第二次聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C：ρsin2 θ＝2acos θ(a>0)，過(guò)點(diǎn)P(－2，－4)的直線l：(t為參數(shù))與曲線C相交于M，N兩點(diǎn)． (1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程； (2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)a的值． 解：(1)把代入ρsin2θ＝2acos θ，得y2＝2ax(a>0)， 由(t為參數(shù))，消去t得x－y－2＝0， 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程

24、分別是y2＝2ax(a>0)，x－y－2＝0. (2)將(t為參數(shù))代入y2＝2ax，整理得t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0. 設(shè)t1，t2是該方程的兩根，則t1＋t2＝2(4＋a)，t1·t2＝8(4＋a)， 由題意知，|MN|2＝|PM|·|PN|，所以(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1·t2＝t1·t2，所以8(4＋a)2－4×8(4＋a)＝8(4＋a)，所以a＝1. 4．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，曲線C2的參數(shù)方程為(β為參數(shù))，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求曲線C1和曲線C2的極坐標(biāo)方程； (2)已知射線

25、l1：θ＝α，將射線l1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到射線l2：θ＝α－，且射線l1與曲線C1交于O，P兩點(diǎn)，射線l2與曲線C2交于O，Q兩點(diǎn)，求|OP|·|QQ|的最大值． 解：(1)曲線C1的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y2＝4， 所以C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ， 曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2＋(y－2)2＝4， 所以C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sin θ. (2)設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(ρ1，α)， 即ρ1＝4cos α，點(diǎn)Q的極坐標(biāo)為， 即ρ2＝4sin， 則|OP|·|OQ|＝ρ1ρ2＝4cos α·4sin ＝16cos α· ＝8sin－4. 因?yàn)棣痢剩?α－∈. 當(dāng)2

26、α－＝，即α＝時(shí)，|OP|·|OQ|取最大值4. 5．(2019·石家莊市質(zhì)量檢測(cè))已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ，以極點(diǎn)O為直角坐標(biāo)原點(diǎn)，以極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy，將曲線C1向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再將得到的曲線上的每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)保持不變，得到曲線C2. (1)求曲線C2的直角坐標(biāo)方程； (2)已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，點(diǎn)Q為曲線C2上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)Q到直線l距離的最大值． 解：(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ， 所以曲線C1的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y2＝4. 設(shè)曲線C1上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，

27、變換后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x′，y′)， 則即 代入曲線C1的直角坐標(biāo)方程(x－2)2＋y2＝4中，整理得x′2＋＝1， 所以曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2＋＝1. (2)設(shè)Q(cos θ1，2sin θ1)，由直線l的參數(shù)方程得直線l的普通方程為3x－2y－8＝0，則Q到直線l的距離d＝＝， 當(dāng)cos(θ1＋α)＝－1時(shí)，d取得最大值，為， 所以點(diǎn)Q到直線l距離的最大值為. 6．(2019·洛陽(yáng)尖子生第二次聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cos θ. (1)若曲線C2的參數(shù)方程為(α為參數(shù))

28、， 求曲線C1的直角坐標(biāo)方程和曲線C2的普通方程； (2)若曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， A(0，1)，且曲線C1與曲線C2的交點(diǎn)分別為P，Q，求＋的取值范圍． 解：(1)ρ＝2cos θ，則ρ2＝2ρcos θ. 因?yàn)棣?＝x2＋y2，x＝ρcos θ， 所以曲線C1的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0. 將曲線C2的參數(shù)方程消去參數(shù)α，可得曲線C2的普通方程為x2＋(y－1)2＝t2. (2)將C2的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入C1的方程x2＋y2－2x＝0得，t2＋(2sin α－2cos α)t＋1＝0. 因?yàn)棣ぃ?2sin α－2cos α)2－4＝8sin2－4>0， 所以sin2>，所以∈. 設(shè)P，Q對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2則t1＋t2＝－(2sin α－2cos α)＝－2sin，t1·t2＝1. 因?yàn)閠1·t2＝1>0，所以t1，t2同號(hào)， 所以|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|. 由t的幾何意義可得＋＝＋＝＝＝|t1＋t2|＝2， 所以＋∈(2，2]． - 16 -