（全國版）2019版高考數(shù)學一輪復(fù)習 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第1講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)學案

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1、 第1講　任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 板塊一　知識梳理·自主學習 [必備知識] 考點1　角的概念 1．分類 2．終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 考點2　弧度的定義和公式 1．定義：長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad. 2．公式：(1)弧度與角度的換算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度；(2)弧長公式：l＝|α|r；(3)扇形面積公式：S扇形＝lr和S扇形＝|α|r2. 說明：(2)(3)公式中的α必須為弧度制． 考點3　任意角的三角函數(shù) 1．定義：設(shè)α

2、是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，則sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝(x≠0)． 2．幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示. 正弦線的起點都在x軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都是(1,0)． 如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的正弦線、余弦線和正切線． [必會結(jié)論] 1．三角函數(shù)值的符號規(guī)律 三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 2．任意角的三角函數(shù)的定義(推廣) 設(shè)P(x，y)是角α終邊上異于頂點的任一點，其到原點O的距離為r，則sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)． [考點自測] 1．

3、判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)第一象限角必是銳角．(　　) (2)不相等的角終邊一定不相同．(　　) (3)終邊落在x軸非正半軸上的角可表示為α＝2kπ＋π(k∈Z). (　　) (4)1弧度是長度等于半徑長的弧所對的圓心角的大小，它是角的一種度量單位．(　　) (5)三角函數(shù)線的方向表示三角函數(shù)值的正負．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ 2．[課本改編]下列與的終邊相同的角的表達式中正確的是(　　) A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．k

4、π＋(k∈Z) 答案　C 解析　與的終邊相同的角可以寫成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有C正確． 3.[課本改編]若sinα＜0且tanα＞0，則α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案　C 解析　sinα＜0，則α為第三、四象限角或y軸負半軸上的角，tanα＞0，則α為第一、三象限角，故α為第三象限角．選C. 4．若角α終邊上有一點P(x,5)，且cosα＝(x≠0)，則sinα＝________. 答案　 解析　∵cosα＝＝，x＝±12，∴sinα＝. 5．[2018·石家莊模擬]已知角α的終

5、邊在直線y＝－x上，且cosα＜0，則tanα＝________. 答案　－1 解析　如圖，由題意知，角α的終邊在第二象限，在其上任取一點P(x，y)，則y＝－x，由三角函數(shù)的定義得tanα＝＝＝－1. 板塊二　典例探究·考向突破 考向　象限角及終邊相同的角 例　1　(1)設(shè)集合M＝，N＝，判斷兩集合的關(guān)系(　　) A．M＝N B．MN C．NM D．M∩N＝? 答案　B 解析　解法一：由于M＝x＝·180°＋45°，k∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}， N＝＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}

6、，顯然有MN. 解法二：在集合M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·(2k＋1)，2k＋1是奇數(shù)；在集合N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整數(shù)，因此必有MN.故選B. (2)設(shè)角α是第二象限的角，且＝－cos，則是第________象限角． 答案　三 解析　因為α是第二象限角，所以是第一或第三象限角．又因為＝－cos，所以cos<0.故是第三象限角． 觸類旁通 終邊相同角的集合的應(yīng)用 利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需

7、角． 【變式訓練1】　(1)[2018·濰坊模擬]集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是(　　) 答案　C 解析　當k＝2n(n∈Z)時，2nπ＋≤α≤2nπ＋， 此時α表示的范圍與≤α≤表示的范圍一樣；當k＝2n＋1(n∈Z)時，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此時α表示的范圍與≤α≤表示的范圍一樣． (2)[2018·綿陽質(zhì)檢]點A(sin2018°，cos2018°)在直角坐標平面上位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　C 解析　sin2018°＝sin218°＝－sin38°＜0，cos2018°＝cos218°＝－cos

8、38°＜0.選C項． 考向　三角函數(shù)的定義及其應(yīng)用 命題角度1　利用定義求三角函數(shù)值 例　2　已知角α的終邊經(jīng)過點P(－4a,3a)(a<0)，則2sinα＋cosα的值為(　　) A．－ B. C．0 D.或－ 答案　A 解析　因為x＝－4a，y＝3a，a＜0，所以r＝－5a， 所以sinα＝－，cosα＝，2sinα＋cosα＝2×＋＝－.故選A. 命題角度2　判斷三角函數(shù)值的符號 例　3　若sinαtanα＜0，且＜0，則角α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案　C 解析　角α在第三象限時，sinα＜

9、0，cosα＜0，tanα＞0，滿足題意．選C項． 命題角度3　利用三角函數(shù)的定義求參數(shù)的值 例　4　已知角α的終邊上一點P(－，m)(m≠0)，且sinα＝，求cosα，tanα的值． 解　由題設(shè)知x＝－，y＝m， ∴r2＝|OP|2＝(－)2＋m2(O為原點)，r＝. 從而sinα＝＝＝， ∴r＝＝2，于是3＋m2＝8，解得m＝±. 當m＝時，r＝2，x＝－，y＝， ∴cosα＝＝－，tanα＝－； 當m＝－時，r＝2，x＝－，y＝－， ∴cosα＝＝－，tanα＝. 觸類旁通 三角函數(shù)定義問題的常見類型及解題策略 (1)已知角α終邊上一點P的坐標，可求角α的三角

10、函數(shù)值：先求點P到原點的距離，再用三角函數(shù)的定義求解． (2)已知角α的某三角函數(shù)值，求角α終邊上一點P的坐標中的參數(shù)值，可根據(jù)定義中的兩個量列方程求參數(shù)值． (3)三角函數(shù)值的符號及角的終邊位置的判斷．已知一角的三角函數(shù)值(sinα，cosα，tanα)中任意兩個的符號，可分別確定出角終邊所在的可能位置，二者的交集即為該角終邊的位置．注意終邊在坐標軸上的特殊情況． 考向　扇形的弧長、面積公式的應(yīng)用 例　5　若扇形的周長為10，面積為4，則該扇形的圓心角為________． 答案　 解析　設(shè)圓心角是θ，半徑是r， 則?(舍)或 故扇形的圓心角為. 　若去掉本例條件“面積為4”

11、，則當它的半徑和圓心角取何值時，才使扇形面積最大？ 解　設(shè)圓心角是θ，半徑是r， 則2r＋rθ＝10. S＝θ·r2＝r(10－2r)＝r(5－r) ＝－2＋≤， 當且僅當r＝時，Smax＝，θ＝2. 所以當r＝，θ＝2時，扇形面積最大． 觸類旁通 弧長和扇形面積的計算方法 (1)在弧度制下，記住下列公式 ①弧長公式：l＝|α|r；②扇形的面積公式：S＝lr＝|α|r2(其中l(wèi)是扇形的弧長，α是扇形的圓心角，r是扇形的半徑)． (2)求扇形面積的關(guān)鍵是求得扇形的圓心角、半徑、弧長三個量中的任意兩個量． 【變式訓練2】　[2018·鹽城模擬]扇形AOB的周長為8 cm.

12、 (1)若這個扇形的面積為3 cm2，求圓心角的大?。? (2)求這個扇形的面積取得最大值時圓心角的大小和弦長AB. 解　設(shè)扇形AOB的半徑為r，弧長為l，圓心角為α， (1)由題意可得解得或 ∴α＝＝或α＝＝6. (2)∵2r＋l＝8， ∴S扇＝lr＝l·2r≤2＝×2＝4，當且僅當2r＝l，即α＝＝2時，扇形面積取得最大值， ∴r＝2，∴弦長AB＝2sin1×2＝4sin1. 核心規(guī)律 1.在利用三角函數(shù)定義時，點P可取終邊上任一點，如有可能則取終邊與單位圓的交點．|OP|＝r一定是正值． 2.三角函數(shù)符號是重點，也是難點，在理解的基礎(chǔ)上可借助口訣：一全正，二正弦，三

13、正切，四余弦． 3.在解簡單的三角不等式時，利用單位圓及三角函數(shù)線是一個小技巧． 滿分策略 1.注意易混概念的區(qū)別：象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角．第一類是象限角，第二、第三類是區(qū)間角． 2.角度制與弧度制可利用180°＝π rad進行互化，在同一個式子中，采用的度量制必須一致，不可混用． 3.已知三角函數(shù)值的符號確定角的終邊位置不要遺漏終邊在坐標軸上的情況. 板塊三　啟智培優(yōu)·破譯高考 易錯警示系列4——三角函數(shù)定義中忽略分類討論致誤 [2018·福州檢測]若角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，求sinα，cosα和tanα的值． 錯因分析　由終邊上一點求三角

14、函數(shù)時，沒有考慮參數(shù)的取值情況，沒有分類討論，而直接求出r＝5a，導(dǎo)致錯誤． 解　設(shè)α終邊上任一點為P(－4a,3a)， 當a>0時，r＝5a，sinα＝，cosα＝－，tanα＝－； 當a<0時，r＝－5a，sinα＝－，cosα＝，tanα＝－. 答題啟示　對于利用三角函數(shù)定義解題的題目中，如果含有參數(shù)，一定要考慮運用分類討論.在分類討論時要注意統(tǒng)一分類標準，明確分類的對象，逐類討論，最后歸納總結(jié). 跟蹤訓練 已知角θ終邊上一點P(x,3)(x≠0)且cosθ＝x，求sinθ，tanθ的值． 解　∵r＝，cosθ＝， ∴x＝. 又∵x≠0，∴x＝±1. 又∵y＝3＞0，

15、∴θ是第一或第二象限角． 當θ為第一象限角時，sinθ＝，tanθ＝3； 當θ為第二象限角時，sinθ＝，tanθ＝－3. 板塊四　模擬演練·提能增分 [A級　基礎(chǔ)達標] 1．已知點P(tanα，cosα)在第三象限，則角α的終邊在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　B 解析　因為點P在第三象限，所以所以角α的終邊在第二象限． 2．已知角α的終邊與單位圓的交點P，則tanα＝(　　) A. B．± C. D．± 答案　B 解析　∵P在單位圓上，∴x＝±. ∴tanα＝±. 3．[2018·成都模擬]已

16、知角α＝2kπ－(k∈Z)，則＋的值是(　　) A．0 B．2 C．－2 D．不存在 答案　A 解析　因為α＝2kπ－(k∈Z)是第二象限角， 所以sinα＞0，tanα＜0，所以＋＝1－1＝0. 4．設(shè)α是第二象限角，P(x,4)為其終邊上的一點，且cosα＝x，則tanα＝(　　) A. B. C．－ D．－ 答案　D 解析　∵α是第二象限角，∴x＜0.又由題意知＝x，解得x＝－3.∴tanα＝＝－. 5．[2018·衡中模擬]若θ是第二象限角，則下列選項中能確定為正值的是(　　) A．sin B．cos C．tan D．cos2θ

17、 答案　C 解析　由θ是第二象限角可得為第一或第三象限角，所以tan＞0.故選C. 6．已知扇形的周長是6，面積是2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是(　　) A．1 B．4 C．1或4 D．2或4 答案　C 解析　設(shè)此扇形的半徑為r，弧長為l， 則解得或 從而α＝＝＝4或α＝＝＝1. 7．[2018·汕頭模擬]sin2·cos3·tan4的值(　　) A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在 答案　A 解析　∵＜2＜3＜π＜4＜，∴sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0.∴sin2·cos3·tan4＜0.∴選A. 8．已知角θ的頂點為坐

18、標原點，始邊為x軸的非負半軸，若P(4，y)是角θ終邊上一點，且sinθ＝－，則y＝________. 答案?。? 解析　因為sinθ＝＝－， 所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8. 9．點P從(－1,0)出發(fā)，沿單位圓順時針方向運動弧長到達點Q，則點Q的坐標為________． 答案　 解析　設(shè)點A(－1,0)，點P從(－1,0)出發(fā)，沿單位圓順時針方向運動弧長到達點Q，則∠AOQ＝－2π＝(O為坐標原點)，所以∠xOQ＝，cos＝，sin＝，所以點Q的坐標為. 10．[2018·三明模擬]若420°角的終邊所在直線上有一點(－4，a)，則a的值為________． 答案　

19、－4 解析　由三角函數(shù)的定義有：tan420°＝.又tan420°＝tan(360°＋60°)＝tan60°＝，故＝，得a＝－4. [B級　知能提升] 1．[2018·濟南模擬]已知sinθ－cosθ>1，則角θ的終邊在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　B 解析　由已知得(sinθ－cosθ)2>1，即1－2sinθcosθ>1，sinθcosθ＜0，又sinθ>cosθ，所以sinθ>0>cosθ，所以角θ的終邊在第二象限． 2．已知弧度數(shù)為2的圓心角所對的弦長為2，則這個圓心角所對的弧長是(　　) A．2 B．2sin1

20、 C. D．sin2 答案　C 解析　∵2Rsin1＝2，∴R＝，l＝|α|R＝.故選C. 3.[2018·廈門模擬]如圖所示，角的終邊與單位圓(圓心在原點，半徑為1的圓)交于第二象限的點A，則cosα－sinα＝________. 答案　－ 解析　由題意得cos2α＋2＝1，cos2α＝.又cosα<0，所以cosα＝－，又sinα＝，所以cosα－sinα＝－. 4．已知角α的終邊過點P(－3cosθ，4cosθ)，其中θ∈，求α的三角函數(shù)值． 解　∵θ∈，∴－1＜cosθ＜0. ∴r＝＝－5cosθ， 故sinα＝－，cosα＝，tanα＝－. 5．已知扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長為l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧長l； (2)若扇形的周長為20 cm，當扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？ 解　(1)α＝60°＝，l＝10×＝(cm)． (2)由已知得：l＋2R＝20， 所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以R＝5時，S取得最大值25，此時l＝10 cm，α＝2 rad. 11