（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 數(shù)列 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列學(xué)案 文 新人教A版

第1講等差數(shù)列與等比數(shù)列 做真題1(一題多解)(2019·高考全國卷)記Sn為等比數(shù)列an的前n項和若a1，aa6，則S5_解析：通解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因為aa6，所以(a1q3)2a1q5，所以a1q1，又a1，所以q3，所以S5.優(yōu)解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因為aa6，所以a2a6a6，所以a21，又a1，所以q3，所以S5.答案：2(一題多解)(2019·高考全國卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和若a35，a713，則S10_解析：通解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則由題意，得解得所以S1010×1×2100.優(yōu)解：由題意，得公差d(a7a3)2，所以a4a3d7，所以S105(a4a7)100.答案：1003(2019·高考全國卷)已知an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，a12，a32a216.(1)求an的通項公式；(2)設(shè)bnlog2an，求數(shù)列bn的前n項和解：(1)設(shè)an的公比為q，由題設(shè)得2q24q16，即q22q80.解得q2(舍去)或q4.因此an的通項公式為an2×4n122n1.(2)由(1)得bn(2n1)log2 22n1，因此數(shù)列bn的前n項和為132n1n2.4(2018·高考全國卷)已知數(shù)列an滿足a11，nan12(n1)an.設(shè)bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并說明理由；(3)求an的通項公式解：(1)由條件可得an1an.將n1代入得，a24a1，而a11，所以，a24.將n2代入得，a33a2，所以，a312.從而b11，b22，b34.(2)bn是首項為1，公比為2的等比數(shù)列由條件可得，即bn12bn，又b11，所以bn是首項為1，公比為2的等比數(shù)列(3)由(2)可得2n1，所以ann·2n1.明考情等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定及其通項公式在考查基本運算、基本概念的同時，也注重對函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想的考查；對等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)考查主要是求解數(shù)列的等差中項、等比中項、通項公式和前n項和的最大、最小值等問題，主要是中低檔題等差、等比數(shù)列的基本運算(綜合型) 知識整合 等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式ana1(n1)d；Snna1d(nN*) 等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式ana1qn1(q0)；Sn(q1)(nN*)典型例題 (2019·高考全國卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和已知S9a5.(1)若a34，求an的通項公式；(2)若a10，求使得Snan的n的取值范圍【解】(1)設(shè)an的公差為d.由S9a5得a14d0.由a34得a12d4.于是a18，d2.因此an的通項公式為an102n.(2)由(1)得a14d，故an(n5)d，Sn.由a1>0知d<0，故Snan等價于n211n100，解得1n10.所以n的取值范圍是n|1n10，nN等差(比)數(shù)列基本運算的解題思路(1)設(shè)基本量a1和公差d(公比q)(2)列、解方程組：把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d(q)的方程(組)，然后求解，注意整體計算，以減少運算量 對點訓(xùn)練1(2019·福州市質(zhì)量檢測)已知數(shù)列an中，a32，a71.若數(shù)列為等差數(shù)列，則a9()A.B.C. D解析：選C.因為數(shù)列為等差數(shù)列，a32，a71，所以數(shù)列的公差d，所以(97)×，所以a9，故選C.2(一題多解)(2019·高考全國卷)記Sn為等比數(shù)列an的前n項和，若a11，S3，則S4_解析：通解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由a11及S3，易知q1.把a(bǔ)11代入S3，得1qq2，解得q，所以S4.優(yōu)解一：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因為S3a1a2a3a1(1qq2)，a11，所以1qq2，解得q，所以a4a1·q3，所以S4S3a4.優(yōu)解二：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由題意易知q1.設(shè)數(shù)列an的前n項和SnA(1qn)(其中A為常數(shù))，則a1S1A(1q)1，S3A(1q3)，由可得A，q.所以S4×.答案：3(2018·高考全國卷)等比數(shù)列an中，a11，a54a3.(1)求an的通項公式；(2)記Sn為an的前n項和若Sm63，求m.解：(1)設(shè)an的公比為q，由題設(shè)得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1.(2)若an(2)n1，則Sn.由Sm63得(2)m188，此方程沒有正整數(shù)解若an2n1，則Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.綜上，m6.等差、等比數(shù)列的判定與證明(綜合型) 知識整合 證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法(1)利用定義，證明an1an(nN*)為一常數(shù)(2)利用等差中項，即證明2anan1an1(n2且an0) 證明數(shù)列an是等比數(shù)列的兩種基本方法(1)利用定義，證明(nN*)為一非零常數(shù)(2)利用等比中項，即證明aan1an1(n2且an0)典型例題 (2019·高考全國卷)已知數(shù)列an和bn滿足a11，b10，4an13anbn4，4bn13bnan4.(1)證明：anbn是等比數(shù)列，anbn是等差數(shù)列；(2)求an和bn的通項公式【解】(1)證明：由題設(shè)得4(an1bn1)2(anbn)，即an1bn1(anbn)又因為a1b11，所以anbn是首項為1，公比為的等比數(shù)列由題設(shè)得4(an1bn1)4(anbn)8，即an1bn1anbn2.又因為a1b11，所以anbn是首項為1，公差為2的等差數(shù)列(2)由(1)知，anbn，anbn2n1.所以an(anbn)(anbn)n，bn(anbn)(anbn)n.證明數(shù)列an是等差數(shù)列或等比數(shù)列的方法(1)判斷一個數(shù)列是等差(等比)數(shù)列，還有通項公式法及前n項和公式法，但不作為證明方法 (2)若要判斷一個數(shù)列不是等差(等比)數(shù)列，只需判斷存在連續(xù)三項不成等差(等比)數(shù)列即可(3)aan1an1(n2，nN*)是an為等比數(shù)列的必要不充分條件，也就是判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列時，要注意各項不為0.對點訓(xùn)練1已知數(shù)列an的前n項和為Sn，若a11，Snan1，則a7()A47B3×45C3×46 D461解析：選B.依題意得3SnSn1Sn，即Sn14Sn.又S1a11，所以數(shù)列Sn是以1為首項，4為公比的等比數(shù)列，所以Sn1×4n14n1，a7S7S646453×45，選B.2已知數(shù)列an滿足a1，且an1.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若bnan·an1，求數(shù)列bn的前n項和Sn.解：(1)證明：因為an1，所以，所以，所以數(shù)列是以2為首項，為公差的等差數(shù)列(2)由(1)知，所以an，因為bn4×()，所以Sn4×4×.等差、等比數(shù)列的性質(zhì)(綜合型) 知識整合等差數(shù)列等比數(shù)列性質(zhì)(1)若m，n，p，qN*，且mnpq，則amanapaq.(2)anam(nm)d.(3)Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差數(shù)列(1)若m，n，p，qN*，且mnpq，則am·anap·aq.(2)anamqnm.(3)Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等比數(shù)列(q1)典型例題 (1)已知等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且a25a3a2 019，則數(shù)列an的公比q為()A.B.C D±(2)(一題多解)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a19，4，則Sn取最大值時n的值為()A4 B5C6 D4或5【解析】(1)因為a25a3a2 019，所以a25a，所以q4.因為等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，所以q0，故q.故選A.(2)法一：因為數(shù)列an為等差數(shù)列，且4，所以a5a32d4，解得d2，所以數(shù)列an為單調(diào)遞減數(shù)列，即Sn存在最大值因為a19，所以an2n11，由得解得4.5n5.5.因為nN*，所以n5，所以數(shù)列an的前n項和Sn取最大值時n的值為5，故選B.法二：因為數(shù)列an為等差數(shù)列，且4，所以a5a32d4，解得d2.因為a19，所以an2n11，所以Snn210n(n5)225，所以數(shù)列an的前n項和Sn取最大值時n的值為5，故選B.【答案】(1)A(2)B等差、等比數(shù)列性質(zhì)問題的求解策略(1)解題關(guān)鍵：抓住項與項之間的關(guān)系及項的序號之間的關(guān)系，從這些特點入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解(2)運用函數(shù)性質(zhì)：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，具有函數(shù)的一些性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性等，可利用函數(shù)的性質(zhì)解題 對點訓(xùn)練1已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若S12156，S361 332，則S24()A744 B300C600 D1 200解析：選C.因為S12156，S361 332，易知S12，S24S12，S36S24成等差數(shù)列，所以2(S24S12)S12S36S24，所以2(S24156)1561 332S24，解得S24600.故選C.2已知等比數(shù)列an共有10項，其中奇數(shù)項之積為2，偶數(shù)項之積為64，則其公比q為()A. B.C2 D2解析：選C.由奇數(shù)項之積為2，偶數(shù)項之積為64，得a1·a3·a5·a7·a92，a2·a4·a6·a8·a1064，則q532，則q2，故選C.新定義下數(shù)列創(chuàng)新(創(chuàng)新型) 典型例題 如果一個數(shù)列由有限個連續(xù)的正整數(shù)按從小到大的順序組成(數(shù)列的項數(shù)大于2)，且所有項之和為N，那么稱該數(shù)列為“N型標(biāo)準(zhǔn)數(shù)列”，例如，數(shù)列2，3，4，5，6為“20型標(biāo)準(zhǔn)數(shù)列”，則“2 668型標(biāo)準(zhǔn)數(shù)列”的個數(shù)為_【解析】設(shè)首項為a1，項數(shù)為n(n2且nN*)，易知na12 668，即n(2a1n1)5 33623×23×29，又n2a1n1，且兩者一定為一奇一偶，則(n，2a1n1)(8，667)(23，232)(29，184)，共三組，故“2 668型標(biāo)準(zhǔn)數(shù)列”的個數(shù)為3.【答案】3數(shù)列新定義型創(chuàng)新題的一般解題思路(1)閱讀審清“新定義”(2)結(jié)合常規(guī)的等差數(shù)列、等比數(shù)列的相關(guān)知識，化歸、轉(zhuǎn)化到“新定義”的相關(guān)知識 (3)利用“新定義”及常規(guī)的數(shù)列知識，求解證明相關(guān)結(jié)論對點訓(xùn)練若存在常數(shù)k(kN*，k2)，q，d，使得無窮數(shù)列an滿足an1則稱數(shù)列an為“段比差數(shù)列”，其中常數(shù)k，q，d分別叫做段長、段比、段差設(shè)數(shù)列bn為“段比差數(shù)列”，若bn的首項、段長、段比、段差分別為1，3，0，3，則b15()A3B4C5 D6解析：選D.因為bn的首項、段長、段比、段差分別為1，3，0，3，所以b11，b24，b37，b40×b30，b5b433，b6b536，b70×b60，所以當(dāng)n4時，bn是周期為3的周期數(shù)列所以b15b66.故選D.一、選擇題1已知數(shù)列an滿足an12an(nN*)，a1a32，則a5a7()A8B16C32 D64解析：選C.因為數(shù)列an滿足an12an(nN*)，所以此數(shù)列是等比數(shù)列，公比為2.則a5a724(a1a3)24×232.2(一題多解)(2019·福州市第一學(xué)期抽測)等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若S22，S36，則S5()A18 B10C14 D22解析：選D.法一：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由題意，得，解得，所以S522，故選D.法二：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，易知q1，令A(yù)，則SnAqnA，解得，所以Sn(2)n1，所以S5×(2)5122，故選D.3已知數(shù)列an的前n項和Snan2bn(a，bR)且a23，a611，則S7等于()A13 B49C35 D63解析：選B.由Snan2bn(a，bR)可知數(shù)列an是等差數(shù)列，依題意得，d2，則ana2(n2)d2n1，即a11，a713，所以S7×7×749，故選B.4等差數(shù)列an中，已知|a6|a11|，且公差d>0，則其前n項和取最小值時n的值為()A6 B7C8 D9解析：選C.由d>0可得等差數(shù)列an是遞增數(shù)列，又|a6|a11|，所以a6a11，即a15da110d，所以a1，則a8<0，a9>0，所以前8項和為前n項和的最小值，故選C.5(2019·鄭州一中摸底測試)設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項和，且a11，Sn，則S10()A. BC10 D10解析：選B.由Sn，得an1SnSn1.又an1Sn1Sn，所以Sn1SnSn1Sn，即1，所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以1(n1)·(1)n，所以10，所以S10，故選B.6我國古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤斬末一尺，重二斤問次一尺各重幾何？”意思是“現(xiàn)有一根金杖，長5尺，一頭粗，一頭細(xì)，在粗的一端截下1尺，重4斤；在細(xì)的一端截下1尺，重2斤問：依次每一尺各重多少斤”設(shè)該金杖由粗到細(xì)是均勻變化的，其質(zhì)量為M.現(xiàn)將該金杖截成長度相等的10段，記第i段的質(zhì)量為ai(i1，2，10)，且a1<a2<<a10.若48ai5M，則i()A4 B5C6 D7解析：選C.由題意知，由細(xì)到粗每段的質(zhì)量成等差數(shù)列，記為an，設(shè)其公差為d，則即解得所以該金杖的總質(zhì)量M10××15.因為48ai5M，所以4875，解得i6.故選C.二、填空題7已知遞增的等差數(shù)列an的前三項和為6，前三項積為10，則前10項和S10_解析：設(shè)前三項為ad，a，ad(d0)，則有解得所以數(shù)列首項為a1ad5，公差d3，故前10項和為S1010a1×d5013585.答案：858已知數(shù)列an滿足a10，數(shù)列bn為等差數(shù)列，且an1anbn，b15b1615，則a31_解析：因為數(shù)列an滿足a10，數(shù)列bn為等差數(shù)列，且an1anbn，b15b1615，所以an1b1b2b3bn，所以a31b1b2b3b30(b1b30)15(b15b16)15×15225.答案：2259已知等比數(shù)列an的首項為1，項數(shù)是偶數(shù)，所有的奇數(shù)項之和為85，所有的偶數(shù)項之和為170，則這個等比數(shù)列的項數(shù)為_解析：由題意得a1a385，a2a4170，所以數(shù)列an的公比q2，由數(shù)列an的前n項和公式Sn，得85170，解得n8.答案：8三、解答題10(2019·高考北京卷)設(shè)an是等差數(shù)列，a110，且a210，a38，a46成等比數(shù)列(1)求an的通項公式；(2)記an的前n項和為Sn，求Sn的最小值解：(1)設(shè)an的公差為d.因為a110，所以a210d，a3102d，a4103d.因為a210，a38，a46成等比數(shù)列，所以(a38)2(a210)(a46)所以(22d)2d(43d)解得d2.所以ana1(n1)d2n12.(2)由(1)知，an2n12.所以，當(dāng)n7時，an>0；當(dāng)n6時，an0.所以，Sn的最小值為S630.11已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn2an3n(nN*)(1)求a1，a2，a3的值；(2)設(shè)bnan3，證明數(shù)列bn為等比數(shù)列，并求通項公式an.解：(1)因為數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn2an3n(nN*)所以n1時，由a1S12a13×1，解得a13，n2時，由S22a23×2，得a29，n3時，由S32a33×3，得a321.(2)因為Sn2an3n，所以Sn12an13(n1)，兩式相減，得an12an3，*把bnan3及bn1an13，代入*式，得bn12bn(nN*)，且b16，所以數(shù)列bn是以6為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以bn6×2n1，所以anbn36×2n133(2n1)12(2019·高考江蘇卷節(jié)選)定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M數(shù)列”(1)已知等比數(shù)列an(nN*)滿足：a2a4a5，a34a24a10，求證：數(shù)列an為“M數(shù)列”；(2)已知數(shù)列bn(nN*)滿足：b11，其中Sn為數(shù)列bn的前n項和求數(shù)列bn的通項公式解：(1)證明：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，所以a10，q0.由得解得因此數(shù)列an為“M數(shù)列”(2)因為，所以bn0.由b11，S1b1，得，則b22.由，得Sn，當(dāng)n2時，由bnSnSn1，得bn，整理得bn1bn12bn.所以數(shù)列bn是首項和公差均為1的等差數(shù)列因此，數(shù)列bn的通項公式為bnn(nN*)- 14 -