2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-4 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系《教案》
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1、2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-4 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系《教案》 【教學(xué)目標(biāo)】 1.能根據(jù)給定直線、圓的方程,判斷直線與圓的位置關(guān)系;能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系. 2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題. 3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想. 【重點(diǎn)難點(diǎn)】 1.教學(xué)重點(diǎn):; 2.教學(xué)難點(diǎn):學(xué)會(huì)對知識進(jìn)行整理達(dá)到系統(tǒng)化,提高分析問題和解決問題的能力; 【教學(xué)策略與方法】 自主學(xué)習(xí)、小組討論法、師生互動(dòng)法 【教學(xué)過程】 教學(xué)流程 教師活動(dòng) 學(xué)生活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖
2、 環(huán)節(jié)二: 考綱傳真: 1.能根據(jù)給定直線、圓的方程,判斷直線與圓的位置關(guān)系;能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系. 2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題. 3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想. 真題再現(xiàn)
3、; 1.(xx·全國卷Ⅱ)過三點(diǎn)A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圓交y軸于M,N兩點(diǎn),則|MN|=( ) A.2 B.8 C.4 D.10 【解析】 設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則解得∴圓的方程為x2+y2-2x+4y-20=0.令x=0,得y=-2+2或y=-2-2,∴M(0,-2+2),N(0,-2-2)或M(0,-2-2),N(0,-2+2),∴|MN|=4,故選C.【答案】 C 2.(xx·湖南高考)若圓C1:x2+y2=1與圓C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,則m=( ) A.21 B.19 C.9 D.-11
4、【解析】 圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+(y-4)2=25-m.又圓C1:x2+y2=1,∴|C1C2|=5. 又∵兩圓外切,∴5=1+,解得m=9. 【答案】 C 3.(xx·廣東高考)平行于直線2x+y+1=0且與圓x2+y2=5相切的直線的方程是( ) A.2x+y+5=0或2x+y-5=0 B.2x+y+=0或2x+y-=0 C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 D.2x-y+=0或2x-y-=0 【解析】 ∵所求直線與直線2x+y+1=0平行,∴設(shè)所求的直線方程為2x+y+m=0.∵所求直線與圓x2+y2=5相切,∴=,∴m=±5.即所求的直線方程為2x+y+5
5、=0或2x+y-5=0.【答案】 A 4.(xx·安徽高考)過點(diǎn)P(-,-1)的直線l與圓x2+y2=1有公共點(diǎn),則直線l的傾斜角的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【解析】 法一 如圖,過點(diǎn)P作圓的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B.由題意知|OP|=2,OA=1,則sin α=,所以α=30°,∠BPA=60°.故直線l的傾斜角的取值范圍是.選D. 法二 設(shè)過點(diǎn)P的直線方程為y=k(x+)-1,則由直線和圓有公共點(diǎn)知≤1. 解得0≤k≤.故直線l的傾斜角的取值范圍是.【答案】 D 知識梳理: 知識點(diǎn)1 直線與圓的位置關(guān)系與判斷方法 方法 過程
6、
依據(jù)
結(jié)論
代數(shù)法
聯(lián)立方程組消去x(或y)得一元二次方程,計(jì)算Δ=b2-4ac
Δ>0
相交
Δ=0
相切
Δ<0
相離
幾何法
計(jì)算圓心到直線的距離d,比較d與半徑r的關(guān)系.相交時(shí)弦長為2
d
7、一組實(shí)數(shù)解 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 兩組不同的實(shí)數(shù)解 內(nèi)切 d=|r1-r2|(r1≠r2) 一組實(shí)數(shù)解 內(nèi)含 0≤d<|r1-r2|(r1≠r2) 無解 1.必會(huì)結(jié)論;(1)兩圓公切線的條數(shù) 位置關(guān)系 內(nèi)含 內(nèi)切 相交 外切 外離 公切線條數(shù) 0 1 2 3 4 (2)圓的切線方程常用結(jié)論 ①過圓x2+y2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線方程為x0x+y0y=r2. ②過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. ③過圓x2+y2=r
8、2外一點(diǎn)M(x0,y0)作圓的兩條切線,則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x+y0y=r2. (3)兩圓相交時(shí)公共弦的方程 圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0與圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交時(shí),公共弦所在的直線方程為(D2-D1)x+(E2-E1)y+(F2-F1)=0. 2.必清誤區(qū) 過圓上一點(diǎn)作圓的切線有且只有一條;過圓外一點(diǎn)作圓的切線有且只有兩條,若僅求得一條,除了考慮運(yùn)算過程是否正確外,還要考慮斜率不存在的情況,以防漏解. 考點(diǎn)分項(xiàng)突破 考點(diǎn)一:直線與圓的位置 1.(xx·浙江高考)已知圓x2+y2+2x-2y+a=0截直線x+y+2=0所得弦的長度為
9、4,則實(shí)數(shù)a的值是( ) A.-2 B.-4 C.-6 D.-8 【解析】 由圓的方程x2+y2+2x-2y+a=0可得,圓心為(-1,1),半徑r=.圓心到直線x+y+=0的距離為d==.由r2=d2+2得2-a=2+4,所以a=-4.【答案】 B 2.(xx·山東高考)一條光線從點(diǎn)(-2,-3)射出,經(jīng)y軸反射后與圓(x+3)2+(y-2)2=1相切,則反射光線所在直線的斜率為( ) A.-或- B.-或- C.-或- D.-或- 【解析】 由已知,得點(diǎn)(-2,-3)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為(2,-3),由入射光線與反射光線的對稱性,知反射光線一定過
10、點(diǎn)(2,-3).設(shè)反射光線所在直線的斜率為k,則反射光線所在直線的方程為y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.由反射光線與圓相切,則有d==1,解得k=-或k=-,故選D.【答案】 D 3.(xx·湖南高考)若直線3x-4y+5=0與圓x2+y2=r2(r>0)相交于A,B兩點(diǎn),且∠AOB=120°(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則r=__________. 【解析】 如圖,過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D,則|OD|==1.∵∠AOB=120°,OA=OB, ∴∠OBD=30°,∴|OB|=2|OD|=2,即r=2. 【答案】 2 歸納;1.圓的切線方程的求法 (1)代數(shù)法:設(shè)切線方
11、程為y-y0=k(x-x0),與圓的方程組成方程組,消元后得到一個(gè)一元二次方程,然后令判別式Δ=0進(jìn)而求得k. (2)幾何法:設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d,然后令d=r,進(jìn)而求出k. 提醒:若點(diǎn)M(x0,y0)在圓x2+y2=r2上,則過M點(diǎn)的圓的切線方程為x0x+y0y=r2. 2.弦長的求法 (1)代數(shù)方法:將直線和圓的方程聯(lián)立方程組,消元后得到一個(gè)一元二次方程.在判別式Δ>0的前提下,利用根與系數(shù)的關(guān)系,根據(jù)弦長公式求弦長. (2)幾何方法:若弦心距為d,圓的半徑長為r,則弦長l=2. 考點(diǎn)二: 圓與圓的位置關(guān)系 (1
12、)與圓x2+y2+4x-4y+7=0和x2+y2-4x-10y+13=0都相切的直線共有( ) A.1條 B.2條 C.3條 D.4條 (2)圓O1的方程為:x2+(y+1)2=4,圓O2的圓心坐標(biāo)為(2,1). ①若圓O1與圓O2外切,求圓O2的方程; ②若圓O1與圓O2相交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=2,求圓O2的方程. 【解析】 (1)方程x2+y2+4x-4y+7=0可化為(x+2)2+(y-2)2=1,此圓圓心為(-2,2),半徑r1=1,方程x2+y2-4x-10y+13=0可化為(x-2)2+(y-5)2=16,此圓圓心為(2,5),半徑r2=4.兩
13、圓圓心距d==5=r1+r2,則兩圓外切,與兩圓都相切的直線共有3條,故選C.【答案】 C (2)①圓O1的圓心坐標(biāo)為(0,-1),半徑r1=2,圓O2的圓心坐標(biāo)為(2,1),圓心距為|O1O2|==2,由兩圓外切知,所求圓的半徑為r2=2-2,圓O2的方程為(x-2)2+(y-1)2=12-8. ②由題意知,圓心O1到AB的距離為=,當(dāng)圓心O2到AB的距離為2-=時(shí),圓O2的半徑r2==2,此時(shí)圓O2的方程為(x-2)2+(y-1)2=4.當(dāng)圓心O2到AB的距離為2+=3時(shí).圓O2的半徑r′2==2,此時(shí)圓O2的方程為(x-2)2+(y-1)2=20. 綜上知,圓O2的方程為(x-2)
14、2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20. 跟蹤訓(xùn)練:1.已知圓C1:x2+y2+4ax+4a2-4=0和圓C2:x2+y2-2by+b2-1=0只有一條公切線,若a,b∈R且ab≠0,則+的最小值為( ) A.2 B.4 C.8 D.9 【解析】 圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2a)2+y2=4,其圓心為(-2a,0),半徑為2;圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-b)2=1,其圓心為(0,b),半徑為1.因?yàn)閳AC1和圓C2只有一條公切線,所以圓C1與圓C2相內(nèi)切,所以=2-1,得4a2+b2=1,所以+=(4a2+b2)=5++≥5+2=9,當(dāng)且僅當(dāng)=,且4a2+b
15、2=1,即a2=,b2=時(shí)等號成立,故選D.【答案】 D 2.若⊙O:x2+y2=5與⊙O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A、B兩點(diǎn),且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直,則線段AB的長度是________. 【解析】 由題意⊙O1與⊙O在A處的切線互相垂直, 則兩切線分別過另一圓的圓心, 所以O(shè)1A⊥OA.又∵|OA|=,|O1A|=2,∴|OO1|=5,又A、B關(guān)于OO1對稱,所以AB為Rt△OAO1斜邊上高的2倍,∴|AB|=2×=4. 【答案】 4 歸納:兩圓位置關(guān)系的判斷及兩圓相交的有關(guān)結(jié)論 1.圓與圓的位置關(guān)系取決于圓心距與兩個(gè)半徑的和與差的大小關(guān)系. 2.
16、若兩圓相交,則兩圓的公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2,y2項(xiàng)得到. 3.若兩圓相交,則兩圓的連心線垂直平分公共弦. 考點(diǎn)三: 直線與圓的綜合問題 1.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(0,3),直線l:y=2x-4.設(shè)圓C的半徑為1,圓心在l上. (1)若圓心C也在直線y=x-1上,過點(diǎn)A作圓C的切線,求切線的方程; (2)若圓C上存在點(diǎn)M,使MA=2MO,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍. 【解】 (1)由題意知,圓心C是直線y=2x-4和y=x-1的交點(diǎn),解得點(diǎn)C(3,2),于是切線的斜率必存在.設(shè)過A(0,3)的圓C的切線方程為y=kx+3,由題意得,=
17、1,解得k=0或-,故所求切線方程為y=3或3x+4y-12=0. (2)因?yàn)閳A心在直線y=2x-4上,所以圓C的方程為(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1.設(shè)點(diǎn)M(x,y),因?yàn)镸A=2MO,所以=2,化簡得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,所以點(diǎn)M在以D(0,-1)為圓心,2為半徑的圓上.由題意,點(diǎn)M(x,y)在圓C上,所以圓C與圓D有公共點(diǎn),則2-1≤CD≤2+1, 即1≤≤3.由5a2-12a+8≥0,得a∈R.由5a2-12a≤0,得0≤a≤.所以圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為. 跟蹤訓(xùn)練:1.已知點(diǎn)A(-3,0),B(3,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=2|PB
18、|. (1)若點(diǎn)P的軌跡為曲線C,求此曲線的方程; (2)若點(diǎn)Q在直線l1:x+y+3=0上,直線l2經(jīng)過點(diǎn)Q且與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)M,求|QM|的最小值. 【解】 (1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則=2.化簡可得(x-5)2+y2=16,則此曲線的方程為(x-5)2+y2=16. (2)曲線C是以點(diǎn)(5,0)為圓心,4為半徑的圓,如圖所示. 由直線l2是此圓的切線,連接CQ,則|QM|==,當(dāng)CQ⊥l1時(shí),|CQ|取最小值,此時(shí)|CQ|==4,則|QM|的最小值為=4. 歸納:1.解決直線與圓綜合問題的常用結(jié)論 (1)圓與直線l相切的情形:圓心到l的距離等于半徑,圓心與切
19、點(diǎn)的連線垂直于l. (2)圓與直線l相交的情形:①圓心到l的距離小于半徑,過圓心而垂直于l的直線平分l被圓截得的弦; ②連接圓心與弦的中點(diǎn)的直線垂直于弦; ③過圓內(nèi)一點(diǎn)的所有弦中,最短的是垂直于過這點(diǎn)的直徑的那條弦,最長的是過這點(diǎn)的直徑. 2.解決直線與圓綜合問題的一般思路 分析題意,根據(jù)直線與圓位置關(guān)系列出相應(yīng)關(guān)系式,然后求解. 。 學(xué)生通過對高考真題的解決,發(fā)現(xiàn)自己對知識的掌握情況。 學(xué)生通過對高考真題的解決,感受高考題的
20、考察視角。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié),以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 引導(dǎo)學(xué)生通過對基礎(chǔ)知識的逐點(diǎn)掃描,來澄清概念,加強(qiáng)理解。從而為后面的練習(xí)奠定基礎(chǔ). 在解題中注意引導(dǎo)學(xué)生自主分
21、析和解決問題,教師及時(shí)點(diǎn)撥從而提高學(xué)生的解題能力和興趣。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié),以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 通過對考綱的解讀和分析。讓學(xué)生明確考試要求,做到有的放矢
22、 由常見問題的解決和總結(jié),使學(xué)生形成解題模塊,提高模式識別能力和解題效率。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié),以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)的知識進(jìn)行小結(jié),由利于學(xué)生對已有的知識結(jié)構(gòu)進(jìn)行編碼處理,加強(qiáng)理解記憶,提高解題技能。 環(huán)節(jié)三: 課堂小結(jié): 1.能根據(jù)給定直線、圓的方程,判斷直線與圓的位置關(guān)系;能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系. 2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題. 3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想 學(xué)生回顧,總結(jié). 引導(dǎo)學(xué)生對學(xué)習(xí)過程進(jìn)行反思,為在今后的學(xué)習(xí)中,進(jìn)行有效調(diào)控打下良好的基礎(chǔ)。 環(huán)節(jié)四: 課后作業(yè):學(xué)生版練與測 學(xué)生通過作業(yè)進(jìn)行課外反思,通過思考發(fā)散鞏固所學(xué)的知識。
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