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1、2022年高考數學 立體幾何試題 文
一、選擇題
1．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）
A. B.
B. C. D.
2．．一個幾何體的三視圖如圖所示（單位長度：cm），則此幾何體的表面積是（ ）
A．（20+4）cm2 B．21 cm2
C．（24+4）cm2 D．24 cm2
3．已知如圖所示的正方體ABCD﹣A1B1C1D1，點P、Q分別在棱BB1、DD1上，且=，過點A、P、Q作截面截去該正方體的含點A1的部分，則下列圖形中不可能是截去后剩下幾何體的
2、主視圖的是（ ?。?
4．四棱錐的三視圖如圖正（主）視圖
側（左）視圖
俯視圖
所示，則最長的一條側棱的長度是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空題
5．如圖所示的一塊長方體木料中，已知，設為底面的中心，且，則該長方體中經過點的截面面積的最小值為 .
6．長方體中，已知
，，棱在平面內，則長方體在平面內的射影所構成的圖形面積的取7．如右圖,正方體的棱長為1,P值范圍是 ．
為BC的中點,Q為線段上的動點,過點A,P
3、,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是_____(寫出所有正確命題的編號).
①當時,S為四邊形;
②當時,S不為等腰梯形;
③當時,S與的交點R滿足;
④當時,S為六邊形;
⑤當時,S的面積為.
三、解答題
8．（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，//，，平面底面，為的中點，是棱的中點，
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角的余弦值.
9．(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為梯形，BC∥AD，AB⊥AD，PA＝AB＝BC＝1，AD＝2.
4、
（1）求三棱錐P—ACD的外接球的表面積；
（2）若M為PB的中點，問在AD上是否存在一點E，使AM∥平面PCE？若存在，求的值；若不存在，說明理由.
10．如圖，在三棱錐中，平面平面，于點，且，，
（1）求證：
（2）
（3）若，，求三棱錐的體積．
參考答案
1．C
【解析】
試題分析：根據三視圖可知該幾何體為一個四棱錐和三棱錐的組合體，如圖所示,且平面，平面，底面為正方形，則有,所以和到平面的距離相等，且為，故,
，則該幾何體的體積為.
考點：三視圖、簡單幾何體體積
2．A
【解析】
5、
試題分析：三視圖復原的組合體是下部是棱長為2的正方體，上部是底面邊長為2的正方形，高為1的四棱錐，
組合體的表面積為：，故選A．
考點：三視圖求幾何體的表面積
3．A
【解析】
試題分析：當P、B1重合時，主視圖為選項B；當P到B點的距離比B1近時，主視圖為選項C；當P到B點的距離比B1遠時，主視圖為選項D，因此答案為A.
考點：組合體的三視圖
4．D
【解析】
試題分析：根據題中所給的三視圖，可知該幾何體為底面是直角
梯形，且頂點在底面上的射影是底面梯形的左前方的頂點，所以最長
的側棱應該是棱錐的頂點與右后方的點的側棱，故根據勾股定理，可知最長側棱應該是．，故選D．
6、
考點：根據幾何體的三視圖確定幾何體的特征．
5．
【解析】
試題分析：如圖所示，經過點的截面為平行四邊形
設,則，為了求出平行四邊形的高，先求的高，由等面積法可得，又由三垂線定理可得平行四邊形的高，因此平行四邊形的面積
，當且僅當時
考點：幾何體的截面面積的計算
6．.
【解析】
試題分析：四邊形和的面積分別為4和6，長方體在平面內的射影可由這兩個四邊形在平面內的射影組合而成. 顯然，. 若記平面與平面所成角為，則平面與平面所成角為. 它們在平面內的射影分別為和，所以，（其中，），因此，，當且僅當時取到. 因此，.
考點：三角函數的化簡和求值.
7．①②③⑤
【解
7、析】
試題分析：取AB的中點M,在DD1上取點N,使得DN=CQ,則MN∥PQ;作AT∥MN,交直線DD1于點T,則A、P、Q、T四點共面;
①當0
8、1D1的中點FS為菱形APC1FS的面積=AC1PF==.
綜上,命題正確的是:①②③⑤..
考點：立體幾何綜合應用.
8．（Ⅰ）證明祥見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【解析】
試題分析：（Ⅰ）在中，為中點.所以；又因為平面底面，且平面底面，由面面垂直的性質定理可得到底面，再由線面垂直的性質得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知條件易得，和；故可以為坐標原點，建立空間直角坐標系從而由空間向量知識及可求得直線與平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中所建立的空間直角坐標系中，求出平面的法向量和平面的法向量，代入公式二面角的夾角公式即可求出二面角的余弦值.
試題解析：（Ⅰ）證明：在中，為中點.
所以
9、 1分
因為平面底面，且平面底面
所以底面 3分
又平面
所以. 4分
（Ⅱ）解：在直角梯形中，//為中點
所以
所以四邊形為平行四邊形
因為
所以
由（Ⅰ）可知平面
所以，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖.
則
所以 6分
設平面的法向量為則
即亦即
令，得所以 8分
設直線與平面所成角為，則
所以與平面所成角的正弦值為
10、 10分
（Ⅲ）解：如（Ⅱ）中建立空間直角坐標系
因為
所以平面
即為平面的法向量，且 11分
因為是棱的中點
所以點的坐標為
又
設平面的法向量為
則
即
令得
所以 13分
所以
由題知，二面角為銳角
所以二面角的余弦值為 14分
考點：1.直線與平面、平面與平面的垂直關系；2. 直線與平面所成的角；3.二面角.
9．（1）5π;（2）在AD上存在點E，使AM∥平面BCE, .
【解析】
試題分析：（1）在△ACD中，AC＝，CD＝，AD＝2，
利用AC2＋
11、CD2＝AD2證得AC⊥CD，根據PA⊥平面ABCD得到PA⊥CD，從而有CD⊥平面PAC， CD⊥PC；
根據△PAD、△PCD均是以PD為斜邊的直角三角形，
取PD的中點O，則OA＝OP＝OC＝OD＝，計算即得所求.
（2）根據觀察分析，取PC的中點N，連接MN，EN，得到MNBC， 又BC∥AE，得到MN∥AE；
由AM∥平面PCE，得 AM∥EN，四邊形AMNE為平行四邊形，AE＝MN＝BC＝AD，＝ .
考點：1.球的表面積；2.平行關系、垂直關系.
10．（1）參考解析；（2）參考解析；（3）
【解析】
試題分析：（1）由，，即可得到線段成比例，即得到直線平行，再
12、根據直線與平面平行的判斷定理即可得到結論.
（2）由平面平面，于點，并且AC是平面PAC與平面ABC的交線，根據平面垂直的性質定理即可得PD垂直平面ABC，再根據平面與平面垂直的判斷定理即可得到結論.
（3）由即可得AC=3.又由，， 在三角形ABC中根據余弦定理即可求得BC的值.所以三角形ABC的面積可以求出來，由于PD垂直于平面ABC所以PD為三棱錐的高，即可求得結論.
（1）， 2分
3分
（2）因為平面平面，
且平面平面，
平面，，
所以平面， 6分
又平面，
所以平面平面． 7分
（3）由（2）可知平面．
法一：中，，
由正弦定理，得，
因為，所以，則，因此， 8分
△的面積． 10分
所以三棱錐的體積． 12分
法二：中，，，由余弦定理得：
，所以，
所以． 8分
△的面積． 10分
所以三棱錐的體積． 12分
考點：1.線面平行.2.面面垂直.3.三角形的余弦定理.4.三棱錐的體積.
2022年高考數學 立體幾何試題 文
