8、D1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直線DA.∴CE，D1F，DA三線共點(diǎn)．
規(guī)律方法 (1)證明線共面或點(diǎn)共面的常用方法
①直接法，證明直線平行或相交，從而證明線共面．
②納入平面法，先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)．
③輔助平面法，先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合．
(2)證明點(diǎn)共線問題的常用方法
①基本性質(zhì)法，一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，再根據(jù)基本性質(zhì)3證明這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上．
②納入直線法，選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其余點(diǎn)也在該直線上．
【訓(xùn)練1】 如圖所示，
9、四邊形ABEF和ABCD都是梯形，BC綉AD，BE綉FA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)．
(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；
(2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？
(1)證明 由已知FG＝GA，F(xiàn)H＝HD，可得GH綉AD.又BC綉AD，∴GH綉B(tài)C，
∴四邊形BCHG為平行四邊形．
(2)解 ∵BE綉AF，G為FA的中點(diǎn)，∴BE綉FG，
∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF∥BG.
由(1)知BG綉CH，
∴EF∥CH，∴EF與CH共面．
又D∈FH，∴C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．
考點(diǎn)二 判斷空間兩直線的位置關(guān)系
【例2】 (1)(一題多解)若直線l1和l2
10、是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是( )
A．l與l1，l2都不相交
B．l與l1，l2都相交
C．l至多與l1，l2中的一條相交
D．l至少與l1，l2中的一條相交
(2)(2017·嘉興七校聯(lián)考)如圖，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________(填上所有正確答案的序號(hào))．
解析 (1)法一 由于l與直線l1，l2分別共面，故直線l與l1，l2要么都不相交，要么至少與l1，l2中的一條相交．
若l∥l1，l∥l2，則l1∥l2，這與l1，l2是異面直線矛盾．
11、
故l至少與l1，l2中的一條相交．
法二 如圖1，l1與l2是異面直線，l1與l平行，l2與l相交，故A，B不正確；如圖2，l1與l2是異面直線，l1，l2都與l相交，故C不正確．
(2)在圖①中，直線GH∥MN；
在圖②中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M?平面GHN，N?GH，因此直線GH與MN異面；
在圖③中，連接QM，GM∥HN，因此GH與MN共面；
在圖④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，G?MN，
因此GH與MN異面．
所以在圖②④中GH與MN異面．
答案 (1)D (2)②④
規(guī)律方法 (1)異面直線的判定方法
①反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條
12、直線平行或相交，由假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線異面．
②定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn)B的直線是異面直線．
(2)點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判定，要注意幾何模型的選取，常借助正方體為模型，以正方體為主線直觀感知并認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系．
【訓(xùn)練2】 (1)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點(diǎn)，則下列判斷錯(cuò)誤的是( )
A．MN與CC1垂直
B．MN與AC垂直
C．MN與BD平行
D．MN與A1B1平行
(2)(2017·武漢調(diào)研)a，b，c表示不同的直線，M表示平面，給出四個(gè)
13、命題：①若a∥M，b∥M，則a∥b或a，b相交或a，b異面；②若b?M，a∥b，則a∥M；③若a⊥c，b⊥c，則a∥b；④若a⊥M，b⊥M，則a∥b.其中正確的為( )
A．①④ B．②③ C．③④ D．①②
解析 (1)如圖，連接C1D，
在△C1DB中，MN∥BD，故C正確；
∵CC1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴CC1⊥BD，
∴MN⊥CC1，故A正確；
∵AC⊥BD，MN∥BD，∴MN⊥AC，故B正確；
∵A1B1與BD異面，MN∥BD，
∴MN與A1B1不可能平行，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
(2)對(duì)于①，當(dāng)a∥M，b∥M時(shí)，則a與b平行、相交或異面，①為真
14、命題．②中，b?M，a∥b，則a∥M或a?M，②為假命題．命題③中，a與b相交、平行或異面，③為假命題．由線面垂直的性質(zhì)，命題④為真命題，所以①，④為真命題．
答案 (1)D (2)A
考點(diǎn)三 異面直線所成的角
【例3】 (1) (2017·浙江五校聯(lián)考)如圖所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中點(diǎn)，AA1∶AB＝∶1，則異面直線AB1與BD所成的角為________．
(2)(2016·全國Ⅰ卷)平面α過正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為( )
A. B.
15、 C. D.
解析 (1)取A1C1的中點(diǎn)E，連接B1E，ED，AE，
在Rt△AB1E中，∠AB1E為異面直線AB1與BD所成的角．
設(shè)AB＝1，則A1A＝，AB1＝，B1E＝，故∠AB1E＝60°.
(2)根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)，將m，n所成的角轉(zhuǎn)化為平面CB1D1與平面ABCD的交線及平面CB1D1與平面ABB1A1的交線所成的角．設(shè)平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.
∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m.
又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，
∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m.
∵平面ABB1A1∥
16、平面DCC1D1，
且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，
同理可證CD1∥n.
因此直線m與n所成的角即直線B1D1與CD1所成的角．
在正方體ABCD－A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，
故直線B1D1與CD1所成角為60°，其正弦值為.
答案 (1)60° (2)A
規(guī)律方法 (1)求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；補(bǔ)形平移．
(2)求異面直線所成角的三個(gè)步驟
①作：通過作平行線，得到相交直線的夾角．
②證：證明相交直線夾角為異面直線所成的角．
③求：解三
17、角形，求出作出的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角．
【訓(xùn)練3】 (一題多解)(2017·全國Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為( )
A. B. C. D.
解析 法一 以B為原點(diǎn)，建立如圖(1)所示的空間直角坐標(biāo)系．
圖(1) 圖(2)
則B(0，0，0)，B1(0，0，1)，C1(1，0，1)．
又在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝2，則A(－1，，0)．
所以＝(1，－
18、，1)，＝(1，0，1)，
則cos〈，〉＝
＝＝＝，
因此，異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為.
法二 如圖(2)，設(shè)M，N，P分別為AB，BB1，B1C1中點(diǎn)，則PN∥BC1，MN∥AB1，
∴AB1與BC1所成的角是∠MNP或其補(bǔ)角．
∵AB＝2，BC＝CC1＝1，
∴MN＝AB1＝，NP＝BC1＝.
取BC的中點(diǎn)Q，連接PQ，MQ，則可知△PQM為直角三角形，且PQ＝1，MQ＝AC，
在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC
＝4＋1－2×2×1×＝7，AC＝，
則MQ＝，則△MQP中，MP＝＝，
則△PMN中，cos∠PNM＝
19、＝＝－，
又異面直線所成角范圍為，則余弦值為.
答案 C
基礎(chǔ)鞏固題組
一、選擇題
1．l1，l2表示空間中的兩條直線，若p：l1，l2是異面直線；q：l1，l2不相交，則( )
A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件
B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件
C．p是q的充分必要條件
D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件
解析 直線l1，l2是異面直線，一定有l(wèi)1與l2不相交，因此p是q的充分條件；若l1與l2不相交，那么l1與l2可能平行，也可能是異面直線，所以p不是q的必要條件．故選A.
答案 A
2．已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a
20、?β，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是( )
A．相交或平行 B．相交或異面
C．平行或異面 D．相交、平行或異面
解析 依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面，選D.
答案 D
3．給出下列說法：①梯形的四個(gè)頂點(diǎn)共面；②三條平行直線共面；③有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面重合；④三條直線兩兩相交，可以確定1個(gè)或3個(gè)平面．其中正確的序號(hào)是( )
A．① B．①④ C．②③ D．③④
解析 顯然命題①正確．
由于三棱柱的三條平行棱不共面，②錯(cuò)．
命題③中，兩個(gè)平面重合或相交，③錯(cuò)．
三條直線兩兩相交，可確定1個(gè)或3個(gè)平面
21、，則命題④正確．
答案 B
4．(2017·余姚統(tǒng)檢)a，b，c是兩兩不同的三條直線，下面四個(gè)命題中，真命題是( )
A．若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面
B．若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交
C．若a∥b，則a，b與c所成的角相等
D．若a⊥b，b⊥c，則a∥c
解析 若直線a，b異面，b，c異面，則a，c相交、平行或異面；若a，b相交，b，c相交，則a，c相交、平行或異面；若a⊥b，b⊥c，則a，c相交、平行或異面；由異面直線所成的角的定義知C正確．故選C.
答案 C
5．已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1，CC1的中點(diǎn)，那么
22、異面直線AE與D1F所成角的余弦值為( )
A. B. C. D.
解析 連接DF，則AE∥DF，
∴∠D1FD為異面直線AE與D1F所成的角．
設(shè)正方體棱長為a，
則D1D＝a，DF＝a，D1F＝a，
∴cos∠D1FD＝＝.
答案 B
6．(2018·浙江“超級(jí)全能生”聯(lián)考)矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，將△ABC與△ADC沿AC所在的直線進(jìn)行隨意翻折，在翻折過程中直線AD與直線BC成的角范圍(包含初始狀態(tài))為( )
A. B.
C. D.
解析 根據(jù)題意，初始狀態(tài)，直線AD與直線BC成的角為0，當(dāng)BD＝時(shí)，AD⊥DB，AD⊥DC
23、，且DB∩DC＝D，
所以AD⊥平面DBC，故AD⊥BC，
直線AD與BC成的角為，
所以在翻折過程中直線AD與直線BC成的角范圍(包含初始狀態(tài))為.
答案 C
二、填空題
7．(2017·金華調(diào)研)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，則：
(1)直線BN與MB1是________直線(填“相交”或“平行”或“異面”)；
(2)直線MN與AC所成的角的大小為________．
解析 (1)M，B，B1三點(diǎn)共面，且在平面MBB1中，但N?平面MBB1，B?MB1，因此直線BN與MB1是異面直線；(2)連接D1C，因?yàn)镈1C∥MN
24、，所以直線MN與AC所成的角就是D1C與AC所成的角，且角為60°.
答案 (1)異面 (2)60°
8．(2018·杭州一模)如圖，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BCD＝90°，且BC＝CD＝3.將△ABC沿BC的邊翻折，設(shè)點(diǎn)A在平面BCD上的射影為點(diǎn)M，若點(diǎn)M在△BCD內(nèi)部(含邊界)，則點(diǎn)M的軌跡的最大長度等于__________；在翻折過程中，當(dāng)點(diǎn)M位于線段BD上時(shí)，直線AB和CD所成的角的余弦值等于__________．
解析 由題意可得點(diǎn)A的射影M的軌跡為△BCD的中位線，其長度為CD＝；
當(dāng)點(diǎn)M位于線段BD上時(shí)，AM⊥平面BCD，取BC中點(diǎn)為N，AC中點(diǎn)為P，
25、
∴∠MNP或其補(bǔ)角即為直線AB和CD所成的角，
則由中位線可得MN＝CD＝，PN＝AB＝，
又MP為Rt△AMC斜邊AC的中線，故MP＝AC＝，
∴在△MNP中，由余弦定理可得cos∠MNP＝＝.
答案
9．如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，則直線EF與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為________．
解析 取CD的中點(diǎn)H，連接EH，F(xiàn)H.在正四面體CDEF中，由于CD⊥EH，CD⊥HF，且EH∩FH＝H，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，則平面EFH與正方體的左右兩側(cè)面平行，則EF也與之平行，與其余四個(gè)平面相交．
26、
答案 4
10．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成角的余弦值為________．
解析 如圖所示，
取BC中點(diǎn)D，連接MN，ND，AD.
∵M(jìn)，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，
∴MN綉B(tài)1C1.又BD綉B(tài)1C1，
∴MN綉B(tài)D，則四邊形BDNM為平行四邊形，因此ND∥BM，
∴∠AND為異面直線BM與AN所成的角(或其補(bǔ)角)．
設(shè)BC＝2，則BM＝ND＝，AN＝，AD＝，
在△ADN中，由余弦定理得
cos∠AND＝＝.
故異面直線BM與AN所成角的余弦值為.
答案
27、三、解答題
11．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn)．問：
(1)AM和CN是否是異面直線？說明理由；
(2)D1B和CC1是否是異面直線？說明理由．
解 (1)AM，CN不是異面直線．理由：連接MN，A1C1，AC.
因?yàn)镸，N分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn)，所以MN∥A1C1.
又因?yàn)锳1A綉C1C，所以四邊形A1ACC1為平行四邊形，
所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，
所以A，M，N，C在同一平面內(nèi)，
故AM和CN不是異面直線．
(2)直線D1B和CC1是異面直線．
理由：因?yàn)锳BCD－A1B1C1D1是正
28、方體，所以B，C，C1，D1不共面．假設(shè)D1B與CC1不是異面直線，
則存在平面α，使D1B?平面α，CC1?平面α，
所以D1，B，C，C1∈α，
這與B，C，C1，D1不共面矛盾．所以假設(shè)不成立，
即D1B和CC1是異面直線．
12．(2018·湖州月考)如圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點(diǎn)．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：
(1)三棱錐P－ABC的體積；
(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．
解 (1)S△ABC＝×2×2＝2，
三棱錐P－ABC的體積為
V＝S△ABC·PA＝×2×2＝.
(2)如圖，取PB的中
29、點(diǎn)E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE是異面直線BC與AD所成的角(或其補(bǔ)角)．
在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，
cos∠ADE＝＝.
故異面直線BC與AD所成角的余弦值為.
能力提升題組
13．以下四個(gè)命題中，
①不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；
②若點(diǎn)A，B，C，D共面，點(diǎn)A，B，C，E共面，則點(diǎn)A，B，C，D，E共面；
③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；
④依次首尾相接的四條線段必共面．
正確命題的個(gè)數(shù)是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析?、偌僭O(shè)其中有三點(diǎn)共線，則該直線和直線外的另一點(diǎn)確定一
30、個(gè)平面，這與四點(diǎn)不共面矛盾，故其中任意三點(diǎn)不共線，所以①正確．②從條件看出兩平面有三個(gè)公共點(diǎn)A，B，C，但是若A，B，C共線，則結(jié)論不正確；③不正確；④不正確，因?yàn)榇藭r(shí)所得的四邊形的四條邊可以不在一個(gè)平面上，如空間四邊形．
答案 B
14．若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論一定正確的是( )
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1與l4既不垂直也不平行
D．l1與l4的位置關(guān)系不確定
解析 如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，記l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA.若l4＝AA1，滿足l1⊥l2，l2⊥
31、l3，l3⊥l4，此時(shí)l1∥l4，可以排除選項(xiàng)A和C.
若取C1D為l4，則l1與l4相交；若取BA為l4，則l1與l4異面；取C1D1為l4，則l1與l4相交且垂直．
因此l1與l4的位置關(guān)系不能確定．
答案 D
15．如圖，正方形ACDE與等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F(xiàn)，G分別是線段AE，BC的中點(diǎn)，則AD與GF所成的角的余弦值為________．
解析 取DE的中點(diǎn)H，連接HF，GH.由題設(shè)，HF綉AD.
∴∠GFH為異面直線AD與GF所成的角(或其補(bǔ)角)．
在△GHF中，可求HF＝，
GF＝GH＝，∴cos∠H
32、FG＝＝.
答案
16．(2018·紹興一中測(cè)試)如圖，三棱錐A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，點(diǎn)M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，求異面直線AN，CM所成的角的余弦值．
解 如圖所示，連接DN，取線段DN的中點(diǎn)K，連接MK，CK.
∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)，∴MK∥AN，
∴∠KMC為異面直線AN，CM所成的角(或其補(bǔ)角)．
∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N為BC的中點(diǎn)，由勾股定理求得AN＝DN＝CM＝2，
∴MK＝.
在Rt△CKN中，CK＝＝.
在△CKM中，由余弦定理，得
cos∠KMC＝＝.
故異面直線AN，CM所成角的余弦
33、值為.
17.如圖，在四棱錐O－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M為OA的中點(diǎn)．
(1)求四棱錐O－ABCD的體積；
(2)求異面直線OC與MD所成角的正切值．
解 (1)由已知可求得正方形ABCD的面積S＝4，
所以四棱錐O－ABCD的體積
V＝×4×2＝.
(2)如圖，連接AC，設(shè)線段AC的中點(diǎn)為E，連接ME，DE，又M為OA中點(diǎn)，∴ME∥OC，
則∠EMD(或其補(bǔ)角)為異面直線OC與MD所成的角，由已知可得DE＝，EM＝，MD＝，
∵()2＋()2＝()2，
∴△DEM為直角三角形，
∴tan∠EMD＝＝＝.
∴異面直線OC與MD所成角的正切值為.
19
（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何初步 第3節(jié) 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系學(xué)案 理
