（全國通用版）2019高考數學二輪復習 專題六 函數與導數 規(guī)范答題示例10 導數與不等式的恒成立問題學案 理

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1、 規(guī)范答題示例10　導數與不等式的恒成立問題 典例10　(12分)設函數f(x)＝emx＋x2－mx. (1)證明：f(x)在(－∞，0)上單調遞減，在(0，＋∞)上單調遞增； (2)若對于任意x1，x2∈[－1,1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范圍． 審題路線圖　(1)―→―→ (2) ―→―→ ―→―→―→ 規(guī) 范 解 答·分 步 得 分 構 建 答 題 模 板 (1)證明　f′(x)＝m(emx－1)＋2x.1分 若m≥0，則當x∈(－∞，0)時，emx－1≤0，f′(x)<0； 當x∈(0，＋∞)時，emx－1≥0，f′(x)>0.

2、 若m<0，則當x∈(－∞，0)時，emx－1>0，f′(x)<0； 當x∈(0，＋∞)時，emx－1<0，f′(x)>0.4分 所以f(x)在(－∞，0)上單調遞減，在(0，＋∞)上單調遞增.6分 (2)解　由(1)知，對任意的m，f(x)在[－1,0]上單調遞減，在[0,1]上單調遞增， 故f(x)在x＝0處取得最小值． 所以對于任意x1，x2∈[－1,1]，|f(x1)－f(x2)|≤e－1的充要條件是 8分 即① 設函數g(t)＝et－t－e＋1，則g′(t)＝et－1.9分 當t<0時，g′(t)<0；當t>0時，g′(t)>0. 故g(t)在(－∞，0)上單調遞

3、減，在(0，＋∞)上單調遞增． 又g(1)＝0，g(－1)＝e－1＋2－e<0，故當t∈[－1,1]時，g(t)≤0. 當m∈[－1,1]時，g(m)≤0，g(－m)≤0，即①式成立；10分 當m>1時，由g(t)的單調性，得g(m)>0，即em－m>e－1； 當m<－1時，g(－m)>0，即e－m＋m>e－1.11分 綜上，m的取值范圍是[－1,1].12分 第一步 求導數：一般先確定函數的定義域，再求f′(x)． 第二步 定區(qū)間：根據f′(x)的符號確定函數的單調性． 第三步 尋條件：一般將恒成立問題轉化為函數的最值問題． 第四步 寫步驟：通過函數單調性探求函數最

4、值，對于最值可能在兩點取到的恒成立問題，可轉化為不等式組恒成立. 第五步 再反思：查看是否注意定義域、區(qū)間的寫法、最值點的探求是否合理等. 評分細則　(1)求出導數給1分； (2)討論時漏掉m＝0扣1分；兩種情況只討論正確一種給2分； (3)確定f′(x)符號時只有結論無中間過程扣1分； (4)寫出f(x)在x＝0處取得最小值給1分； (5)無最后結論扣1分； (6)其他方法構造函數同樣給分． 跟蹤演練10　(2018·全國Ⅰ)已知函數f(x)＝－x＋aln x. (1)討論f(x)的單調性； (2)若f(x)存在兩個極值點x1，x2， 證明：

5、　f(x)的定義域為(0，＋∞)， f′(x)＝－－1＋＝－. ①若a≤2，則f′(x)≤0， 當且僅當a＝2，x＝1時，f′(x)＝0， 所以f(x)在(0，＋∞)上單調遞減． ②若a>2，令f′(x)＝0，得 x＝或x＝. 當x∈∪時， f′(x)<0； 當x∈時，f′(x)>0. 所以f(x)在，上單調遞減，在上單調遞增． (2)證明　由(1)知，f(x)存在兩個極值點當且僅當a>2. 由于f(x)的兩個極值點x1，x2滿足x2－ax＋1＝0， 所以x1x2＝1，不妨設01. 由于＝－－1＋a ＝－2＋a＝－2＋a， 所以