（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 第2講 橢圓、雙曲線、拋物線學(xué)案 文 新人教A版

第2講橢圓、雙曲線、拋物線 做真題1(2019·高考全國(guó)卷)若拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)是橢圓1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p()A2B3C4 D8解析：選D.依題意得，解得p8，故選D.2(2019·高考全國(guó)卷)雙曲線C：1(a0，b0)的一條漸近線的傾斜角為130°，則C的離心率為()A2sin 40° B2cos 40°C. D.解析：選D.依題意知，tan 130°tan(130°180°)tan 50°，兩邊平方得tan250°e21，e21tan250°，又e>1，所以e，選D.3(2016·高考全國(guó)卷)設(shè)F為拋物線C：y24x的焦點(diǎn)，曲線y(k>0)與C交于點(diǎn)P，PFx軸，則k()A. B1C. D2解析：選D.易知拋物線的焦點(diǎn)為F(1，0)，設(shè)P(xP，yP)，由PFx軸可得xP1，代入拋物線方程得yP2(2舍去)，把P(1，2)代入曲線y(k0)得k2.4(2019·高考全國(guó)卷)已知F是雙曲線C：1的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)若|OP|OF|，則OPF的面積為()A. B.C. D.解析：選B.因?yàn)閏2a2b29，所以|OP|OF|3.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則x2y29，把x29y2代入雙曲線方程得|y|，所以SOPF|OF|·|yP|.故選B.5(一題多解)(2018·高考全國(guó)卷)已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的離心率為，則點(diǎn)(4，0)到C的漸近線的距離為()A. B2C. D2解析：選D.法一：由離心率e，得ca，又b2c2a2，得ba，所以雙曲線C的漸近線方程為y±x.由點(diǎn)到直線的距離公式，得點(diǎn)(4，0)到C的漸近線的距離為2.故選D.法二：離心率e的雙曲線是等軸雙曲線，其漸近線方程是y±x，由點(diǎn)到直線的距離公式得點(diǎn)(4，0)到C的漸近線的距離為2.故選D.明考情圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)一直是高考的命題熱點(diǎn)，其中求解圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓、直線與拋物線的位置關(guān)系是高考解答題的?？純?nèi)容，離心率問(wèn)題、雙曲線的漸近線問(wèn)題等常出現(xiàn)在選擇題、填空題中圓錐曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程(綜合型) 知識(shí)整合名稱橢圓雙曲線拋物線定義|PF1|PF2|2a(2a>|F1F2|)|PF1|PF2|2a(0<2a<|F1F2|)|PF|PM|，點(diǎn)F不在直線l上，PMl于M標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>b>0)1(a>0，b>0)y22px(p0)圖形典型例題 (1)(2019·廣東六校第一次聯(lián)考)已知雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)為F，離心率為，若經(jīng)過(guò)F和P(0，4)兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為()Ax2y21B.1C.1 D.1(2)(2019·高考全國(guó)卷)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)，過(guò)F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，則C的方程為()A.y21 B.1C.1 D.1【解析】(1)由題意，得雙曲線的左焦點(diǎn)為F(c，0)由離心率e，得ca，c22a2a2b2，即ab，所以雙曲線的漸近線方程為y±x，則經(jīng)過(guò)F和P(0，4)兩點(diǎn)的直線的斜率k1，得c4，所以ab2，所以雙曲線的方程為1，故選D.(2)設(shè)橢圓的方程為1(a>b>0)，連接F1A，令|F2B|m，則|AF2|2m，|BF1|3m.由橢圓的定義知，4m2a，得m，故|F2A|a|F1A|，則點(diǎn)A為橢圓C的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)令OAF2(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則sin .在等腰三角形ABF1中，cos 2，所以12()2，得a23.又c21，所以b2a2c22，橢圓C的方程為1.故選B.【答案】(1)D(2)B(1)圓錐曲線定義的應(yīng)用已知橢圓、雙曲線上一點(diǎn)及焦點(diǎn)，首先要考慮使用橢圓、雙曲線的定義求解應(yīng)用拋物線的定義，靈活將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離相互轉(zhuǎn)化使問(wèn)題得解(2)圓錐曲線方程的求法求解圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法是“先定型，后計(jì)算”定型就是指定類型，也就是確定圓錐曲線的焦點(diǎn)位置，從而設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程計(jì)算即利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2或p.另外，當(dāng)焦點(diǎn)位置無(wú)法確定時(shí)，拋物線常設(shè)為y22ax或x22ay(a0)，橢圓常設(shè)為mx2ny21(m>0，n>0)，雙曲線常設(shè)為mx2ny21(mn>0) 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1已知拋物線y22px(p>0)上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離等于2p，則直線MF的斜率為()A±B±1C± D±解析：選A.設(shè)M(x，y)，由題意知F，由拋物線的定義，可知x2p，故x，由y22p×，知y±p.當(dāng)M時(shí)，kMF，當(dāng)M時(shí)，kMF，故kMF±.故選A.2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的離心率為，從雙曲線C的右焦點(diǎn)F引漸近線的垂線，垂足為A，若AFO的面積為1，則雙曲線C的方程為()A.1 B.y21C.1 Dx21解析：選D.因?yàn)殡p曲線C的右焦點(diǎn)F到漸近線的距離|FA|b，|OA|a，所以ab2，又雙曲線C的離心率為，所以 ，即b24a2，解得a21，b24，所以雙曲線C的方程為x21，故選D.3已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2y21的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線左支上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1作F1PF2的平分線的垂線，垂足為H，則|OH|()A1 B2C4 D.解析：選A.如圖所示，延長(zhǎng)F1H交PF2于點(diǎn)Q，由PH為F1PF2的平分線及PHF1Q，可知|PF1|PQ|.根據(jù)雙曲線的定義，得|PF2|PF1|2，即|PF2|PQ|2，從而|QF2|2.在F1QF2中，易知OH為中位線，則|OH|1.圓錐曲線的幾何性質(zhì)(綜合型) 知識(shí)整合 橢圓、雙曲線中，a，b，c之間的關(guān)系(1)在橢圓中：a2b2c2，離心率為e .(2)在雙曲線中：c2a2b2，離心率為e . 雙曲線1(a>0，b>0)的漸近線方程為y±x.注意離心率e與漸近線的斜率的關(guān)系典型例題 (1)P是橢圓1(ab0)上的一點(diǎn)，A為左頂點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，PFx軸，若tanPAF，則橢圓的離心率e為()A.B.C. D.(2)(一題多解)(2019·東北四市聯(lián)合體模擬(一)已知矩形ABCD，AB12，BC5，則以A，B為焦點(diǎn)，且過(guò)C，D兩點(diǎn)的雙曲線的離心率為_(kāi)【解析】(1)如圖，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，因?yàn)镻Fx軸，所以xPc，將xPc代入橢圓方程得yP，即|PF|，則tanPAF，結(jié)合b2a2c2，整理得2c2aca20，兩邊同時(shí)除以a2得2e2e10，解得e或e1(舍去)故選D.(2)通解：取AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線的方程為1(a>0，b>0)，則焦距2c12，所以c6，將點(diǎn)C(6，5)代入雙曲線方程，得1，又因?yàn)閍2b262，由解得a4，b2，所以雙曲線的離心率e.優(yōu)解：設(shè)雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為a，虛半軸長(zhǎng)為b，則根據(jù)雙曲線的性質(zhì)得c6，5，所以a2b236，b25a，即a25a360，解得a4或a9(舍去)，所以雙曲線的離心率e.【答案】(1)D(2)(1)橢圓、雙曲線的離心率(或范圍)的求法求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求的值(2)雙曲線的漸近線的求法及用法求法：把雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程等號(hào)右邊的1改為零，分解因式可得用法：(i)可得或的值(ii)利用漸近線方程設(shè)所求雙曲線的方程 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2019·福建省質(zhì)量檢查)已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)(，0)到漸近線的距離等于2，則C的漸近線方程為()Ay±x By±xCy±x Dy±2x解析：選D.設(shè)雙曲線C的方程為1(a>0，b>0)，則由題意得c.雙曲線C的漸近線方程為y±x，即bx±ay0，所以2，又c2a2b25，所以b2，所以a1，所以雙曲線C的漸近線方程為y±2x，故選D.2已知雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|PF1|4|PF2|，則雙曲線的離心率的取值范圍是()A(，2B(1，C(1，2 D，)解析：選B.由|PF1|4|PF2|，得|PF2|ca，故ca，則e，又因?yàn)殡p曲線的離心率e>1，所以1<e.3已知正三角形AOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的頂點(diǎn)A，B在拋物線y23x上，則AOB的邊長(zhǎng)是_解析：如圖，設(shè)AOB的邊長(zhǎng)為a，則A(a，a)，因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線y23x上，所以a23×a，所以a6.答案：6直線與圓錐曲線(綜合型) 知識(shí)整合 直線與圓錐曲線位置關(guān)系與“”的關(guān)系將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去一個(gè)變量(如y)得到方程Ax2BxC0.若A0，則：圓錐曲線可能為雙曲線或拋物線，此時(shí)直線與圓錐曲線只有一個(gè)交點(diǎn)若A0，則：當(dāng)>0時(shí)，直線與圓錐曲線有兩個(gè)交點(diǎn)(相交)；當(dāng)0時(shí)，直線與圓錐曲線有一個(gè)交點(diǎn)(相切)；當(dāng)<0時(shí)，直線與圓錐曲線沒(méi)有交點(diǎn)(相離) 直線與圓錐曲線相交時(shí)的弦長(zhǎng)設(shè)而不求，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)行整體代入，即當(dāng)直線與圓錐曲線交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)時(shí)，|AB|·|x1x2|y1y2|，其中|x1x2|.典型例題 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)R(0，2)，F(xiàn)是拋物線C：x22py(p>0)的焦點(diǎn)，|RF|3|OF|.(1)求拋物線C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)R的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，與直線y2交于點(diǎn)M，拋物線C在點(diǎn)A，B處的切線分別記為l1，l2，l1與l2交于點(diǎn)N，若MON是等腰三角形，求直線l的方程【解】(1)因?yàn)镕是拋物線C：x22py(p>0)的焦點(diǎn)，所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為.因?yàn)辄c(diǎn)R(0，2)，|RF|3|OF|，所以23×，解得p1.所以拋物線C的方程為x22y.(2)依題意知，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為ykx2(k0)，由解得所以M.由消去y并整理得，x22kx40，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x22k，x1x24.對(duì)y求導(dǎo)，得yx，則拋物線C在點(diǎn)A處的切線l1的方程為yy1x1(xx1)由于點(diǎn)A在拋物線C上，則y1，所以l1的方程為yx1x.同理可得l2的方程為yx2x.由得即點(diǎn)N的坐標(biāo)為(k，2)所以kOM·kON×()1，則OMON.又MON是等腰三角形，所以|OM|ON|，即4k24，解得k±2.所以直線l的方程為y2x2或y2x2.解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題的步驟(1)設(shè)方程及點(diǎn)的坐標(biāo)(2)聯(lián)立直線方程與曲線方程得方程組，消元得方程(注意二次項(xiàng)系數(shù)是否為零)(3)利用根與系數(shù)的關(guān)系及判別式(4)結(jié)合已知條件、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率公式及弦長(zhǎng)公式求解 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1過(guò)點(diǎn)M(1，1)作斜率為的直線與橢圓C：1(a>b>0)相交于A，B兩點(diǎn)，若M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率等于()A.B.C. D.解析：選B.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則1，1，兩式相減得0，變形得，即，.所以，e.2(2019·成都市第二次診斷性檢測(cè))已知橢圓C：1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為4，離心率為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)M，N為橢圓C上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且F1MF2N，直線F1M的斜率為2，記直線AM，BN的斜率分別為k1，k2，求3k12k2的值解：(1)由題意，得2b4，.又a2c2b2，所以a3，b2，c1.所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由(1)可知A(3，0)，B(3，0)，F(xiàn)1(1，0)由題意得，直線F1M的方程為y2(x1)記直線F1M與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為M.設(shè)M(x1，y1)(y1>0)，M(x2，y2)因?yàn)镕1MF2N，所以根據(jù)對(duì)稱性，得N(x2，y2)聯(lián)立得，消去y，得14x227x90.由題意知x1>x2，所以x1，x2，k1，k2，所以3k12k23×2×0，即3k12k2的值為0.一、選擇題1(2019·高考北京卷)已知橢圓1(ab0)的離心率為，則()Aa22b2B3a24b2Ca2b D3a4b解析：選B.由題意得，所以，又a2b2c2，所以，所以4b23a2.故選B.2以橢圓上一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積的最大值為1，則橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為()A1 B.C2 D2解析：選D.設(shè)a，b，c分別為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)、半焦距，依題意知，×2cb1bc1，2a222，當(dāng)且僅當(dāng)bc1時(shí)，等號(hào)成立故選D.3若點(diǎn)P為拋物線y2x2上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，則|PF|的最小值為()A2 B.C. D.解析：選D.由題意知x2y，則F(0，)，設(shè)P(x0，2x)，則|PF|2x，所以當(dāng)x0時(shí)，|PF|min.4(2019·高考天津卷)已知拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.若l與雙曲線1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且|AB|4|OF|(O為原點(diǎn))，則雙曲線的離心率為()A. B.C. 2 D.解析：選D.由題意知F(1，0)，l：x1，雙曲線的漸近線方程為y±x，則|AB|4|OF|4，而|AB|2×，所以2，所以e，故選D.5(一題多解)(2019·高考全國(guó)卷)設(shè)F為雙曲線C：1(a0，b0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2y2a2交于P，Q兩點(diǎn)若|PQ|OF|，則C的離心率為()A. B.C2 D.解析：選A.通解：依題意，記F(c，0)，則以O(shè)F為直徑的圓的方程為y2，將圓y2與圓x2y2a2的方程相減得cxa2，即x，所以點(diǎn)P，Q的橫坐標(biāo)均為.由于PQ是圓x2y2a2的一條弦，因此a2，即a2，即a2，所以c22ab，即a2b22ab(ab)20，所以ab，因此C的離心率e，故選A.優(yōu)解一：記F(c，0)連接OP，PF，則OPPF，所以SOPF|OP|·|PF|OF|·|PQ|，即a·c·c，即c22ab，即a2b22ab(ab)20，所以ab，因此C的離心率e ，故選A.優(yōu)解二：記F(c，0)依題意，PQ是以O(shè)F為直徑的圓的一條弦，因此OF垂直平分PQ.又|PQ|OF|，因此PQ是該圓與OF垂直的直徑，所以FOP45°，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為，于是有×a，即e，即C的離心率為，故選A.6已知直線l：ykx2過(guò)雙曲線C：1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)F和虛軸的上端點(diǎn)B(0，b)，且與圓x2y28交于點(diǎn)M，N，若|MN|2，則雙曲線的離心率e的取值范圍是()A(1， B(1，C，) D，)解析：選C.設(shè)圓心到直線l的距離為d(d>0)，因?yàn)閨MN|2，所以22，即0<d.又d，所以，解得|k|.由直線l：ykx2過(guò)雙曲線C：1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)F和虛軸的上端點(diǎn)B(0，b)，得|k|.所以，即，所以，即1，所以e，即雙曲線的離心率e的取值范圍是，)故選C.二、填空題7已知雙曲線1(b>0)，以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點(diǎn)，四邊形的ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為_(kāi)解析：根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)A在第一象限，A(x，y)，所以所以xy·b212，故雙曲線的方程為1.答案：18已知拋物線C：y22px(p>0)的準(zhǔn)線l，過(guò)M(1，0)且斜率為的直線與l相交于點(diǎn)A，與C的一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)B，若，則p_解析：設(shè)直線AB：yx，代入y22px得：3x2(62p)x30，又因?yàn)?，即M為A，B的中點(diǎn)，所以xB()2，即xB2，得p24p120，解得p2，p6(舍去)答案：29(2019·昆明市質(zhì)量檢測(cè))已知拋物線y24x上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為d1，到直線l：4x3y110的距離為d2，則d1d2的最小值為_(kāi)解析：如圖，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為m，焦點(diǎn)為F，分別過(guò)點(diǎn)P，F(xiàn)作PAm，PMl，F(xiàn)Nl，垂足分別為A，M，N.連接PF，因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線上，所以|PA|PF|，所以(d1d2)min(|PF|PM|)min|FN|.點(diǎn)F(1，0)到直線l的距離|FN|3，所以(d1d2)min3.答案：3三、解答題10(2019·長(zhǎng)春市質(zhì)量監(jiān)測(cè)(二)已知橢圓C：1(a>b>0)的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn)，滿足PF2x軸，|PF2|，橢圓C的離心率為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)且傾斜角為45°的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求AOB的面積解：(1)由題意知，離心率e，|PF2|，得a2，b1，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)由條件可知F1(，0)，直線l：yx，聯(lián)立直線l和橢圓C的方程，得，消去y得5x28x80，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1·x2，所以|y1y2|x1x2|，所以SAOB·|y1y2|·|OF1|.11(2019·高考全國(guó)卷)已知拋物線C：y23x的焦點(diǎn)為F，斜率為的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，與x軸的交點(diǎn)為P.(1)若|AF|BF|4，求l的方程；(2)若3，求|AB|.解：設(shè)直線l：yxt，A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由題設(shè)得F，故|AF|BF|x1x2，由題設(shè)可得x1x2.由可得9x212(t1)x4t20，則x1x2.從而，得t.所以l的方程為yx.(2)由3可得y13y2.由可得y22y2t0.所以y1y22.從而3y2y22，故y21，y13.代入C的方程得x13，x2.故|AB|.12已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為，其中一個(gè)頂點(diǎn)是拋物線x24y的焦點(diǎn)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過(guò)點(diǎn)P(2，1)的直線l與橢圓C在第一象限相切于點(diǎn)M，求直線l的方程和點(diǎn)M的坐標(biāo)解：(1)設(shè)橢圓C的方程為1(a>b>0)，由題意得b，解得a2，c1.故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P(2，1)的直線l與橢圓C在第一象限相切，所以直線l的斜率存在，故可設(shè)直線l的方程為yk(x2)1(k0)由得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80.因?yàn)橹本€l與橢圓C相切，所以8k(2k1)24(34k2)(16k216k8)0.整理，得2k10，解得k.所以直線l的方程為y(x2)1x2.將k代入式，可以解得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，故切點(diǎn)M的坐標(biāo)為.- 16 -