(浙江專(zhuān)版)2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 第4節(jié) 數(shù)列求和學(xué)案 理

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1、 第4節(jié) 數(shù)列求和 最新考綱 1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式;2.了解非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求和的幾種常見(jiàn)方法. 知 識(shí) 梳 理 求數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法 (1)公式法 ①等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 Sn==na1+d. ②等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 (ⅰ)當(dāng)q=1時(shí),Sn=na1; (ⅱ)當(dāng)q≠1時(shí),Sn==. (2)分組轉(zhuǎn)化法 把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng),使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列,再求解. (3)裂項(xiàng)相消法 把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和,正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng). (4)倒序相加法 把數(shù)列分別正著寫(xiě)和倒著寫(xiě)再相加,即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣.

2、 (5)錯(cuò)位相減法 主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和,即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣. (6)并項(xiàng)求和法 一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中,可兩兩結(jié)合求解,則稱(chēng)之為并項(xiàng)求和.形如an=(-1)nf(n)類(lèi)型,可采用兩項(xiàng)合并求解. 例如,Sn=1002-992+982-972+…+22-12=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050. [常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒] 1.一些常見(jiàn)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 (1)1+2+3+4+…+n=; (2)1+3+5+7+…+(2n-1)=n2; (3)2+4+6+…+2n=n2+n. 2.常見(jiàn)的裂項(xiàng)公式 (

3、1)=-. (2)=. (3)=-. 診 斷 自 測(cè) 1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且公比不等于1,則其前n項(xiàng)和Sn=.(  ) (2)當(dāng)n≥2時(shí),=(-).(  ) (3)求Sn=a+2a2+3a3+…+nan時(shí)只要把上式等號(hào)兩邊同時(shí)乘以a即可根據(jù)錯(cuò)位相減法求得.(  ) (4)若數(shù)列a1,a2-a1,…,an-an-1是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=.(  ) 解析 (3)要分a=0或a=1或a≠0且a≠1討論求解. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2.(必修5P38A改編)等

4、差數(shù)列{an}中,已知公差d=,且a1+a3+…+a99=50,則a2+a4+…+a100=(  ) A.50 B.75 C.100 D.125 解析 a2+a4+…+a100=(a1+d)+(a3+d)+…+(a99+d)=(a1+a3+…+a99)+50d=50+50×=75. 答案 B 3.若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+2n-1,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為(  ) A.2n+n2-1 B.2n+1+n2-1 C.2n+1+n2-2 D.2n+n-2 解析 Sn=+=2n+1-2+n2. 答案 C 4.(必修5P38T8改編)一個(gè)球從100

5、m高處自由落下,每次著地后又跳回到原高度的一半再落下,當(dāng)它第10次著地時(shí),經(jīng)過(guò)的路程是(  ) A.100+200(1-2-9) B.100+100(1-2-9) C.200(1-2-9) D.100(1-2-9) 解析 第10次著地時(shí),經(jīng)過(guò)的路程為100+2(50+25+…+100×2-9)=100+2×100×(2-1+2-2+…+2-9)=100+200×=100+200(1-2-9). 答案 A 5.(必修5P61A4(3)改編)1+2x+3x2+…+nxn-1=________(x≠0且x≠1). 解析 設(shè)Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1,① 則xSn=x

6、+2x2+3x3+…+nxn,② ①-②得:(1-x)Sn=1+x+x2+…+xn-1-nxn =-nxn, ∴Sn=-. 答案?。? 6.(2018·麗水測(cè)試)“斐波那契數(shù)列”是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名數(shù)列,在斐波那契數(shù)列{an}中,a1=1,a2=1,an+2=an+1+an(n∈N*)則a7=________;若a2 018=m,則數(shù)列{an}的前2 016項(xiàng)和是________(用m表示). 解析 ①∵a1=1,a2=1,an+2=an+1+an(n∈N*),∴a3=1+1=2,同理可得:a4=3,a5=5,a6=8,則a7=13. ②∵a1=1,a2=1,an+an+1=an+2

7、(n∈N*), ∴a1+a2=a3, a2+a3=a4, a3+a4=a5, …, a2 015+a2 016=a2 017 a2 016+a2 017=a2 018. 以上累加得, a1+2a2+2a3+2a4+…+2a2 016+a2 017=a3+a4+…+a2 018, ∴a1+a2+a3+a4+…+a2 016=a2 018-a2=m-1. 答案 13 m-1 考點(diǎn)一 分組轉(zhuǎn)化法求和 【例1】 (2016·天津卷)已知{an}是等比數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),且-=,S6=63. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)若對(duì)任意的n∈N*,bn是lo

8、g2an和log2an+1的等差中項(xiàng),求數(shù)列{(-1)nb}的前2n項(xiàng)和. 解 (1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q. 由已知,有-=, 解得q=2或q=-1. 又由S6=a1·=63,知q≠-1, 所以a1·=63,得a1=1.所以an=2n-1. (2)由題意,得bn=(log2an+log2an+1)=(log22n-1+log22n)=n-, 即{bn}是首項(xiàng)為,公差為1的等差數(shù)列. 設(shè)數(shù)列{(-1)nb}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,則 T2n=(-b+b)+(-b+b)+…+(-b+b) =b1+b2+b3+b4+…+b2n-1+b2n==2n2. 規(guī)律方法 (1)若數(shù)列{cn

9、}的通項(xiàng)公式為cn=an±bn,且{an},{bn}為等差或等比數(shù)列,可采用分組求和法求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和. (2)若數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為cn=其中數(shù)列{an},{bn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列,可采用分組求和法求{an}的前n項(xiàng)和. 【訓(xùn)練1】 (1)數(shù)列1,3,5,7,…,(2n-1)+,…的前n項(xiàng)和Sn的值等于(  ) A.n2+1- B.2n2-n+1- C.n2+1- D.n2-n+1- (2)(2017·杭州七校聯(lián)考)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=ncos,其前n項(xiàng)和為Sn,則S2 016等于(  ) A.1 008 B.2 016 C.504

10、D.0 解析 (1)該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=(2n-1)+, 則Sn=[1+3+5+…+(2n-1)]+=n2+1-. (2)a1=cos =0,a2=2 cos π=-2,a3=0,a4=4,…. 所以數(shù)列{an}的所有奇數(shù)項(xiàng)為0,前2 016項(xiàng)的所有偶數(shù)項(xiàng)(共1 008項(xiàng))依次為-2,4,-6,8,…,-2 014,2 016. 故S2 016=0+(-2+4)+(-6+8)+…+(-2 014+2 016)=1 008. 答案 (1)A (2)A 考點(diǎn)二 裂項(xiàng)相消法求和 【例2】 Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知an>0,a+2an=4Sn+3. (1)求{an}的通

11、項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和. 解 (1)由a+2an=4Sn+3, 可知a+2an+1=4Sn+1+3. 可得a-a+2(an+1-an)=4an+1, 即2(an+1+an)=a-a=(an+1+an)(an+1-an). 由于an>0,可得an+1-an=2. 又a+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去)或a1=3. 所以{an}是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列,通項(xiàng)公式為an=2n+1. (2)由an=2n+1可知 bn===. 設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,則 Tn=b1+b2+…+bn = =. 規(guī)律方法 (1)利用裂項(xiàng)相消法

12、求和時(shí),應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng),也有可能前面剩兩項(xiàng),后面也剩兩項(xiàng). (2)將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后,有時(shí)候需要調(diào)整前面的系數(shù),使裂開(kāi)的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)公式相等. 【訓(xùn)練2】 (2017·全國(guó)Ⅲ卷)設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 解 (1)因?yàn)閍1+3a2+…+(2n-1)an=2n,① 故當(dāng)n≥2時(shí),a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1),② ①-②得(2n-1)an=2,所以an=, 又n=1時(shí),a1=2適合上式, 從而{an}的通項(xiàng)公式為an=. (

13、2)記的前n項(xiàng)和為Sn, 由(1)知==-, 則Sn=1-+-+…+- =1-=. 考點(diǎn)三 錯(cuò)位相減法求和 【例3】 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n2+8n,{bn}是等差數(shù)列,且an=bn+bn+1. (1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式; (2)令cn=.求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn. 解 (1)由題意知,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=6n+5. 當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=11,符合上式. 所以an=6n+5. 設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d, 由即 可解得b1=4,d=3.所以bn=3n+1. (2)由(1)知,cn==3(n+1)·2n+1.. 又Tn=c1+

14、c2+…+cn. 得Tn=3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1]. 2Tn=3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2]. 兩式作差,得 -Tn=3×[2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)×2n+2] =3×=-3n·2n+2. 所以Tn=3n·2n+2. 規(guī)律方法 (1)一般地,如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí),可采用錯(cuò)位相減法求和. (2)在寫(xiě)出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“Sn-qSn”的表達(dá)式. 【訓(xùn)練3】 (2017·山東卷)已知{an}是

15、各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且a1+a2=6,a1a2=a3. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2){bn}為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,已知S2n+1=bnbn+1,求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn. 解 (1)設(shè){an}的公比為q, 由題意知a1(1+q)=6,aq=a1q2, 又an>0,由以上兩式聯(lián)立方程組解得a1=2,q=2, 所以an=2n. (2)由題意知S2n+1==(2n+1)bn+1, 又S2n+1=bnbn+1,bn+1≠0, 所以bn=2n+1. 令cn=,則cn=, 因此Tn=c1+c2+…+cn =+++…++, 又Tn=+++…++, 兩

16、式相減得Tn=+-, 所以Tn=5-. 基礎(chǔ)鞏固題組 一、選擇題 1.(2017·杭州調(diào)研)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知Sn= 1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,則S17=(  ) A.9 B.8 C.17 D.16 解析 S17=1-2+3-4+5-6+…+15-16+17=1+(-2+3)+(-4+5)+ (-6+7)+…+(-14+15)+(-16+17)=1+1+1+…+1=9. 答案 A 2.?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(-1)n-1·(4n-3),則它的前100項(xiàng)之和S100等于(  ) A.200 B.-200 C.40

17、0 D.-400 解析 S100=(4×1-3)-(4×2-3)+(4×3-3)-…-(4×100-3)=4×[(1-2)+(3-4)+…+(99-100)]=4×(-50)=-200. 答案 B 3.(2018·湖州調(diào)研)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1-an=2,a1= -5,則|a1|+|a2|+…+|a6|=(  ) A.9 B.15 C.18 D.30 解析 ∵an+1-an=2,a1=-5,∴數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列. ∴an=-5+2(n-1)=2n-7. 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn==n2-6n. 令an=2n-7≥0,解得n≥. ∴n≤

18、3時(shí),|an|=-an;n≥4時(shí),|an|=an. 則|a1|+|a2|+…+|a6|=-a1-a2-a3+a4+a5+a6= S6-2S3=62-6×6-2(32-6×3)=18. 答案 C 4.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1,a2=3,an+1an-1=an(n≥2),則數(shù)列{an}的前40項(xiàng)和S40等于(  ) A.20 B.40 C.60 D.80 解析 由an+1=(n≥2),a1=1,a2=3,可得a3=3,a4=1,a5=,a6=,a7=1,a8=3,…,這是一個(gè)周期為6的數(shù)列,一個(gè)周期內(nèi)的6項(xiàng)之和為,又40=6×6+4,所以S40=6×+1+3+3+1=6

19、0. 答案 C 5.(2018·麗水測(cè)試)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1,an+1·an=2n(n∈N*),則S2 018=(  ) A.22 018-1 B.3·21 009-3 C.3·21 009-1 D.3·21 009-2 解析 a1=1,a2==2,又==2,∴=2.∴a1,a3,a5,…成等比數(shù)列;a2,a4,a6,…成等比數(shù)列, ∴S2 018=a1+a2+a3+a4+a5+a6+…+a2 017+a2 018 =(a1+a3+a5+…+a2 017)+(a2+a4+a6+…+a2 018) =+=3·21 009-3. 答案 B 6.+++…+的

20、值為(  ) A. B.- C.- D.-+ 解析 ∵== =, ∴+++…+ = ==-. 答案 C 二、填空題 7.(2017·嘉興一中檢測(cè))有窮數(shù)列1,1+2,1+2+4,…,1+2+4+…+2n-1所有項(xiàng)的和為_(kāi)_______. 解析 由題意知所求數(shù)列的通項(xiàng)為=2n-1,故由分組求和法及等比數(shù)列的求和公式可得和為-n=2n+1-2-n. 答案 2n+1-2-n 8.?dāng)?shù)列{an}滿(mǎn)足an+an+1=(n∈N*),且a1=1,Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則S21=________. 解析 由an+an+1==an+1+an+2,∴an+2=an,

21、則a1=a3=a5=…=a21,a2=a4=a6=…=a20, ∴S21=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a20+a21) =1+10×=6. 答案 6 9.(2017·全國(guó)Ⅱ卷)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a3=3,S4=10,則=________. 解析 設(shè)等差數(shù)列{an}首項(xiàng)為a1,公差為d,則 由得∴Sn=, ==2, ∴=+++…+ =2 =2=. 答案  10.(2018·金華模擬)在數(shù)列{an}中,a1=1,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n(n∈N*),則an=______,S100=______. 解析 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),an+

22、2-an=0;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),an+2-an=2,∴{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式為an= ∴S100=S奇+S偶=50×1+=2 600. 答案  2 600 三、解答題 11.(2016·北京卷)已知{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)cn=an+bn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和. 解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q, 由得 ∴bn=b1qn-1=3n-1, 又a1=b1=1,a14=b4=34-1=27, ∴1+(14-1)d=27,解得d=2. ∴an

23、=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1(n=1,2,3,…). (2)由(1)知an=2n-1,bn=3n-1,因此cn=an+bn=2n-1+3n-1. 從而數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和 Sn=1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3n-1 =+=n2+. 12.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn,且Sn+an=1(n∈N*). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=log(1-Sn+1)(n∈N*),令Tn=++…+,求Tn. 解 (1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1, 由S1+a1=1,得a1=, 當(dāng)n≥2時(shí),Sn=1-an,Sn-1=1-an-1, 則Sn-

24、Sn-1=(an-1-an),即an=(an-1-an), 所以an=an-1(n≥2). 故數(shù)列{an}是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列. 故an=·=2·(n∈N*). (2)因?yàn)?-Sn=an=. 所以bn=log(1-Sn+1)=log=n+1, 因?yàn)椋剑剑? 所以Tn=++…+ =++…+=-=. 能力提升題組 13.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(n∈N*),其前n項(xiàng)和為Sn,則在數(shù)列S1,S2,…,S2 016中,有理數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為(  ) A.42 B.43 C.44 D.45 解析 an= = =-. 所以Sn=1-+++…+=1-,

25、 因此S3,S8,S15…為有理項(xiàng),又下標(biāo)3,8,15,…的通項(xiàng)公式為n2-1(n≥2), 所以n2-1≤2 016,且n≥2, 所以2≤n≤44,所以有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為43. 答案 B 14.在數(shù)列{an}中,an+1+(-1)nan=2n-1,則數(shù)列{an}的前12項(xiàng)和等于(  ) A.76 B.78 C.80 D.82 解析 因?yàn)閍n+1+(-1)nan=2n-1,所以a2-a1=1, a3+a2=3,a4-a3=5,a5+a4=7,a6-a5=9,a7+a6=11,…,a11+a10=19,a12-a11=21,所以a1+a3=2,a4+a2=8,…,a12+a1

26、0=40, 所以從第一項(xiàng)開(kāi)始,依次取兩個(gè)相鄰奇數(shù)項(xiàng)的和都等于2,從第二項(xiàng)開(kāi)始,依次取兩個(gè)相鄰偶數(shù)項(xiàng)的和構(gòu)成以8為首項(xiàng),以16為公差的等差數(shù)列,以上式相加可得,S12=a1+a2+a3+…+a12=(a1+a3)+(a5+a7)+(a9+a11)+(a2+a4)+(a6+a8)+(a10+a12)=3×2+8+24+40=78. 答案 B 15.(2017·臺(tái)州調(diào)研)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足:a1=2,an+1=,則a1a2a3…a15=________;設(shè)bn=(-1)nan,數(shù)列{bn}前n項(xiàng)的和為Sn,則S2 016=________. 解析 ∵a1=2,an+1=,∴a2==-3,a

27、3==-,a4==,a5==2. ∴a4n+1=2,a4n+2=-3,a4n+3=-,a4n=. ∴a4n+1·a4n+2·a4n+3·a4n=2×(-3)××=1. ∴a1a2a3…a15=a13a14a15=a1a2a3=2×(-3)×=3. ∵bn=(-1)nan, ∴b4n+1=-2,b4n+2=-3,b4n+3=,b4n=. ∴b4n+1+b4n+2+b4n+3+b4n=-2-3++=-. ∴S2 016=-×=-2 100. 答案 3?。? 100 16.(2016·浙江卷)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*. (1)求

28、通項(xiàng)公式an; (2)求數(shù)列{|an-n-2|}的前n項(xiàng)和. 解 (1)由題意得 則又當(dāng)n≥2時(shí), 由an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an,得an+1=3an. 所以,數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n-1,n∈N*. (2)設(shè)bn=|3n-1-n-2|,n∈N*,b1=2,b2=1, 當(dāng)n≥3時(shí),由于3n-1>n+2, 故bn=3n-1-n-2,n≥3. 設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n, 則T1=2,T2=3, 當(dāng)n≥3時(shí),Tn=3+-=, 所以Tn= 17.(2017·山東卷)已知{xn}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且x1+x2=3,x3-x2

29、=2. (1)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式; (2)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,依次連接點(diǎn)P1(x1,1),P2(x2,2),…,Pn+1(xn+1,n+1)得到折線P1P2…Pn+1,求由該折線與直線y=0,x=x1,x=xn+1所圍成的區(qū)域的面積Tn. 解 (1)設(shè)數(shù)列{xn}的公比為q, 由題意得 所以3q2-5q-2=0, 由已知q>0, 所以q=2,x1=1. 因此數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式為xn=2n-1. (2)過(guò)P1,P2,…,Pn+1向x軸作垂線,垂足分別為Q1,Q2,…,Qn+1. 由(1)得xn+1-xn=2n-2n-1=2n-1, 記梯形PnPn+1Qn+1Qn的面積為bn, 由題意bn=×2n-1=(2n+1)×2n-2, 所以Tn=b1+b2+…+bn =3×2-1+5×20+7×21+…+(2n-1)×2n-3+(2n+1)×2n-2.① 又2Tn=3×20+5×21+7×22+…+(2n-1)×2n-2+(2n+1)×2n-1.② ①-②得 -Tn=3×2-1+(2+22+…+2n-1)-(2n+1)×2n-1 =+-(2n+1)×2n-1. 所以Tn=. 15

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