（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)考點(diǎn) 自主練透 第3講 算法與平面向量學(xué)案 理 新人教A版

第3講算法與平面向量算法考法全練1(2019·高考全國卷)執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的為0.01，則輸出s的值等于()A2 B2C2 D2解析：選C0.01，x1，s0，s011，x，x<不成立；s1，x，x<不成立；s1，x，x<不成立；s1，x，x<不成立；s1，x，x<不成立；s1，x，x<不成立；s1，x，x<成立；此時(shí)輸出s2.故選C2(2019·高考全國卷)如圖是求的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入()AA BA2CA DA1解析：選A對(duì)于選項(xiàng)A，A.當(dāng)k1時(shí)，A，當(dāng)k2時(shí)，A，故A正確；經(jīng)驗(yàn)證選項(xiàng)B，C，D均不符合題意故選A3(2019·唐山模擬)已知程序框圖如圖所示，則該程序框圖的功能是()A求1的值B求1的值C求1的值D求1的值解析：選C執(zhí)行程序框圖，S1，a1，n3；S1，a1，n5；S1，a1，n7；S1，a1，n21>19滿足條件，退出循環(huán)，輸出S.故該程序框圖的功能是求S1的值，故選C4(2019·開封模擬)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果為3，則輸入的x為()A1 B0C1或1 D1或0解析：選D由得x1；由得x0.故選D5(2019·長春市質(zhì)量監(jiān)測(一)我國古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)有如下問題：“今有器中米，不知其數(shù)，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗為十升)問，米幾何？”如圖是解決該問題的程序框圖，執(zhí)行該程序框圖，若輸出的S15(單位：升)，則輸入的k的值為()A45 B60C75 D100解析：選B依題意知，n1，Sk，滿足條件n<4，執(zhí)行循環(huán)體，n2，Sk；滿足條件n<4，執(zhí)行循環(huán)體，n3，S；滿足條件n<4，執(zhí)行循環(huán)體，n4，S，此時(shí)不滿足條件n<4，退出循環(huán)，輸出的S.由題意可得15，解得k60，故選B6(2019·鄭州市第二次質(zhì)量預(yù)測)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在數(shù)書九章中提出的秦九韶算法至今仍是多項(xiàng)式求值比較先進(jìn)的算法，已知f(x)2 019x2 0182 018x2 0172x1，程序框圖設(shè)計(jì)的是求f(x0)的值，在M處應(yīng)填的執(zhí)行語句是()An2 018i Bn2 019iCni1 Dni2解析：選B根據(jù)程序框圖的功能，若在M處填n2 019i，執(zhí)行程序框圖，i1，n2 019，S2 019，i12 018成立，S2 019x0，n2 01912 018，S2 019x02 018，i22 018成立，S(2 019x02 018)x02 019x2 018x0，n2 01922 017，S2 019x2 018x02 017，i32 018成立，由此可判斷，在M處應(yīng)填的執(zhí)行語句是n2 019i，故選B兩類程序框圖問題的解決方法(1)求解程序框圖的運(yùn)行結(jié)果問題先要找出控制循環(huán)的變量及其初值、終值然后看循環(huán)體，若循環(huán)次數(shù)較少，可依次列出即可得到答案；若循環(huán)次數(shù)較多，可先循環(huán)幾次，找出規(guī)律要特別注意最后輸出的是什么，不要出現(xiàn)多一次或少一次循環(huán)的錯(cuò)誤，尤其對(duì)于以累和為限定條件的問題，需要逐次求出每次迭代的結(jié)果，并逐次判斷是否滿足終止條件(2)對(duì)于程序框圖的填充問題最常見的是要求補(bǔ)充循環(huán)結(jié)構(gòu)的判斷條件，解決此類問題的方法：創(chuàng)造參數(shù)的判斷條件為“in？”或“in？”，然后找出運(yùn)算結(jié)果與條件的關(guān)系，反解出條件即可提醒解決程序框圖問題應(yīng)注意3點(diǎn)(1)要明確是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，還是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，根據(jù)各自的特點(diǎn)執(zhí)行循環(huán)體(2)要明確圖中的累計(jì)變量，明確每一次執(zhí)行循環(huán)體前和執(zhí)行循環(huán)體后，變量的值發(fā)生的變化(3)要明確循環(huán)體終止的條件是什么，會(huì)判斷什么時(shí)候終止循環(huán)體 平面向量的線性運(yùn)算考法全練1(一題多解)(2019·合肥市第二次質(zhì)量檢測)在ABC中，若a，b，則()Aab BabCab Dab解析：選A通解：如圖，過點(diǎn)D分別作AC，AB的平行線交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，則四邊形AEDF為平行四邊形，所以.因?yàn)?，所以，所以ab，故選A優(yōu)解一：()ab，故選A優(yōu)解二：由，得()，所以()ab，故選A2. (一題多解)(2019·廣東六校第一次聯(lián)考)如圖，在ABC中，P是BN上一點(diǎn)，若t，則實(shí)數(shù)t的值為()A BC D解析：選C通解：因?yàn)?，所?設(shè)，則()(1)，又t，所以t(1)，得，解得t，故選C優(yōu)解：因?yàn)?，所以，所以tt.因?yàn)锽，P，N三點(diǎn)共線，所以t1，所以t，故選C3已知P為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，0，|2，則ABC的面積等于()A B2C3 D4解析：選B由|得，PBC是等腰三角形，取BC的中點(diǎn)為D，則PDBC，又0，所以()2，所以PDAB1，且PDAB，故ABBC，即ABC是直角三角形，由|2，|1可得|，則|2，所以ABC的面積為×2×22，故選B4已知向量a(1，2)，b(m，1)，若a(ab)，則實(shí)數(shù)m的值為_解析：ab(1m，1)，因?yàn)閍(ab)，所以2(1m)1，解得m.答案：5(2019·鄭州市第一次質(zhì)量預(yù)測)如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，BC的中點(diǎn)，連接CE，DF交于點(diǎn)G.若(，R)，則_解析：由題圖可設(shè)x(x>0)，則x()x()x.因?yàn)?，與不共線，所以，x，所以.答案：平面向量線性運(yùn)算的2種技巧(1)對(duì)于平面向量的線性運(yùn)算問題，要盡可能轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，靈活運(yùn)用三角形法則、平行四邊形法則，緊密結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算(2)在證明兩向量平行時(shí)，若已知兩向量的坐標(biāo)形式，常利用坐標(biāo)運(yùn)算來判斷；若兩向量不是以坐標(biāo)形式呈現(xiàn)的，常利用共線向量定理(當(dāng)b0時(shí)，ab存在唯一實(shí)數(shù)，使得ab)來判斷提醒向量線性運(yùn)算問題的2個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)注意盡可能地將向量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的基本向量或首尾相接的向量，運(yùn)用向量加、減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算來求解(2)注意結(jié)論的使用：O為直線AB外一點(diǎn)，若點(diǎn)P在直線AB上，則有(1)；若點(diǎn)P滿足，則有. 平面向量的數(shù)量積考法全練1(2019·高考全國卷)已知(2，3)，(3，t)，|1，則·()A3 B2C2 D3解析：選C因?yàn)?3，t)(2，3)(1，t3)，|1，所以1，所以t3，所以(1，0)，所以·2×13×02.故選C2(2019·高考全國卷)已知非零向量a，b滿足|a|2|b|，且(ab)b，則a與b的夾角為()A B C D解析：選B由(ab)b，可得(ab)·b0，所以a·bb2.因?yàn)閨a|2|b|，所以cosa，b.因?yàn)?a，b，所以a與b的夾角為.故選B3(一題多解)(2019·安徽五校聯(lián)盟第二次質(zhì)檢)在ABC中，AB3，AC2，BAC120°，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，且2，則·()A BC1 D2解析：選C法一：因?yàn)?，所以2()，所以，則···2×3×2××321，故選C法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示則A(0，0)，B(3，0)，C(1，)，因?yàn)?，所以(4，)，則D，所以(3，0)，則·3×01，故選C4(一題多解)(2019·長春市質(zhì)量監(jiān)測(二)如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為BC邊的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD邊上一點(diǎn)，若·|2，則|()A3 B5C D解析：選D法一：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則A(0，0)，E(2，1)設(shè)|x，則F(x，2)，故(x，2)，(2，1)因?yàn)?#183;|2，所以(x，2)·(2，1)2x25，解得x，所以|，故選D法二：連接EF，因?yàn)?#183;|cosEAF|2，所以|cosEAF|，所以EFAE.因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，所以BECE1.設(shè)DFx，則CF2x.在RtAEF中，AE2EF2AF2，即2212(2x)21222x2，解得x，所以AF.故選D5(2019·高考全國卷)已知a，b為單位向量，且a·b0，若c2ab，則cosa，c_解析：由題意，得cosa，c.答案：6已知平面內(nèi)三個(gè)不共線向量a，b，c兩兩夾角相等，且|a|b|1，|c|3，則|abc|_解析：由平面內(nèi)三個(gè)不共線向量a，b，c兩兩夾角相等，可得夾角均為，所以|abc|2a2b2c22a·b2b·c2a·c1192×1×1×cos 2×1×3×cos 2×1×3×cos 4，所以|abc|2.答案：2平面向量數(shù)量積問題的難點(diǎn)突破(1)借“底”數(shù)字化，要先選取一組合適的基底，這是把平面向量“數(shù)化”的基礎(chǔ)(2)借“系”坐標(biāo)化，數(shù)形結(jié)合，建立合適的平面直角坐標(biāo)系，將向量的數(shù)量積運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算 平面向量在幾何中的應(yīng)用考法全練1(一題多解)(2019·鄭州市第二次質(zhì)量預(yù)測)在RtABC中，C90°，CB2，CA4，P在邊AC的中線BD上，則·的最小值為()A B0C4 D1解析：選A通解：因?yàn)锽C2，AC4，C90°，所以AC的中線BD2，且CBD45°.因?yàn)辄c(diǎn)P在邊AC的中線BD上，所以設(shè)(01)，如圖所示，所以·()·()··2·2|·|cos 135°2×(2)28248，當(dāng)時(shí)，·取得最小值，故選A優(yōu)解：依題意，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AC，BC所在的直線為x，y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B(0，2)，D(2，0)，所以直線BD的方程為yx2，因?yàn)辄c(diǎn)P在邊AC的中線BD上，所以可設(shè)P(t，2t)，(0t2)，所以(t，2t)，(t，t)，所以·t2t(2t)2t22t2，當(dāng)t時(shí)，·取得最小值，故選A2(一題多解)(2019·武漢市調(diào)研測試)在ABC中，·0，|4，|5，D為線段BC的中點(diǎn)，E為線段BC垂直平分線l上任一異于D的點(diǎn)，則·()A BC D7解析：選A法一：·()···()·····×5×14×5×16.故選A法二：依題意，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，B(4，0)，因?yàn)閨5，所以C(0，3)，D，易知直線BC的斜率為，因?yàn)橹本€DE是線段BC的垂直平分線，所以直線DE的斜率為，所以直線DE的方程為y(x2)，令x0得y，所以直線DE與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，不妨令E，因?yàn)?4，3)，所以··(4，3)，故選A3(一題多解)(2019·高考江蘇卷)如圖，在ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E在邊AB上，BE2EA，AD與CE交于點(diǎn)O.若·6·，則的值是_解析：法一：如圖，過點(diǎn)D作DFCE交AB于點(diǎn)F，由D是BC的中點(diǎn)，可知F為BE的中點(diǎn)，又BE2EA，則知EFEA，從而可得AOOD，則有()，所以6·()·()22··，整理可得232，所以.法二：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示設(shè)E(1，0)，C(a，b)，則B(3，0)，D.O.因?yàn)?#183;6·，所以(3，0)·(a，b)6·(a1，b)，即3a6，所以a2b23，所以AC，所以.答案：用向量解決平面幾何問題的3個(gè)步驟(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題(2)通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如平行、垂直和距離、夾角等問題(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系提醒關(guān)注2個(gè)常用結(jié)論的應(yīng)用(1)ABC中，AD是BC邊上的中線，則()(2)ABC中，O是ABC內(nèi)一點(diǎn)，若0，則O是ABC的重心一、選擇題1(2019·廣東六校第一次聯(lián)考)在ABC中，D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足4，則()A BC D解析：選A因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足4，所以，所以()，故選A2(2019·武昌區(qū)調(diào)研考試)已知向量a(2，1)，b(2，x)不平行，且滿足(a2b)(ab)，則x()A BC1或 D1或解析：選A因?yàn)?a2b)(ab)，所以(a2b)·(ab)0，所以|a|2a·b2|b|20，因?yàn)橄蛄縜(2，1)，b(2，x)，所以54x2(4x2)0，解得x1或x，因?yàn)橄蛄縜，b不平行，所以x1，所以x，故選A3(2019·廣州市綜合檢測(一)a，b為平面向量，已知a(2，4)，a2b(0，8)，則a，b夾角的余弦值等于()A BC D解析：選B設(shè)b(x，y)，則有a2b(2，4)(2x，2y)(22x，42y)(0，8)，所以，解得，故b(1，2)，|b|，|a|2，cosa，b，故選B4(2019·湖南省五市十校聯(lián)考)已知向量a，b滿足|a|1，|b|2，a·(a2b)0，則|ab|()A BC2 D解析：選A由題意知，a·(a2b)a22a·b12a·b0，所以2a·b1，所以|ab|.故選A5(2019·湖南省五市十校聯(lián)考)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，其中tZ.若輸入的n5，則輸出的結(jié)果為()A48 B58C68 D78解析：選B輸入的n5，則a287×4；n7，a387×53；n9，a487×66；n11，a587×82.退出循環(huán)，輸出的結(jié)果為58.故選B6已知向量a與b的夾角為120°，且|a|b|2，則a在ab方向上的投影為()A1 BC D解析：選B由向量的數(shù)量積公式可得a·(ab)|a|ab|cosa，ab，所以a在ab方向上的投影|a|cosa，ab.又a·b|a|·|b|cosa，b2×2×cos 120°2，所以|a|cosa，ab，故選B7(2019·湖南省湘東六校聯(lián)考)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，為使輸出的數(shù)據(jù)為63，則判斷框中應(yīng)填入的條件為()Ai4 Bi5Ci6 Di7解析：選B初始值，S1，i1，第一次循環(huán)，S3，i2；第二次循環(huán)，S7，i3；第三次循環(huán)，S15，i4；第四次循環(huán)，S31，i5，第五次循環(huán)，S63，i6，此時(shí)退出循環(huán)，輸出S63.結(jié)合選項(xiàng)知判斷框中應(yīng)填入的條件為i5，故選B8(一題多解)(2019·貴陽模擬)如圖，在直角梯形ABCD中，AB4，CD2，ABCD，ABAD，E是BC的中點(diǎn)，則·()()A8 B12C16 D20解析：選D法一：設(shè)a，b，則a·b0，a216，ba，()ab，所以·()a·a·a2a·ba220，故選D法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系(如圖所示)，設(shè)ADt(t>0)，則B(4，0)，C(2，t)，E，所以·()(4，0)·(4，0)·20，故選D9(2019·蓉城名校第一次聯(lián)考)已知n等于執(zhí)行如圖所示的程序框圖輸出的結(jié)果S，則的展開式中常數(shù)項(xiàng)是()A10 B20C35 D56解析：選B執(zhí)行程序框圖，i0，S0，i011，滿足i<4；S011，i112，滿足i<4；S123，i213，滿足i<4，S336，i314，不滿足i<4退出循環(huán)，輸出的S6.所以n6，二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)Tr1Cx6rCx62r，令62r0r3，所以二項(xiàng)式的展開式的常數(shù)項(xiàng)為T4C20.故選B10在如圖所示的矩形ABCD中，AB4，AD2，E為線段BC上的點(diǎn)，則·的最小值為()A12 B15C17 D16解析：選B以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，BA所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(0，4)，D(2，4)，設(shè)E(x，0)(0x2)，所以·(x，4)·(x2，4)x22x16(x1)215，于是當(dāng)x1，即E為BC的中點(diǎn)時(shí)，·取得最小值15，故選B11(2019·濟(jì)南模擬)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的a，b，c依次為(sin )sin ，(sin )cos ，(cos )sin ，其中，則輸出的x為()A(cos )cos B(sin )sin C(sin )cos D(cos )sin 解析：選C該程序框圖的功能是輸出a，b，c中的最大者當(dāng)時(shí)，0<cos <sin <1.由指數(shù)函數(shù)y(cos )x可得，(cos )sin <(cos )cos .由冪函數(shù)yxcos 可得，(cos )cos <(sin )cos ，所以(cos )sin <(sin )cos .由指數(shù)函數(shù)y(sin )x可得，(sin )sin <(sin )cos .所以a，b，c中的最大者為(sin )cos ，故輸出的x為(sin )cos ，正確選項(xiàng)為C12(一題多解)已知a，b，e是平面向量，e是單位向量若非零向量a與e的夾角為，向量b滿足b24e·b30，則|ab|的最小值是()A1 B1C2 D2解析：選A法一：設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，a，b(x，y)，e(1，0)，由b24e·b30得x2y24x30，即(x2)2y21，所以點(diǎn)B的軌跡是以C(2，0)為圓心，1為半徑的圓因?yàn)閍與e的夾角為，所以不妨令點(diǎn)A在射線yx(x>0)上，如圖，數(shù)形結(jié)合可知|ab|min|1.故選A法二：由b24e·b30得b24e·b3e2(be)·(b3e)0.設(shè)b，e，3e，所以be，b3e，所以·0，取EF的中點(diǎn)為C，則B在以C為圓心，EF為直徑的圓上，如圖設(shè)a，作射線OA，使得AOE，所以|ab|(a2e)(2eb)|a2e|2eb|1.故選A二、填空題13已知向量a(1，2)，b(2，2)，c(1，)若c(2ab)，則_解析：2ab(4，2)，因?yàn)閏(1，)，且c(2ab)，所以1×24，即.答案：14(2019·濟(jì)南市學(xué)習(xí)質(zhì)量評(píng)估)已知|a|b|2，a·b0，c(ab)，|dc|，則|d|的取值范圍是_解析：不妨令a(2，0)，b(0，2)，則c(1，1)設(shè)d(x，y)，則(x1)2(y1)22，點(diǎn)(x，y)在以點(diǎn)(1，1)為圓心、為半徑的圓上，|d|表示點(diǎn)(x，y)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，故|d|的取值范圍為0，2答案：0，215執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果是7，則判斷框內(nèi)m的取值范圍是_解析：k1，S2，k2，S246，k3，S6612，k4，S12820，k5，S201030，k6，S301242，k7，此時(shí)不滿足S42m，退出循環(huán)，所以30m42.答案：(30，4216在ABC中，(3)，則角A的最大值為_解析：因?yàn)?3)，所以(3)·0，(3)·()0，24·320，即cos A2，當(dāng)且僅當(dāng)|時(shí)等號(hào)成立因?yàn)?A，所以0A，即角A的最大值為.答案：- 19 -