2、} B．{2，3}
C．{－1，2，3} D．{1，2，3，4}
解析：選D．因?yàn)锳∩C＝{－1，1，2，3，5}∩{x∈R|1≤x<3}＝{1，2}，所以(A∩C)∪B＝{1，2}∪{2，3，4}＝{1，2，3，4}．故選D．
3．(2019·鄭州市第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知全集U＝R，A＝{x|y＝ln(1－x2)}，B＝{y|y＝4x－2}，則A∩(?UB)＝( )
A．(－1，0) B．[0，1)
C．(0，1) D．(－1，0]
解析：選D．A＝{x|1－x2>0}＝(－1，1)，B＝{y|y>0}，所以?UB＝{y|y≤0}，所以A∩(?UB)＝(－1，0]，故選D
3、．
4．(一題多解)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個(gè)數(shù)為( )
A．9 B．8
C．5 D．4
解析：選A．法一：由x2＋y2≤3知，－≤x≤，－≤y≤，又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，所以A中元素的個(gè)數(shù)為CC＝9，故選A．
法二：根據(jù)集合A的元素特征及圓的方程在坐標(biāo)系中作出圖形，如圖，易知在圓x2＋y2＝3中有9個(gè)整點(diǎn)，即為集合A的元素個(gè)數(shù)，故選A．
5．已知集合M＝{x|y＝lg(2－x)}，N＝{y|y＝＋}，則( )
A．M?N B．N?M
C．M＝N D．N∈M
解析：選B．
4、因?yàn)榧螹＝{x|y＝lg(2－x)}＝(－∞，2)，N＝{y|y＝＋}＝{0}，所以N?M.故選B
6．(一題多解)(2019·安徽省考試試題)已知集合A＝{x|x－a≤0}，B＝{1，2，3}，若A∩B≠?，則a的取值范圍為( )
A．(－∞，1] B．[1，＋∞)
C．(－∞，3] D．[3，＋∞)
解析：選B．法一：集合A＝{x|x≤a}，集合B＝{1，2，3}，若A∩B≠?，則1，2，3這三個(gè)元素至少有一個(gè)在集合A中，若2或3在集合A中，則1一定在集合A中，因此只要保證1∈A即可，所以a≥1，故選B．
法二：集合A＝{x|x≤a}，B＝{1，2，3}，a的值大于3時(shí)，
5、滿足A∩B≠?，因此排除A，C．當(dāng)a＝1時(shí)，滿足A∩B≠?，排除D．故選B．
集合問題的求解策略
(1)連續(xù)數(shù)集借助數(shù)軸，不連續(xù)數(shù)集借助Venn圖．
(2)圖形或圖象問題用數(shù)形結(jié)合法．
(3)新定義問題要緊扣定義進(jìn)行邏輯推理或運(yùn)算．
[提醒] 解決集合問題要注意以下幾點(diǎn)．
(1)集合元素的互異性．
(2)不能忽略空集．
(3)注意端點(diǎn)的取值，如題3中，A∩(?UB)中含有元素0.
(4)理解代表元素的意義，如題4為點(diǎn)集，其他各題均為數(shù)集．
復(fù) 數(shù)
[考法全練]
1．(2019·高考全國(guó)卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，則z＝( )
A．－1－i B．－1＋i
6、
C．1－i D．1＋i
解析：選D．由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝＝i(1－i)＝1＋i.
故選D．
2．(2019·高考全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)z＝i(2＋i)，則＝( )
A．1＋2i B．－1＋2i
C．1－2i D．－1－2i
解析：選D．因?yàn)閦＝i(2＋i)＝－1＋2i，所以＝－1－2i，故選D．
3．(一題多解)(2019·南寧模擬)設(shè)z＝＋2i，則|z|＝( )
A．0 B．
C．1 D．
解析：選C．法一：因?yàn)閦＝＋2i＝＋2i＝＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1，故選C．
法二：因?yàn)閦＝＋2i＝＝，所以|z|＝||＝＝＝1.故選C．
4．(201
7、9·漳州模擬)已知i是虛數(shù)單位，且z＝，則z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：選A．z＝＝＝＝＝2－i，則＝2＋i，所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限．故選A．
5．(2019·高考全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z－i|＝1，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x，y)，則( )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
解析：選C．由已知條件，可得z＝x＋yi(x，y∈R)，因?yàn)閨z－i|＝1，所以|x＋yi－i|＝1，所以x2＋(y－1)2＝1.
故選C．
8、
6．(2019·高考江蘇卷)已知復(fù)數(shù)(a＋2i)(1＋i)的實(shí)部為0，其中i為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)a的值是________．
解析：(a＋2i)(1＋i)＝a－2＋(a＋2)i，因?yàn)槠鋵?shí)部是0，故a＝2.
答案：2
復(fù)數(shù)代數(shù)形式的2種運(yùn)算方法
(1)復(fù)數(shù)的乘法：復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類項(xiàng)，不含i的看作另一類項(xiàng)，分別合并同類項(xiàng)即可．
(2)復(fù)數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題時(shí)要注意把i的冪寫成最簡(jiǎn)形式．復(fù)數(shù)的除法類似初中所學(xué)化簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)常用的“分母有理化”，其實(shí)質(zhì)就是“分母實(shí)數(shù)化”．
[提醒] (1)復(fù)數(shù)運(yùn)算的重點(diǎn)是除法運(yùn)算
9、，其關(guān)鍵是進(jìn)行分母實(shí)數(shù)化．
(2)對(duì)一些常見的運(yùn)算，如(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i等要熟記．
(3)利用復(fù)數(shù)相等a＋bi＝c＋di列方程時(shí)，注意a，b，c，d∈R的前提條件．
常用邏輯用語(yǔ)
[考法全練]
1．(2019·沈陽(yáng)市質(zhì)量監(jiān)測(cè)(一))設(shè)命題p：?x∈R，x2－x＋1>0，則﹁p為( )
A．?x∈R，x2－x＋1>0
B．?x∈R，x2－x＋1≤0
C．?x∈R，x2－x＋1≤0
D．?x∈R，x2－x＋1<0
解析：選C．已知原命題p：?x∈R，x2－x＋1>0，全稱命題的否定是將全稱量詞改為存在量詞，并否定命題的結(jié)論，故原命題的否定﹁p為?x∈R，
10、x2－x＋1≤0.
2．(2019·廣州市調(diào)研測(cè)試)下列命題中，為真命題的是( )
A．?x0∈R，e≤0
B．?x∈R，2x>x2
C．a(chǎn)＋b＝0的充要條件是＝－1
D．若x，y∈R，且x＋y>2，則x，y中至少有一個(gè)大于1
解析：選D．因?yàn)閑x>0恒成立，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤．取x＝2，則2x＝x2，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤．當(dāng)a＋b＝0時(shí)，若b＝0，則a＝0，此時(shí)無意義，所以也不可能推出＝－1；當(dāng)＝－1時(shí)，變形得a＝－b，所以a＋b＝0，故a＋b＝0的充分不必要條件是＝－1，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤．假設(shè)x≤1且y≤1，則x＋y≤2，這顯然與已知x＋y>2矛盾，所以假設(shè)錯(cuò)誤，所以x，y中至少有一個(gè)大
11、于1，故選項(xiàng)D正確．綜上，選D．
3．(2019·高考浙江卷)若a>0，b>0，則“a＋b≤4”是“ab≤4”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
解析：選A．因?yàn)閍>0，b>0，若a＋b≤4，所以2≤2＋b≤4.
所以ab≤4，此時(shí)充分性成立．當(dāng)a>0，b>0，ab≤4時(shí)，令a＝4，b＝1，則a＋b＝5>4.
這與a＋b≤4矛盾，因此必要性不成立．
綜上所述，當(dāng)a>0，b>0時(shí)，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要條件．故選A．
4．(2019·高考天津卷)設(shè)x∈R，則“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的(
12、 )
A．充分而不必要條件
B．必要而不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
解析：選B．由“x2－5x<0”可得“00在R上恒成立”的一個(gè)必要不充分條件是( )
A．m> B．00 D．m>1
解析：選C．若不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，則Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>，因此當(dāng)不等式x2－x＋m>0
13、在R上恒成立時(shí)，必有m>0，但當(dāng)m>0時(shí)，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分條件可以是m>0，故選C．
6．(一題多解)(2019·高考全國(guó)卷Ⅲ)記不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈.命題p：?(x，y)∈D，2x＋y≥9；命題q：?(x，y)∈D，2x＋y≤12.下面給出了四個(gè)命題
①p∨q ②﹁p∨q?、踦∧﹁q?、堞鑠∧﹁q
這四個(gè)命題中，所有真命題的編號(hào)是( )
A．①③ B．①②
C．②③ D．③④
解析：選A．通解：作出不等式組表示的平面區(qū)域D如圖中陰影部分所示，直線2x＋y＝9和直線2x＋y＝12均穿過了平面區(qū)域D，不等式2x＋y≥9表示的區(qū)域?yàn)橹本€2x＋
14、y＝9及其右上方的區(qū)域，所以命題p正確；不等式2x＋y≤12表示的區(qū)域?yàn)橹本€2x＋y＝12及其左下方的區(qū)域，所以命題q不正確．所以命題p∨q和p∧﹁q正確．故選A．
優(yōu)解：在不等式組表示的平面區(qū)域D內(nèi)取點(diǎn)(7，0)，點(diǎn)(7，0)滿足不等式2x＋y≥9，所以命題p正確；點(diǎn)(7，0)不滿足不等式2x＋y≤12，所以命題q不正確．所以命題p∨q和p∧﹁q正確．故選A．
(1)充分條件與必要條件的三種判定方法
定義法
正、反方向推理，若p?q，則p是q的充分條件(或q是p的必要條件)；若p?q，且qp，則p是q的充分不必要條件(或q是p的必要不充分條件)
集合法
利用集合間的包含關(guān)
15、系，例如p：A，q：B，若A?B，則p是q的充分條件(q是p的必要條件)；若A＝B，則p是q的充要條件
等價(jià)法
將命題等價(jià)轉(zhuǎn)化為另一個(gè)便于判斷真假的命題
(2)全稱命題與特稱命題真假的判定方法
①全稱命題：要判定一個(gè)全稱命題是真命題，必須對(duì)限定集合M中的每一個(gè)元素x驗(yàn)證p(x)成立，要判定其為假命題，只需舉出一個(gè)反例即可．
②特稱命題：要判定一個(gè)特稱命題為真命題，只要在限定集合M中至少能找到一個(gè)元素x0，使得p(x0)成立即可；否則，這一特稱命題就是假命題．
[提醒] 求解簡(jiǎn)易邏輯問題有以下幾個(gè)易失分點(diǎn)：
(1)“A是B的充分條件”與“A的充分條件是B”是不同的概念．
(2)命
16、題的否定與否命題是有區(qū)別的，“命題的否定”即“非p”，只是否定命題p的結(jié)論．
(3)全稱或特稱命題的否定，要否定結(jié)論并改變量詞．
(4)復(fù)合命題的真假判斷依賴真值表．
一、選擇題
1．(2019·高考全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，則A∩B＝( )
A．(－∞，1) B．(－2，1)
C．(－3，－1) D．(3，＋∞)
解析：選A．A∩B＝{x|x2－5x＋6>0}∩{x|x－1<0}＝{x|x<2或x>3}∩{x|x<1}＝{x|x<1}．
故選A．
2．命題“?x>0，ln x≥1－”的否定是( )
A．?x0≤0
17、，ln x0≥1－
B．?x0≤0，ln x0<1－
C．?x0>0，ln x0≥1－
D．?x0>0，ln x0<1－
解析：選D．若命題為?x∈M，p(x)，則其否定為?x0∈M，﹁p(x0)．所以“?x>0，ln x≥1－”的否定是?x0>0，ln x0<1－，故選D．
3．(2019·鄭州市第一次質(zhì)量預(yù)測(cè))設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|－3
18、以A∪B＝{x|x>－3}，所以?U(A∪B)＝{x|x≤－3}．故選D．
4. (2019·沈陽(yáng)市質(zhì)量監(jiān)測(cè)(一))已知全集U＝{1，3，5，7}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，則如圖所示陰影區(qū)域表示的集合為( )
A．{3} B．{7}
C．{3，7} D．{1，3，5}
解析：選B．由圖可知，陰影區(qū)域?yàn)?U(A∪B)，由并集的概念知，A∪B＝{1，3，5}，又U＝{1，3，5，7}，于是?U(A∪B)＝{7}，故選B．
5．若i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之積為( )
A．－ B．
C．i D．－i
解析：選B．因?yàn)椋剑剑玦，所以其實(shí)部為，虛部為，實(shí)
19、部與虛部之積為.故選B．
6．已知(1＋i)·z＝i(i是虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：選A．因?yàn)?1＋i)·z＝i，所以z＝＝＝，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，故選A．
7．(2019·高考北京卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝cos x＋bsin x(b為常數(shù))，則“b＝0”是“f(x)為偶函數(shù)”的( )
A．充分而不必要條件
B．必要而不充分條件
C．充分必要條件
D．既不充分也不必要條件
解析：選C．因?yàn)閒(x)＝cos x＋bsin x為偶函
20、數(shù)，所以對(duì)任意的x∈R都有f(－x)＝f(x)，
即cos(－x)＋bsin(－x)＝cos x＋bsin x，
所以2bsin x＝0.由x的任意性，得b＝0.
故f(x)為偶函數(shù)?b＝0.必要性成立．
反過來，若b＝0，則f(x)＝cos x是偶函數(shù)．充分性成立．
所以“b＝0”是“f(x)為偶函數(shù)”的充分必要條件．故選C．
8．下列命題錯(cuò)誤的是( )
A．“a>1”是“<1”的充分不必要條件
B．命題“?x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是“?x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”
C．設(shè)x，y∈R，則“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要不充分條件
21、
D．設(shè)a，b∈R，則“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分條件
解析：選C．若<1，則a>1或a<0，則“a>1”是“<1”的充分不必要條件，故A正確；根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，得“?x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是“?x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”，故B正確；當(dāng)x≥2且y≥2時(shí)，x2＋y2≥4，當(dāng)x2＋y2≥4時(shí)卻不一定有x≥2且y≥2，如x＝5，y＝0，因此“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要條件，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椤癮b＝0”是“a＝0”的必要不充分條件，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分條件，故D正確．
9．(2019·貴陽(yáng)市第一學(xué)期監(jiān)
22、測(cè))命題p：若x>y，則x2>y2，命題q：若x－y.在命題①p∧q；②p∨q；③p∨(﹁q)；④(﹁p)∧q中，真命題是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
解析：選D．命題p：當(dāng)x＝0，y＝－2時(shí)，x2
23、的否定是“?x∈R，x＋>2”．其中正確命題的個(gè)數(shù)為( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：選C．由x＝，得tan x＝1，但由tan x＝1推不出x＝，所以“x＝”是“tan x＝1”的充分不必要條件，所以命題①是正確的；若定義在[a，b]上的函數(shù)f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b是偶函數(shù)，則，則，則f(x)＝x2＋5在[－5，5]上的最大值為30，所以命題②是正確的；命題“?x0∈R，x0＋≥2”的否定是“?x∈R，x＋<2”，所以命題③是錯(cuò)誤的．故正確命題的個(gè)數(shù)為2，故選C．
11．已知命題“?x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )
24、
A．(－∞，0) B．[0，4]
C．[4，＋∞) D．(0，4)
解析：選D．因?yàn)槊}“?x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命題，所以其否定“?x∈R，4x2＋(a－2)x＋＞0”是真命題，則Δ＝(a－2)2－4×4×＝a2－4a＜0，解得0＜a＜4，故選D．
12．(2019·南昌市第一次模擬測(cè)試)已知r>0，x，y∈R，p：“|x|＋≤1”，q：“x2＋y2≤r2”，若p是q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)r的取值范圍是( )
A． B．(0，1]
C． D．[2，＋∞)
解析：選A．由題意，命題p對(duì)應(yīng)的是菱形及其內(nèi)部，當(dāng)x>0，y>0時(shí)，可得菱形的一邊所在的直線方
25、程為x＋＝1，即2x＋y－2＝0，由p是q的必要不充分條件，可得圓x2＋y2＝r2的圓心到直線2x＋y－2＝0的距離d＝＝≥r，又r>0，所以實(shí)數(shù)r的取值范圍是，故選A．
二、填空題
13．已知復(fù)數(shù)z滿足z(1－i)2＝1＋i(i為虛數(shù)單位)，則|z|＝________．
解析：因?yàn)閦＝－＝，所以|z|＝.
答案：
14．以下四個(gè)說法中，正確的是________(填序號(hào))．
①雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x；
②命題p：?x>0，x3>0，那么﹁p：?x0>0，x≤0；
③已知x，y∈R，若x2＋y2≠0，則x，y不全為0；
④△ABC中，若AB>AC，
26、則sin C>sin B．
解析：①是正確的；對(duì)于②，命題p：?x>0，x3>0，﹁p：?x0>0，x≤0，所以②是正確的；對(duì)于③，若x，y同時(shí)為0，則x2＋y2＝0，與已知矛盾，故x，y不全為0；③正確；對(duì)于④，在△ABC中，大邊對(duì)大角，所以④正確．
答案：①②③④
15．(一題多解)設(shè)P，Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，定義集合P*Q＝{z|z＝ab，a∈P，b∈Q}，若P＝{1，2}，Q＝{－1，0，1}，則集合P*Q中元素的個(gè)數(shù)為________．
解析：法一(列舉法)：當(dāng)b＝0時(shí)，無論a取何值，z＝ab＝1；當(dāng)a＝1時(shí)，無論b取何值，ab＝1；當(dāng)a＝2，b＝－1時(shí)，z＝2－1＝；當(dāng)a＝
27、2，b＝1時(shí)，z＝21＝2.故P*Q＝，該集合中共有3個(gè)元素．
法二(列表法)：因?yàn)閍∈P，b∈Q，所以a的取值只能為1，2；b的取值只能為－1，0，1.z＝ab的不同運(yùn)算結(jié)果如下表所示：
ba
－1
0
1
1
1
1
1
2
1
2
由上表可知P*Q＝，顯然該集合中共有3個(gè)元素．
答案：3
16．已知命題p：?x∈[0，1]，a≥2x；命題q：?x∈R，使得x2＋4x＋a＝0.若命題“p∨q”是真命題，“﹁p∧q”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．
解析：命題p為真，則a≥2x(x∈[0，1])恒成立，
因?yàn)閥＝2x在[0，1]上單調(diào)遞增
28、，所以2x≤21＝2，
故a≥2，即命題p為真時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值集合為P＝{a|a≥2}．
若命題q為真，則方程x2＋4x＋a＝0有解，所以Δ＝42－4×1×a≥0，解得a≤4.
故命題q為真時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值集合為Q＝{a|a≤4}．
若命題“p∨q”是真命題，則命題p，q至少有一個(gè)是真命題；
由“﹁p∧q”是假命題，可得﹁p與q至少有一個(gè)是假命題．
①若p為真命題，則﹁p為假命題，q可真可假，
此時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍為[2，＋∞)；
②若p為假命題，則q必為真命題，此時(shí)，“﹁p∧q”為真命題，不合題意．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[2，＋∞)．
答案：[2，＋∞)
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