(全國(guó)通用版)2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例、概率 第3節(jié) 變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例學(xué)案 文 新人教A版
《(全國(guó)通用版)2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例、概率 第3節(jié) 變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例學(xué)案 文 新人教A版》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(全國(guó)通用版)2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例、概率 第3節(jié) 變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例學(xué)案 文 新人教A版(18頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 第3節(jié) 變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例 最新考綱 1.會(huì)作兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,會(huì)利用散點(diǎn)圖認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系;2.了解最小二乘法的思想,能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程(線性回歸方程系數(shù)公式不要求記憶);3.了解獨(dú)立性檢驗(yàn)(只要求2×2列聯(lián)表)的基本思想、方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用;4.了解回歸分析的基本思想、方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用. 知 識(shí) 梳 理 1.相關(guān)關(guān)系與回歸分析 回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法;判斷相關(guān)性的常用統(tǒng)計(jì)圖是:散點(diǎn)圖;統(tǒng)計(jì)量有相關(guān)系數(shù)與相關(guān)指數(shù). (1)在散點(diǎn)圖中,點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域,對(duì)于兩個(gè)變量的這種相
2、關(guān)關(guān)系,我們將它稱為正相關(guān). (2)在散點(diǎn)圖中,點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域,兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負(fù)相關(guān). (3)如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近,稱兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系. 2.線性回歸方程 (1)最小二乘法:使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法. (2)回歸方程:兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù):(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回歸方程為=x+__,則==,=-.其中,是回歸方程的斜率,是在y軸上的截距. 回歸直線一定過樣本點(diǎn)的中心(,). 3.回歸分析 (1)定義:對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行
3、統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法. (2)樣本點(diǎn)的中心:對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中(,)稱為樣本點(diǎn)的中心. (3)相關(guān)系數(shù) 當(dāng)r>0時(shí),表明兩個(gè)變量正相關(guān); 當(dāng)r<0時(shí),表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān). r的絕對(duì)值越接近于1,表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng). r的絕對(duì)值越接近于0,表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系.通常|r|大于0.75時(shí),認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性. (4)相關(guān)指數(shù):R2=1-.其中 (yi-i)2是殘差平方和,其值越小,則R2越大(接近1),模型的擬合效果越好. 4.獨(dú)立性檢驗(yàn) (1)利用隨機(jī)變量K2來判斷“兩
4、個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn). (2)列聯(lián)表:列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表,稱為列聯(lián)表.假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y,它們的可能取值分別為{x1,x2}和{y1,y2},其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(2×2列聯(lián)表)為 y1 y2 總計(jì) x1 a b a+b x2 c d c+d 總計(jì) a+c b+d a+b+c+d 則隨機(jī)變量K2=,其中n=a+b+c+d為樣本容量. [常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒] 1.求解回歸方程的關(guān)鍵是確定回歸系數(shù),,應(yīng)充分利用回歸直線過樣本中心點(diǎn)(,). 2.根據(jù)K2的值可以判斷兩個(gè)分類變量有關(guān)的可信程度,若K2越大,則兩分類變量有關(guān)的把握越
5、大. 3.根據(jù)回歸方程計(jì)算的值,僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值,不是真實(shí)發(fā)生的值. 診 斷 自 測(cè) 1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學(xué)水平與學(xué)生的水平成正相關(guān)關(guān)系.( ) (2)通過回歸直線方程=x+可以估計(jì)預(yù)報(bào)變量的取值和變化趨勢(shì).( ) (3)因?yàn)橛扇魏我唤M觀測(cè)值都可以求得一個(gè)線性回歸方程,所以沒有必要進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn).( ) (4)事件X,Y關(guān)系越密切,則由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的K2的觀測(cè)值越大.( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2.(必修3P90例題改編)某研究機(jī)構(gòu)對(duì)高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,所得數(shù)
6、據(jù)如表: x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 則y對(duì)x的線性回歸直線方程為( ) A.=2.3x-0.7 B.=2.3x+0.7 C.=0.7x-2.3 D.=0.7x+2.3 解析 易求=9,=4,樣本點(diǎn)中心(9,4)代入驗(yàn)證,滿足=0.7x-2.3. 答案 C 3.兩個(gè)變量y與x的回歸模型中,分別選擇了4個(gè)不同模型,它們的相關(guān)指數(shù)R2如下,其中擬合效果最好的模型是( ) A.模型1的相關(guān)指數(shù)R2為0.98 B.模型2的相關(guān)指數(shù)R2為0.80 C.模型3的相關(guān)指數(shù)R2為0.50 D.模型4的相關(guān)指數(shù)R2為0.25 解析 在兩個(gè)變量y與
7、x的回歸模型中,它們的相關(guān)指數(shù)R2越近于1,模擬效果越好,在四個(gè)選項(xiàng)中A的相關(guān)指數(shù)最大,所以擬合效果最好的是模型1. 答案 A 4.(2015·全國(guó)Ⅱ卷)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國(guó)二氧化硫年排放量(單位:萬噸)柱形圖,以下結(jié)論不正確的是( ) A.逐年比較,2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著 B.2007年我國(guó)治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效 C.2006年以來我國(guó)二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì) D.2006年以來我國(guó)二氧化硫年排放量與年份正相關(guān) 解析 對(duì)于A選項(xiàng),由圖知從2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多,故A正確.對(duì)于B選項(xiàng),由圖知,由2006年到2
8、007年矩形高度明顯下降,因此B正確.對(duì)于C選項(xiàng),由圖知從2006年以后除2011年稍有上升外,其余年份都是逐年下降的,所以C正確.由圖知2006年以來我國(guó)二氧化硫年排放量與年份負(fù)相關(guān),D不正確. 答案 D 5.為了判斷高中三年級(jí)學(xué)生是否選修文科與性別的關(guān)系,現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生,得到如下2×2列聯(lián)表: 理科 文科 男 13 10 女 7 20 已知P(K2≥3.841)≈0.05,P(K2≥5.024)≈0.025.根據(jù)表中數(shù)據(jù),得到K2的觀測(cè)值k=≈4.844.則認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系出錯(cuò)的可能性為________. 解析 K2的觀測(cè)值k≈4.844,這表明小
9、概率事件發(fā)生.根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理,應(yīng)該斷定“是否選修文科與性別之間有關(guān)系”成立,并且這種判斷出錯(cuò)的可能性約為5%. 答案 5% 考點(diǎn)一 相關(guān)關(guān)系的判斷 【例1】 (1)已知變量x和y近似滿足關(guān)系式y(tǒng)=-0.1x+1,變量y與z正相關(guān).下列結(jié)論中正確的是( ) A.x與y正相關(guān),x與z負(fù)相關(guān) B.x與y正相關(guān),x與z正相關(guān) C.x與y負(fù)相關(guān),x與z負(fù)相關(guān) D.x與y負(fù)相關(guān),x與z正相關(guān) (2)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對(duì)A,B兩變量的線性相關(guān)性做試驗(yàn),并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)r與殘差平方和m如下表: 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0
10、.69 0.85 m 106 115 124 103 則哪位同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)A,B兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 解析 (1)由y=-0.1x+1,知x與y負(fù)相關(guān),即y隨x的增大而減小,又y與z正相關(guān),所以z隨y的增大而增大,減小而減小,所以z隨x的增大而減小,x與z負(fù)相關(guān). (2)在驗(yàn)證兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系時(shí),相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1,相關(guān)性越強(qiáng),在四個(gè)選項(xiàng)中只有丁的相關(guān)系數(shù)最大;殘差平方和越小,相關(guān)性越強(qiáng),只有丁的殘差平方和最小,綜上可知丁的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)了A,B兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性. 答案 (1)C (2)D
11、 規(guī)律方法 1.散點(diǎn)圖中如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)的曲線附近,變量之間就有相關(guān)關(guān)系.如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近,變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系.若點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域,則正相關(guān). 2.利用相關(guān)系數(shù)判定,當(dāng)|r|越趨近于1相關(guān)性越強(qiáng).當(dāng)殘差平方和越小,相關(guān)指數(shù)R2越大,相關(guān)性越強(qiáng).若r>0,則正相關(guān);r<0時(shí),則負(fù)相關(guān). 3.線性回歸直線方程中:>0時(shí),正相關(guān);<0時(shí),負(fù)相關(guān). 【訓(xùn)練1】 (1)某公司在2018年上半年的收入x(單位:萬元)與月支出y(單位:萬元)的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示: 月份 1月份 2月份 3月份 4月份 5月份 6月份 收入x 12
12、.3 14.5 15.0 17.0 19.8 20.6 支出y 5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18 根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料,則( ) A.月收入的中位數(shù)是15,x與y有正線性相關(guān)關(guān)系 B.月收入的中位數(shù)是17,x與y有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系 C.月收入的中位數(shù)是16,x與y有正線性相關(guān)關(guān)系 D.月收入的中位數(shù)是16,x與y有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系 (2)x和y的散點(diǎn)圖如圖所示,則下列說法中所有正確命題的序號(hào)為________. ①x,y是負(fù)相關(guān)關(guān)系; ②在該相關(guān)關(guān)系中,若用y=c1ec2x擬合時(shí)的相關(guān)指數(shù)為R,用=x+擬合時(shí)的相關(guān)指數(shù)為R,則R>R;
13、 ③x,y之間不能建立線性回歸方程. 解析 (1)從統(tǒng)計(jì)圖表中看出,月收入的中位數(shù)是(15+17)=16,收入增加,則支出也增加,x與y正線性相關(guān). (2)在散點(diǎn)圖中,點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域,因此x,y是負(fù)相關(guān)關(guān)系,故①正確;由散點(diǎn)圖知用y=c1ec2x擬合比用=x+擬合效果要好,則R>R,故②正確;x,y之間可以建立線性回歸方程,但擬合效果不好,故③錯(cuò)誤. 答案 (1)C (2)①② 考點(diǎn)二 線性回歸方程及應(yīng)用 【例2】 (2015·全國(guó)Ⅰ卷)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)x(單位:千元)對(duì)年銷售量y(單位:t)和年利潤(rùn)z(單位:千元)的影響,對(duì)
14、近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i=1,2,…,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值. (xi-)2 (wi-)2 (xi-)·(yi-) (wi-)·(yi-) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 表中wi=,=wi. (1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,y=a+bx與y=c+d哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型(給出判斷即可,不必說明理由)? (2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程; (3)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x,y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)(2)
15、的結(jié)果回答下列問題: ①年宣傳費(fèi)x=49時(shí),年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少? ②年宣傳費(fèi)x為何值時(shí),年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大? 附:對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為: =,=-. 解 (1)由散點(diǎn)圖可以判斷,y=c+d適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型. (2)令w=,先建立y關(guān)于w的線性回歸方程,由于 ===68, =-=563-68×6.8=100.6, 所以y關(guān)于w的線性回歸方程為=100.6+68w,因此y關(guān)于x的回歸方程為=100.6+68. (3)①由(2)知,當(dāng)x=49
16、時(shí),年銷售量y的預(yù)報(bào)值 =100.6+68=576.6, 年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值=576.6×0.2-49=66.32. ②根據(jù)(2)的結(jié)果知,年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值 =0.2(100.6+68)-x=-x+13.6+20.12. 所以當(dāng)==6.8,即x=46.24時(shí),取得最大值. 故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí),年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大. 規(guī)律方法 1.(1)正確理解計(jì)算,的公式和準(zhǔn)確的計(jì)算是求線性回歸方程的關(guān)鍵. (2)回歸直線方程=x+必過樣本點(diǎn)中心(,). 2.(1)在分析兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí),可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖來確定兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系,若具有線性相關(guān)關(guān)系,則可通過線性回
17、歸方程來估計(jì)和預(yù)測(cè). (2)本例中y與x不具有線性相關(guān),先作變換,轉(zhuǎn)化為y與w具有線性相關(guān),求出y關(guān)于w的線性回歸方程,然后進(jìn)一步求解. 【訓(xùn)練2】 (2018·日照調(diào)研)某地隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,居民收入逐年增長(zhǎng),下表是該地一建設(shè)銀行連續(xù)五年的儲(chǔ)蓄存款(年底余額),如下表1: 年份x 2013 2014 2015 2016 2017 儲(chǔ)蓄存款y(千億元) 5 6 7 8 10 表1 為了研究計(jì)算的方便,工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理,t=x-2 012,z=y(tǒng)-5得到下表2: 時(shí)間代號(hào)t 1 2 3 4 5 z 0 1 2 3 5 表2
18、(1)求z關(guān)于t的線性回歸方程; (2)通過(1)中的方程,求出y關(guān)于x的回歸方程; (3)用所求回歸方程預(yù)測(cè)到2022年年底,該地儲(chǔ)蓄存款額可達(dá)多少? (附:對(duì)于線性回歸方程=x+,其中=,=-) 解 (1)=3,=2.2,tizi=45,t=55, ==1.2, =-=2.2-3×1.2=-1.4, 所以=1.2t-1.4. (2)將t=x-2 012,z=y(tǒng)-5,代入=1.2t-1.4, 得y-5=1.2(x-2 012)-1.4,即=1.2x-2 410.8. (3)因?yàn)椋?.2×2 022-2 410.8=15.6, 所以預(yù)測(cè)到2022年年底,該地儲(chǔ)蓄存款額可達(dá)
19、15.6千億元. 考點(diǎn)三 獨(dú)立性檢驗(yàn) 【例3】 (2017·全國(guó)Ⅱ卷)海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比,收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱,測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg),其頻率分布直方圖如下: (1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”,估計(jì)A的概率; (2)填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān); 箱產(chǎn)量<50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 (3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,對(duì)這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進(jìn)行比較. 附: K2= 解 (1)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于
20、50 kg的頻率為(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62,因此,事件A的概率估計(jì)值為0.62. (2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表: 箱產(chǎn)量<50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 62 38 新養(yǎng)殖法 34 66 K2的觀測(cè)值為k=≈15.705. 由于15.705>6.635,故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān). (3)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖表明:新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在50 kg到55 kg之間,舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在45 kg到50 kg之間,且新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度較舊養(yǎng)殖
21、法的箱產(chǎn)量分布集中程度高.因此,可以認(rèn)為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量較高且穩(wěn)定,從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法. 規(guī)律方法 1.在2×2列聯(lián)表中,如果兩個(gè)變量沒有關(guān)系,則應(yīng)滿足ad-bc≈0.|ad-bc|越小,說明兩個(gè)變量之間關(guān)系越弱;|ad-bc|越大,說明兩個(gè)變量之間關(guān)系越強(qiáng). 2.解決獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題,一定要按照獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟得出結(jié)論.獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟: (1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表: (2)根據(jù)公式K2=計(jì)算K2的觀測(cè)值k; (3)比較觀測(cè)值k與臨界值的大小關(guān)系,作統(tǒng)計(jì)推斷. 【訓(xùn)練3】 (2018·合肥質(zhì)檢)某校在高一年級(jí)學(xué)生中,對(duì)自然科學(xué)類、社會(huì)科學(xué)類校本選修課程的選課
22、意向進(jìn)行調(diào)查. 現(xiàn)從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取180名學(xué)生,其中男生105名;在這180名學(xué)生中選擇社會(huì)科學(xué)類的男生、女生均為45名. (1)試問:從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,抽到男生的概率約為多少? (2)根據(jù)抽取的180名學(xué)生的調(diào)查結(jié)果,完成下面的2×2列聯(lián)表.并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為科類的選擇與性別有關(guān)? 選擇自然科學(xué)類 選擇社會(huì)科學(xué)類 合計(jì) 男生 女生 合計(jì) 附:K2=,其中n=a+b+c+d. P(K2≥k0) 0.500 0.400 0.250 0.150 0.100 0.050 0
23、.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解 (1)從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,抽到男生的概率約為=. (2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),可得2×2列聯(lián)表如下: 選擇自然科學(xué)類 選擇社會(huì)科學(xué)類 合計(jì) 男生 60 45 105 女生 30 45 75 合計(jì) 90 90 180 則K2的觀測(cè)值為k==≈5.142 9>5.024, 所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為科類的選擇與性別有關(guān). 基
24、礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí):40分鐘) 一、選擇題 1.為了判定兩個(gè)分類變量X和Y是否有關(guān)系,應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)法算得K2的觀測(cè)值為5,又已知P(K2≥3.841)=0.05,P(K2≥6.635)=0.01,則下列說法正確的是( ) A.有95%的把握認(rèn)為“X和Y有關(guān)系” B.有95%的把握認(rèn)為“X和Y沒有關(guān)系” C.有99%的把握認(rèn)為“X和Y有關(guān)系” D.有99%的把握認(rèn)為“X和Y沒有關(guān)系” 解析 依題意K2的觀測(cè)值為k=5,且P(K2≥3.841)=0.05,因此有95%的把握認(rèn)為“X和Y”有關(guān)系. 答案 A 2.(2018·石家莊模擬)下列說法錯(cuò)誤的是( ) A.回歸
25、直線過樣本點(diǎn)的中心(,) B.兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值就越接近于1 C.對(duì)分類變量X與Y,隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k越大,則判斷“X與Y有關(guān)系”的把握程度越小 D.在回歸直線方程=0.2x+0.8中,當(dāng)解釋變量x每增加1個(gè)單位時(shí),預(yù)報(bào)變量平均增加0.2個(gè)單位 解析 根據(jù)相關(guān)定義分析知A,B,D正確,C中對(duì)分類變量X與Y的隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k來說,k越大,判斷“X與Y有關(guān)系”的把握程度越大,故C錯(cuò)誤. 答案 C 3.(2017·漢中模擬)已知兩個(gè)隨機(jī)變量x,y之間的相關(guān)關(guān)系如表所示: x -4 -2 1 2 4 y -5 -3 -1 -0.
26、5 1 根據(jù)上述數(shù)據(jù)得到的回歸方程為=x+,則大致可以判斷( ) A.>0,>0 B.>0,<0 C.<0,>0 D.<0,<0 解析 作出散點(diǎn)圖,畫出回歸直線直觀判定>0,<0. 答案 C 4.通過隨機(jī)詢問110名性別不同的學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng),得到如下的列聯(lián)表: 男 女 總計(jì) 愛好 40 20 60 不愛好 20 30 50 總計(jì) 60 50 110 由K2=算得, K2的觀測(cè)值為k=≈7.8. 附表: P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 參照
27、附表,得到的正確結(jié)論是( ) A.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)” B.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)” C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)” D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)” 解析 根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的定義,由K2的觀測(cè)值為k≈7.8>6.635,可知我們?cè)诜稿e(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下,即有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”. 答案 A 5.(2017·山東卷)為了研究某班學(xué)生的腳長(zhǎng)x(單位:厘米)和身高y(單位:厘米)的關(guān)系,從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生,根
28、據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系,設(shè)其回歸直線方程為=x+.已知xi=225,yi=1 600,=4.該班某學(xué)生的腳長(zhǎng)為24,據(jù)此估計(jì)其身高為( ) A.160 B.163 C.166 D.170 解析 由已知得=22.5,=160, ∵回歸直線方程過樣本點(diǎn)中心(,),且=4, ∴160=4×22.5+,解得=70. ∴回歸直線方程為=4x+70,當(dāng)x=24時(shí),=166. 答案 C 二、填空題 6.(2017·西安模擬)某車間為了規(guī)定工時(shí)定額,需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間,為此進(jìn)行了5次試驗(yàn).根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如下表),由最小二乘法求得回歸方程=
29、0.67x+54.9. 零件數(shù)x(個(gè)) 10 20 30 40 50 加工時(shí)間y(min) 62 75 81 89 現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個(gè)數(shù)據(jù)看不清,請(qǐng)你推斷出該數(shù)據(jù)的值為________. 解析 由=30,得=0.67×30+54.9=75. 設(shè)表中的“模糊數(shù)字”為a, 則62+a+75+81+89=75×5,∴a=68. 答案 68 7.(2018·贛中南五校聯(lián)考)心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺和空間想象能力與性別有關(guān),某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論,從所在學(xué)校中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)(男30,女20),給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題,讓各位同學(xué)自由選擇一道題
30、進(jìn)行解答.選題情況如下表:(單位:人) 幾何題 代數(shù)題 總計(jì) 男同學(xué) 22 8 30 女同學(xué) 8 12 20 總計(jì) 30 20 50 根據(jù)上述數(shù)據(jù),推斷視覺和空間想象能力與性別有關(guān)系,則這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過________. 附表: P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解析 由列聯(lián)表計(jì)算K2的觀測(cè)值k=≈5.556>5.024.∴推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025.
31、答案 0.025 8.(2018·長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)質(zhì)檢)某單位為了了解用電量y(度)與氣溫x(℃)之間的關(guān)系,隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫,并制作了對(duì)照表: 氣溫(℃) 18 13 10 -1 用電量(度) 24 34 38 64 由表中數(shù)據(jù)得回歸直線方程=x+中的=-2,預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為-4 ℃時(shí),用電量約為________度. 解析 根據(jù)題意知==10,==40.所以=40-(-2)×10=60,=-2x+60,所以當(dāng)x=-4時(shí),y=(-2)×(-4)+60=68,所以用電量約為68度. 答案 68 三、解答題 9.(2018·重慶調(diào)研)某廠商為了解用戶對(duì)其產(chǎn)
32、品是否滿意,在使用該產(chǎn)品的用戶中隨機(jī)調(diào)查了80人,結(jié)果如下表: 滿意 不滿意 男用戶 30 10 女用戶 20 20 (1)根據(jù)上表,現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取對(duì)產(chǎn)品滿意的用戶5人,在這5人中任選2人,求被選中的恰好是男、女用戶各1人的概率; (2)有多大把握認(rèn)為用戶對(duì)該產(chǎn)品是否滿意與用戶性別有關(guān)?請(qǐng)說明理由. P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.025 0.010 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 注:K2=,n=a+b+c+d. 解 (1)用分層抽樣的方法在滿意產(chǎn)品的用戶中抽取5人,則抽取比例為=. 所以在滿意產(chǎn)品
33、的用戶中應(yīng)抽取女用戶20×=2(人),男用戶30×=3(人). 抽取的5人中,三名男用戶記為a,b,c,兩名女用戶記為r,s,則從這5人中任選2人,共有10種情況:ab,ac,ar,as,bc,br,bs,cr,cs,rs. 其中恰好是男、女用戶各1人的有6種情況:ar,as,br,bs,cr,cs. 故所求的概率為P==0.6. (2)由題意,得K2的觀測(cè)值為 k= =≈5.333>5.024. 又P(K2≥5.024)=0.025. 故有97.5%的把握認(rèn)為“產(chǎn)品用戶是否滿意與性別有關(guān)”. 10.(2018·惠州模擬)某市春節(jié)期間7家超市廣告費(fèi)支出xi(萬元)和銷售額yi
34、(萬元)數(shù)據(jù)如下表: 超市 A B C D E F G 廣告費(fèi)支出xi 1 2 4 6 11 13 19 銷售額yi 19 32 40 44 52 53 54 (1)若用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系,求y與x的線性回歸方程; (2)若用二次函數(shù)回歸模型擬合y與x的關(guān)系,可得回歸方程:=-0.17x2+5x+20,經(jīng)計(jì)算,二次函數(shù)回歸模型和線性回歸模型的R2分別約為0.93和0.75,請(qǐng)用R2說明選擇哪個(gè)回歸模型更合適,并用此模型預(yù)測(cè)A超市廣告費(fèi)支出3萬元時(shí)的銷售額. 參考數(shù)據(jù):=8,=42,xiyi=2 794,x=708. 參考公式:=
35、,=-. 解 (1) ===1.7. ∴=-v=42-1.7×8=28.4, 故y關(guān)于x的線性回歸方程是=1.7x+28.4. (2)∵0.75<0.93,∴二次函數(shù)回歸模型更合適. 當(dāng)x=3時(shí),=33.47. 故選擇二次函數(shù)回歸模型更合適,并且用此模型預(yù)測(cè)A超市廣告費(fèi)支出3萬元時(shí)的銷售額為33.47萬元. 能力提升題組 (建議用時(shí):20分鐘) 11.(2018·濟(jì)南調(diào)研)濟(jì)南市地鐵R1線預(yù)計(jì)2019年年底開通運(yùn)營(yíng),地鐵時(shí)代的到來能否緩解濟(jì)南的交通擁堵狀況呢?某社團(tuán)進(jìn)行社會(huì)調(diào)查,得到的數(shù)據(jù)如下表: 男性市民 女性市民 認(rèn)為能緩解交通擁堵 48 30 認(rèn)為不能緩
36、解交通擁堵 12 20 則下列結(jié)論正確的是( ) 附:K2= P(K2≥k0) 0.05 0.010 0.005 0.001 k0 3.841 6.635 7.879 10.828 A.有95%的把握認(rèn)為“對(duì)能否緩解交通擁堵的認(rèn)識(shí)與性別有關(guān)” B.有95%的把握認(rèn)為“對(duì)能否緩解交通擁堵的認(rèn)識(shí)與性別無關(guān)” C.有99%的把握認(rèn)為“對(duì)能否緩解交通擁堵的認(rèn)識(shí)與性別有關(guān)” D.有99%的把握認(rèn)為“對(duì)能否緩解交通擁堵的認(rèn)識(shí)與性別無關(guān)” 解析 由2×2列聯(lián)表,可求K2的觀測(cè)值, k= ≈5.288>3.841. 由統(tǒng)計(jì)表P(K2≥3.841)=0.05,∴有9
37、5%的把握認(rèn)為“能否緩解交通擁堵的認(rèn)識(shí)與性別有關(guān)”. 答案 A 12.在2018年3月15日那天,某市物價(jià)部門對(duì)本市的5家商場(chǎng)的某商品的一天銷售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查,5家商場(chǎng)的售價(jià)x元和銷售量y件之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示: 價(jià)格x 9 9.5 m 10.5 11 銷售量y 11 n 8 6 5 由散點(diǎn)圖可知,銷售量y與價(jià)格x之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,其線性回歸方程是=-3.2x+40,且m+n=20,則其中的n=________. 解析?。剑?+, ==6+. 回歸直線一定經(jīng)過樣本中心(,), 即6+=-3.2+40,即3.2m+n=42. 又因?yàn)閙+
38、n=20,即 解得故n=10. 答案 10 13.(2018·湖南百所重點(diǎn)中學(xué)階段性診斷)已知某企業(yè)近3年的前7個(gè)月的月利潤(rùn)(單位:百萬元)如下面的折線圖所示: (1)試問這3年的前7個(gè)月中哪個(gè)月的月平均利潤(rùn)較高? (2)通過計(jì)算判斷這3年的前7個(gè)月的總利潤(rùn)的發(fā)展趨勢(shì); (3)試以第3年的前4個(gè)月的數(shù)據(jù)(如下表),用線性回歸的擬合模式估計(jì)第3年8月份的利潤(rùn). 月份 1 2 3 4 利潤(rùn)y(單位:百萬元) 4 4 6 6 相關(guān)公式:==,=-. 解 (1)由折線圖可知5月和6月的平均利潤(rùn)最高. (2)第1年前7個(gè)月的總利潤(rùn)為1+2+3+5+6+7+4=28(百萬元), 第2年前7個(gè)月的總利潤(rùn)為2+5+5+4+5+5+5=31(百萬元). 第3年前7個(gè)月的總利潤(rùn)為4+4+6+6+7+6+8=41(百萬元), 所以這3年的前7個(gè)月的總利潤(rùn)呈上升趨勢(shì). (3)∵=2.5,=5,12+22+32+42=30,1×4+2×4+3×6+4×6=54, ∴==0.8, ∴=5-2.5×0.8=3. 因此線性回歸方程為=0.8x+3. 當(dāng)x=8時(shí),=0.8×8+3=9.4. ∴估計(jì)第3年8月份的利潤(rùn)為9.4百萬元. 18
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