5、y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標(biāo)是________，半徑是________.
解析 由已知方程表示圓，則a2＝a＋2，
解得a＝2或a＝－1.
當(dāng)a＝2時(shí)，方程不滿足表示圓的條件，故舍去.
當(dāng)a＝－1時(shí)，原方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
表示以(－2，－4)為圓心，半徑為5的圓.
答案 (－2，－4) 5
5.(必修2P124A4改編)圓C的圓心在x軸上，并且過點(diǎn)A(－1，1)和B(1，3)，則圓C的方程為________.
解析 設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a，0)，
∵點(diǎn)A(－1，1)和B(1，3)在圓C上，∴|CA|＝|CB
6、|，
即＝，
解得a＝2，所以圓心為C(2，0)，
半徑|CA|＝＝，
∴圓C的方程為(x－2)2＋y2＝10.
答案 (x－2)2＋y2＝10
考點(diǎn)一 圓的方程
【例1】 (1)(一題多解)過點(diǎn)A(4，1)的圓C與直線x－y－1＝0相切于點(diǎn)B(2，1)，則圓C的方程為________.
(2)已知圓C經(jīng)過P(－2，4)，Q(3，－1)兩點(diǎn)，且在x軸上截得的弦長(zhǎng)等于6，則圓C的方程為________.
解析 (1)法一 由已知kAB＝0，所以AB的中垂線方程為x＝3.①
過B點(diǎn)且垂直于直線x－y－1＝0的直線方程為y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，②
聯(lián)立①②，
7、解得所以圓心坐標(biāo)為(3，0)，半徑r＝＝，
所以圓C的方程為(x－3)2＋y2＝2.
法二 設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
∵點(diǎn)A(4，1)，B(2，1)在圓上，故
又∵＝－1，
解得a＝3，b＝0，r＝，
故所求圓的方程為(x－3)2＋y2＝2.
(2)設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
將P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得
又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③
設(shè)x1，x2是方程③的兩根，
由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，④
聯(lián)立①②④，解得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－8，或D＝－6，E＝－8，F(xiàn)＝0.
8、
故所求圓的方程為
x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.
答案 (1)(x－3)2＋y2＝2 (2)x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0
規(guī)律方法 求圓的方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程.一般來(lái)說，求圓的方程有兩種方法：
(1)幾何法，通過研究圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的基本量.確定圓的方程時(shí)，常用到的圓的三個(gè)性質(zhì)：①圓心在過切點(diǎn)且垂直切線的直線上；②圓心在任一弦的中垂線上；③兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線；
(2)代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解.
【訓(xùn)練1】 (1)(2018·蘭州診斷)半徑為2的圓C的圓心在第四象限
9、，且與直線x＝0和x＋y＝2均相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A.(x－1)2＋(y＋2)2＝4 B.(x－2)2＋(y＋2)2＝2
C.(x－2)2＋(y＋2)2＝4 D.(x－2)2(y＋2)2＝4
(2)(2015·全國(guó)Ⅰ卷)一個(gè)圓經(jīng)過橢圓＋＝1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.
解析 (1)設(shè)圓心坐標(biāo)為(2，－a)(a>0)，則圓心到直線x＋y＝2的距離d＝＝2，∴a＝2，∴該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝4.
(2)由題意知圓過(4，0)，(0，2)，(0，－2)三點(diǎn)，(4，0)，(0，－2)兩點(diǎn)的垂直平分線方程為
10、y＋1＝－2(x－2)，
令y＝0，解得x＝，圓心為，半徑為.
∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝.
答案 (1)C (2)＋y2＝
考點(diǎn)二 與圓有關(guān)的最值問題
【例2】 已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值.
解 原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)為圓心，為半徑的圓.
(1)的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，
所以設(shè)＝k，即y＝kx.
當(dāng)直線y＝kx與圓相切時(shí)，斜率k取最大值或最小值，
此時(shí)＝，解得k＝±(如圖1).
所以的最大值為，最小值為－
11、.
(2)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，此時(shí)＝，解得b＝－2±(如圖2).
所以y－x的最大值為－2＋，最小值為－2－.
(3)x2＋y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值(如圖3).
又圓心到原點(diǎn)的距離為＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
規(guī)律方法 把有關(guān)式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化或利用所給式子的幾何意義解題，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，其中以下幾類轉(zhuǎn)化極為常見：
(1)形如m＝的最值問
12、題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題；
(2)形如t＝ax＋by的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題；
(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值問題，可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離的平方的最值問題.
【訓(xùn)練2】 設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)y＝－圖象上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為(2a，a－3)(a∈R)，則|PQ|的最小值為________.
解析 函數(shù)y＝－的圖象表示圓(x－1)2＋y2＝4在x軸及下方的部分，令點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，y)，則得y＝－3，即x－2y－6＝0，作出圖象如圖所示，
由于圓心(1，0)到直線x－2y－6＝0的距離d＝＝>2，所以直線x－2y－6＝0與圓(x－1)2＋y2＝4相離，因
13、此|PQ|的最小值是－2.
答案?。?
考點(diǎn)三 與圓有關(guān)的軌跡問題
【例3】 設(shè)定點(diǎn)M(－3，4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M，ON為鄰邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡.
解 如圖所示，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為，線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為.由于平行四邊形的對(duì)角線互相平分，
故＝，＝.從而
又N(x＋3，y－4)在圓上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
因此所求軌跡為圓：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但應(yīng)除去兩點(diǎn)和(點(diǎn)P在直線OM上時(shí)的情況).
規(guī)律方法 求與圓有關(guān)的軌跡問題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：
(1)直接法，直接
14、根據(jù)題目提供的條件列出方程；
(2)定義法，根據(jù)圓、直線等定義列方程；
(3)幾何法，利用圓的幾何性質(zhì)列方程；
(4)代入法，找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等.
【訓(xùn)練3】 (2018·鄭州模擬)已知線段AB的端點(diǎn)B在圓C1：x2＋(y－4)2＝16上運(yùn)動(dòng)，端點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4，0)，線段AB的中點(diǎn)為M.
(1)試求M點(diǎn)的軌跡C2的方程；
(2)若圓C1與曲線C2交于C，D兩點(diǎn)，試求線段CD的長(zhǎng).
解 (1)設(shè)M(x，y)，B(x′，y′)，
則由題意可得解得
∵點(diǎn)B在圓C1：x2＋(y－4)2＝16上，
∴(2x－4)2＋(2y－4)2＝16，即(x－2)
15、2＋(y－2)2＝4.
∴M點(diǎn)的軌跡C2的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝4.
(2)由方程組得直線CD的方程為x－y－1＝0，圓C1的圓心C1(0，4)到直線CD的距離
d＝＝，又圓C1的半徑為4，
∴線段CD的長(zhǎng)為2＝.
基礎(chǔ)鞏固題組
(建議用時(shí)：40分鐘)
一、選擇題
1.已知點(diǎn)A(1，－1)，B(－1，1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是( )
A.x2＋y2＝2 B.x2＋y2＝
C.x2＋y2＝1 D.x2＋y2＝4
解析 AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)，
|AB|＝＝2，
∴圓的方程為x2＋y2＝2.
答案 A
2.方程x2＋y2＋a
16、x＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(－∞，－2)∪ B.
C.(－2，0) D.
解析 方程為＋(y＋a)2＝1－a－表示圓，則1－a－＞0，解得－2＜a＜.
答案 D
3.(2018·廈門質(zhì)檢)圓C與x軸相切于T(1，0)，與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A，B，且|AB|＝2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A.(x－1)2＋(y－)2＝2 B.(x－1)2＋(y－2)2＝2
C.(x＋1)2＋(y＋)2＝4 D.(x－1)2＋(y－)2＝4
解析 由題意得，圓C的半徑為＝，圓心坐標(biāo)為(1，)，∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－)
17、2＝2.
答案 A
4.點(diǎn)P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是( )
A.(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B.(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C.(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D.(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析 設(shè)圓上任一點(diǎn)為Q(x0，y0)，PQ的中點(diǎn)為M(x，y)，則解得因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，
化簡(jiǎn)得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
答案 A
5.(2015·全國(guó)Ⅱ卷)已知三點(diǎn)A(1，0)，B(0，)，C(2，)，則△ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為( )
A.
18、 B. C. D.
解析 由點(diǎn)B(0，)，C(2，)，得線段BC的垂直平分線方程為x＝1，①
由點(diǎn)A(1，0)，B(0，)，得線段AB的垂直平分線方程為
y－＝，②
聯(lián)立①②，解得△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)為，
其到原點(diǎn)的距離為 ＝.
答案 B
二、填空題
6.(2018·長(zhǎng)沙模擬)以拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為圓心，與該拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.
解析 拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為(1，0)，準(zhǔn)線為x＝－1，故所求圓的圓心為(1，0)，半徑為2，所以該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝4.
答案 (x－1)2＋y2＝4
7.(2018·宜昌模擬)已
19、知圓C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，當(dāng)圓C的面積取最大值時(shí)，圓心C的坐標(biāo)為________.
解析 圓C的方程可化為＋(y＋1)2＝－k2＋1.所以，當(dāng)k＝0時(shí)圓C的面積最大.
答案 (0，－1)
8.已知點(diǎn)M(1，0)是圓C：x2＋y2－4x－2y＝0內(nèi)的一點(diǎn)，那么過點(diǎn)M的最短弦所在直線的方程是________.
解析 過點(diǎn)M的最短弦與CM垂直，圓C：x2＋y2－4x－2y＝0的圓心為C(2，1)，∵kCM＝＝1，∴最短弦所在直線的方程為y－0＝－(x－1)，即x＋y－1＝0.
答案 x＋y－1＝0
三、解答題
9.一圓經(jīng)過A(4，2)，B(－1，3)兩點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的
20、四個(gè)截距的和為2，求此圓的方程.
解 設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以x1＋x2＝－D.
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以y1＋y2＝－E.
由題意知－D－E＝2，即D＋E＋2＝0.①
又因?yàn)閳A過點(diǎn)A，B，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0.②
1＋9－D＋3E＋F＝0.③
解①②③組成的方程組得D＝－2，E＝0，F(xiàn)＝－12.
故所求圓的方程為x2＋y2－2x－12＝0.
10.已知點(diǎn)P(2，2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn).
21、
(1)求M的軌跡方程；
(2)當(dāng)|OP|＝|OM|時(shí)，求l的方程及△POM的面積.
解 (1)圓C的方程可化為x2＋(y－4)2＝16，所以圓心為C(0，4)，半徑為4.
設(shè)M(x，y)，則＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y).
由題設(shè)知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部，所以M的軌跡方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的軌跡是以點(diǎn)N(1，3)為圓心，為半徑的圓.由于|OP|＝|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上，又P在圓N上，從而ON⊥PM.
因?yàn)镺N的斜率為3，所以l的
22、斜率為－，
故l的方程為x＋3y－8＝0.
又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距離為，
所以|PM|＝，S△POM＝××＝，
故△POM的面積為.
能力提升題組
(建議用時(shí)：20分鐘)
11.若直線ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始終平分圓x2＋y2－4x－2y－8＝0的周長(zhǎng)，則＋的最小值為( )
A.1 B.5 C.4 D.3＋2
解析 由題意知圓心C(2，1)在直線ax＋2by－2＝0上，
∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1，
∴＋＝(a＋b)＝3＋＋
≥3＋2 ＝3＋2，
當(dāng)且僅當(dāng)＝，即b＝2－，a＝－1時(shí)，等號(hào)成立.
∴＋的最小值為3
23、＋2.
答案 D
12.(2018·東北三省四校聯(lián)考)已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，設(shè)點(diǎn)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn).記d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0，1)，B(0，－1)，則d的最大值為________.
解析 設(shè)P(x0，y0)，d＝|PB|2＋|PA|2＝x＋(y0＋1)2＋x＋(y0－1)2＝2(x＋y)＋2.x＋y為圓上任一點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，∴(x＋y)max＝(5＋1)2＝36，∴dmax＝74.
答案 74
13.(2017·全國(guó)Ⅲ卷)已知拋物線C：y2＝2x，過點(diǎn)(2，0)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓.
(1)證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M
24、上；
(2)設(shè)圓M過點(diǎn)P(4，－2)，求直線l與圓M的方程.
(1)證明 設(shè)l：x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
聯(lián)立消去x得y2－2my－4＝0，
Δ＝4m2＋16恒大于0，y1＋y2＝2m，y1y2＝－4.
·＝x1x2＋y1y2＝(my1＋2)(my2＋2)＋y1y2
＝(m2＋1)y1y2＋2m(y1＋y2)＋4＝－4(m2＋1)＋2m·2m＋4＝0.所以⊥，即O在圓M上.
(2)解 由(1)可得x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4.
故圓心M的坐標(biāo)為(m2＋2，m)，
圓M的半徑r＝.
由于圓M過點(diǎn)P(4，－2)，因此·＝0，
故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，
即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.
由(1)可得y1y2＝－4，x1x2＝4.
所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.
當(dāng)m＝1時(shí)，直線l的方程為x－y－2＝0，圓心M的坐標(biāo)為(3，1)，圓M的半徑為，
圓M的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝10.
當(dāng)m＝－時(shí)，直線l的方程為2x＋y－4＝0，圓心M的坐標(biāo)為，圓M的半徑為，
圓M的方程為＋＝.
11
（全國(guó)通用版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第3節(jié) 圓的方程學(xué)案 文 新人教A版
